高考数学真题较难题汇编.docx
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高考数学真题较难题汇编
2018年普通高等学校招生全国统一考试
1.已知四棱锥SABCD勺底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为9i,
SE与平面ABCD所成的角为任,二面角SABC的平面角为直则()
A.B1W92W03B.B3WB2W01C.91<03<02D.仗詠三❻
2.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量,若非零向量a与e的夹角为彳,向量b满足b24eb+3=0,则|ab|的最小值是()
A./1B.+1C.2D.2周
3.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a什a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则()
A.a1a3,a2a4D.a1>a3,a2>a4
4.已知入€R,函数姻)£2.二「3小「丄,当}=2时,不等式f(x)<0的解集是若函数f(x)
恰有2个零点,则入的取值范围是
5.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成
个没有重复数字的四位数(用数字作答)
6.已知点P(0,1),椭圆"+y2=m(m>1上两点A,B满足和;=2」〃,则当m=时,点B横坐标
4
的绝对值最大
7.
(15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:
y2=4x上存在不同的两点A,B满足PAPB的中点均在C上
(1)设AB中点为M,证明:
PM垂直于y轴
(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取
值范围
8.(15分)已知函数f(x)=•Inx
(1)若f(x)在x=x1,x2(x1起)处导数相等,证明:
f(X1)+f(x2)>88n2
(2)若a<342,证明:
对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点
2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
9.函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR),且在区间(2,2]上,
x
cos,0x2,
2
1|x2l,-2x0,
11.若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0,)内有且只有一个零点,则f(x)在[1,1]上的最大值与最小值的和为▲.
12.在平面直角坐标系xOy中,A为直线I:
y2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线I交
UlUUJLT
于另一点D.若ABCD0,则点A的横坐标为▲.
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC120,ABC的平分线交AC于点D,且BD1,则4ac的最小值为▲.
14•已知集合A{x|x2n1,nN},B{x|x2n,nN}.将AUB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}•记S为数列{an}的前n项和,则使得Sn12an1成立的n的最小值为▲.
17.(本小题满分14分)
某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆0的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成•已知圆0的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚I内的地块形状为矩形ABCD大棚H内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设0C与
MN所成的角为.
(1)用分别表示矩形ABCD和厶CDP的面积,并确定sin的取
值范围;
(2)若大棚I内种植甲种蔬菜,大棚n内种植乙种蔬菜,且甲、
乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:
3•求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
18.
(本小题满分16分)
_i
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(3,丄),焦点
2
Fi(3,0),F2C3,0),圆O的直径为FiF2.
(1)求椭圆C及圆O的方程;
(2)设直线I与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线I与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;
②直线I与椭圆C交于A,B两点.若AOAB的面积为兰,求直线I的方程.
7
19.(本小题满分16分)
记f(x),g(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x。
R,满足f(xo)g(x。
)且f(冷)g(xJ,则称x。
为函数f(x)与g(x)的一个S点”.%网
(1)证明:
函数f(x)x与g(x)x22x2不存在S点”;
(2)若函数f(x)ax21与g(x)Inx存在S点”,求实数a的值;
bex
(3)已知函数f(x)x2a,g(x)——.对任意a0,判断是否存在b0,使函数f(x)与g(x)在区
x
间(0,)内存在S点”,并说明理由.
20.(本小题满分16分)
设{an}是首项为Q,公差为d的等差数列,{bn}是首项为,公比为q的等比数列.
(1)设q0,01,q2,若|an"la对n1,2,3,4均成立,求d的取值范围;
⑵若ab0,mN*,q(1,m2],证明:
存在dR,使得|anbn|0对n2,3,L,m1均成立,并
求的取值范围(用0,m,q表示).
2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
8•在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F是y轴上的两个动点,且||=2,则AEBF的
最小值为
9•有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三
个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示)
Sn1
10设等比数列{an}的通项公式为an=q+1(n€N*),前n项和为5。
若lim一,则q=
nan12
Ix?
y?
1Ix?
y?
1
-I
、2「2
a=
12•已知实数x、x、y、y满足:
x?
2y?
21,x?
2y?
21,XX?
伽
的最大值为
n
16•设D是含数1的有限实数集,是定义在D上的函数,若的图像绕原点逆时针旋转一后与原图像重合,则在
6
以下各项中,的可能取值只能是()
(A)(B)(C)(D)0
23
20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
设常数t>2,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线I:
x=t,曲线:
y28x(0三烂t,y±0),
I与x轴交于点A,与交于点B,P、Q分别是曲线与线段AB上的动点。
(1)用t为表示点B到点F的距离;
(2)设t=3,IFQI2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;
(3)设t=8,是否存在以FPFQ为邻边的矩形FPEQ使得点E在上若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由。
21•(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
给定无穷数列{an},若无穷数列{bn}满足:
对任意nN*,都有|bnan|1,则称{bn}与{an}接近”
(1)设{an}是首项为1,公比为的等比数列,bnani1,nN*,判断数列是否与接近,并说明理由;
(2)设数列{an}的前四项为:
a=1,a=2,a=4,迦=8,{bn}是一个与{an}接近的数列,记集合M={x|x=bi,=1,2,3,4},求M中元素的个数m;
(3)已知{an}是公差为d的等差数列,若存在数列{bn}满足:
{bn}与{an}接近,且在b-b,b-b,••b201-b200中至少有
100个为正数,求d的取值范围。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
(4)十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为
(A)32f(B)322f
(C)12•歹f(D)12歹f
(7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosB,sinB)至U直线xmy20的距离,当0,m变化时,d的最大值为
(A)1(B)2
(C)3(D)4
(8)设集合A{(x,y)|xy1,axy4,xay2},则
(A)对任意实数a,(2,1)A(B)对任意实数a,(2,1)A
3
(C)当且仅当a<0时,(2,1)A(D)当且仅当a-时,(2,1)A
2
(13)能说明若f(x)>f(0)对任意的x€(0,2]都成立,则f(x)在]0,2]上是增函数”为假命题的一个函
数是.
2222
(14)已知椭圆M:
与每1(ab0),双曲线N:
笃与1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交
abmn
点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为
(18)(本小题13分)
设函数f(x)=[ax2(4a1)x4a3]ex.
(I)若曲线y=(x)在点(1,f
(1))处的切线与x轴平行,求a;
(n)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
(19)(本小题14分)
已知抛物线C:
y=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线I与抛物线C有两个不同的交点A,B,且
直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(I)求直线I的斜率的取值范围;
LUT11,亠
QO,求证:
为定值.
uumruuriuir
(n)设O为原点,QMQO,QN
(20)(本小题14分)
(21)
设n为正整数,集合A={|
(t1,t2,L,tn),tn{0,1},k1,2,L,n}.对于集合A中的任意元素
奇数;当,不同时,M(,)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;
(川)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意两个不同的元素
2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)w
3
(D)当且仅当a时,(2,1)A
2
(19)(本小题13分)
设函数f(x)[ax2(3a1)x3a2]ex.
(I)若曲线yf(x)在点(2,f
(2))处的切线斜率为0,求a;
(n)若f(x)在x1处取得极小值,求a的取值范围.
(20)(本小题14分)
的交点A,B.
(I)求椭圆M的方程;
(n)若k1,求|AB|的最大值;
(川)设P(2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D若CD和点
71Q(,)共线,求k.
42
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
(5)已知alog2e,bIn2,clogi1,则a,b,c的大小关系为
23
(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab
22
(7)已知双曲线笃爲1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B
ab
两点.设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1d26,则双曲线的方程为
ABC的面积为
(13)已知a,bR,且a3b6
0,则2a
2的最小值为
8b
2
x2axax0
(14)已知a0,函数f(x)
2若关于x的方程f(x)ax恰有2个互异的实数解,
x22ax2a,x0.
则a的取值范围是
(17)本小题满分13分)
(18)
(本小题满分13分)
a3a22,a4b3bs,b°2b6.
⑴求{an}和{bn}的通项公式;
(II)设数列{Sn}的前n项和为Tn(nN
⑴求Tn;
(19)(本小题满分14分)
F,上顶点为
22
xx
设椭圆一221(a>b>0)的左焦点为
ab
V5一
B.已知椭圆的离心率为•,点A的坐标为(b,0),且
FB||AB6-2.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线
I:
ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且1与直线AB交于点Q.若
PQ
AOQ(O为原点),求k的值.
(20)(本小题满分14分)
x
已知函数f(x)a,g(x)logax,其中a>1.
(I)求函数h(x)f(x)xlna的单调区间;
(ll)若曲线yf(x)在点(捲,f(xj)处的切线与曲线yg(x)在点(X2,g(X2))处的切线平行,证明
1
(Ill)证明当aee时,存在直线I,使I是曲线yf(x)的切线,也是曲线yg(x)的切线.
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)w
(13)
1
已知a,b€R,且a-b+6=0,则2a+_y的最小值为
8
围是
(17)(本小题满分13分)
如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABCL平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2「3,/BAD=90.
(I)求证:
AD丄BC;
(H)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;
(川)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
(18)(本小题满分13分)
设{an}是等差数列,其前n项和为S(n€N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n€N*)•已知bi=l,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(I)求S和Tn;
(H)若s+(T1+T2+・・・+)=an+4bn,求正整数n的值.
(19)(本小题满分14分)
设椭圆笃打1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为亠,|AB|.13.
a2b23
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l:
ykx(k0)与椭圆交于P,Q两点,I与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限若厶BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.
(20)(本小题满分14分)
设函数f(x)=(x
tJ(Xt2)(Xt3),其中t1,t2,t3R且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.
(I)若t20,d
1,求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(II)若d3,求f(x)的极值;
(III)若曲线yf(x)与直线y
(X1t2)63有三个互异的公共点,求d的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试1l
&设抛物线C:
y24x的焦点为F,过点2,0且斜率为-的直线与C交于M,N两点,则FMUFN
3
Pl,P2,P3,则
2
X2
11.已知双曲线C:
y1,0为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,
3
N•若△OMN为直角三角形,则|MN
16.已知函数fx2sinxsin2x,贝Ufx的最小值是
18.(12分)
如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF丄BF.
(1)证明:
平面PEF丄平面ABFD;
⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.(12分)
2
设椭圆C:
x2八的右焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点,点M的坐标为2,0
(1)当I与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设0为坐标原点,证明:
/OMA/OMB.
20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,
则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p0p1,且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为fp,求fp的最大值点p0;
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的po作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验
21.(12分)
1
已知函数fxxaInx.
x
(1)讨论fx的单调性;
(2)若fx存在两个极值点x,x2,证明:
f-x1fX2a2.
xx2
2018年普通高等学校招生全国统一考试1w
16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC
222
csinB4asinBsinC,bca8,贝V
△ABC的面积为
18.(12分)
如图,在平行四边形ABCM中,/ACM90,以AC为折痕将厶ACM折起,的位置,且AB丄DA.
(1)证明:
平面ACD丄平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点,P为线段
2
BPDQDA,求三棱锥QABP的体积.
3
20.
(12分)
设抛物线C:
y22x,点A2,0,B2,0,过点a的直线|与C交于M,N两点.
(1)当I与x轴垂直时,求直线BM的方程;
(2)证明:
/ABM/ABN.
21.(12分)
已知函数fxaexlnx1.
(1)设x2是fx的极值点.求a,并求fx的单调区间;
(2)证明:
当a>1时,fx>0.
e
2018年普通高等学校招生全国统一考试21
10.若f(x)cosxsinx在[a,a]是减函数,则a的最大值是
5.15,则该圆锥的侧面积为
19.(12分)
C.-
3
设抛物线C:
y24x的焦点为F,过F且斜率为k(k
于A,B两点,|AB|8.
0)的直线l与C交
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
20.(12分)
如图,在三棱锥PABC中,ABBC22,
PAPBPCAC4,O为AC的中点.
(1)证明:
PO平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
21.(12分)
已知函数f(x)exax2.
(1)若a1,证明:
当x>0时,f(x)>1;
(2)若f(x)在(0,)只有一个零点,求a.
2018年普通高等学校招生全国统一考试2w
11•已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F160,则C的离心率为
f
(1)f
(2)f(3)Lf(50)
16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,
SA与圆锥底面所成角为30,若ASAB的面积为8,则该圆
锥的体积为
19.(12分)
如图,在三棱锥PABC中,ABBC22,
PAPBPCAC4,O为AC的中点.
(1)证明:
PO平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且MC2MB,求点C到平面POM的距离.
20.(12分)
设抛物线C:
y24x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线I与C交于A,B两点,|AB|8.
(1)求I的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
21.(12分)
1
已知函数f(x)■a(x2x1).
3
(1)若a3,求f(x)的单调区间;
(2)证明:
f(x)只有一个零点.
2018年普通高等学校招生全国统-
考试3l
6.直线xy2
0分别与x轴,y轴交于A,
B两点,点P在圆x2
2y22上,贝yABP面积的取值范围
是
A.2,6
B.4,8
C.2,3.2
D.2「2,3.2
4
7.函数yx
2
x2的图像大致为
DABC体积的最大值为
A.123
B.183
C.24.3
D.543
2
11.设F,,F2是双曲线C:
笃
a
2
占1(a0,b0)的左,右焦点,b
O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的
垂线,垂足为P.
若PF!
60P|,则C的离心率为
A.5
B.2
C.
12.设alog0.20.3,
blog20.3,则
A.abab0
B.
abab
C.ab0ab
D.
ab0a
16.已知点M1,1
和抛物线C:
y24x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若/AMB90,
19.(12分)
如图,边长为2的正方形abcd所在平面与半圆弧Cd所在平面垂直,m是Cd
上异于C,D的点.
(1)证明:
平面AMD丄平面BMC;
(2)当三棱锥MABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦
值.
20.(12分)
22
已知斜率为k的直线l与椭圆C:
—仏1交于A,B两点.线段AB的中点为M1,mm0.
43
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且
uur
FP
uur
FA
uuu
FB0.证明:
uuu
FA,
uuuFP,
uuu
FB成等差数列,并
求该数列的公差.
21.(12分)
已知函数fx2xax2ln1x2x.
(1)若a
0,证明:
当1x0时,fx
0时,fx
⑵若x
0是fx的极大值点,求a.
2018年普通高等学校招生全国统一考试3w
6.函数f
tan:
的最小正周期为
1tan2x
.n
A.-
4
C.n
D.2n
12.设A,
B,C,D是同一个半径为
的球的球面上四点,
ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥
DABC体积的最大值为
A.12,3
B.183
C.24.3
D.54.3
16.已知函数f
ln1x2
1,fa4,则f
21.(12分)
已知函数f
2
axx1