教材课后习题答案第0811章.docx
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教材课后习题答案第0811章
2014教材课后习题答案第08-11章
P184第八章
3.一简谐波,振动周期
s,波长λ=10m,振幅A=0.1m.当t=0时,波源振动的位移恰好为正方向的最大值.若坐标原点和波源重合,且波沿Ox轴正方向传播,求:
(1)此波的表达式;
(2)t1=T/4时刻,x1=λ/4处质点的位移;
(3)t2=T/2时刻,x1=λ/4处质点的振动速度.
解:
(1)
(SI)
(2)t1=T/4=(1/8)s,x1=λ/4=(10/4)m处质点的位移
(3)振速
.
s,在x1=λ/4=(10/4)m处质点的振速
m/s
4.在弹性媒质中有一沿x轴正向传播的平面波,其表达式为
(SI).若在x=5.00m处有一媒质分界面,且在分界面处反射波相位突变π,设反射波的强度不变,试写出反射波的表达式.
解:
反射波在x点引起的振动相位为
反射波表达式为
(SI)
或
(SI)
5.已知一平面简谐波的表达式为
(SI).
(1)求该波的波长λ,频率ν和波速u的值;
(2)写出t=4.2s时刻各波峰位置的坐标表达式,并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置;
(3)求t=4.2s时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻t.
解:
这是一个向x轴负方向传播的波.
(1)由波数k=2π/λ得波长λ=2π/k=1m
由ω=2πν得频率ν=ω/2π=2Hz
波速u=νλ=2m/s
(2)波峰的位置,即y=A的位置.
由
有
(k=0,±1,±2,…)
解上式,有
.
当t=4.2s时,
m.
所谓离坐标原点最近,即|x|最小的波峰.在上式中取k=8,可得x=-0.4
的波峰离坐标原点最近.
(3)设该波峰由原点传播到x=-0.4m处所需的时间为∆t,
则∆t=|∆x|/u=|∆x|/(νλ)=0.2s
∴该波峰经过原点的时刻t=4s
6.平面简谐波沿x轴正方向传播,振幅为2cm,频率为50Hz,波速为200m/s.在t=0时,x=0处的质点正在平衡位置向y轴正方向运动,求x=4m处媒质质点振动的表达式及该点在t=2s时的振动速度.
解:
设x=0处质点振动的表达式为
,
已知t=0时,y0=0,且v0>0∴
∴
(SI)
由波的传播概念,可得该平面简谐波的表达式为
(SI)
x=4m处的质点在t时刻的位移
(SI)
该质点在t=2s时的振动速度为
=6.28m/s
7.沿x轴负方向传播的平面简谐波在t=2s时刻的波形曲线如图所示,设波速u=0.5m/s.求:
原点O的振动方程.
解:
由图,λ=2m,又∵u=0.5m/s,∴ν=1/4Hz,3分
T=4s.题图中t=2s=
.t=0时,波形比题图中的波形倒退
,见图.
此时O点位移y0=0(过平衡位置)且朝y轴负方向运动,
∴
∴
(SI)
8.如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图,设此简谐波的频率为250Hz,且此时质点P的运动方向向下,求
(1)该波的表达式;
(2)在距原点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式.
解:
(1)由P点的运动方向,可判定该波向左传播.
原点O处质点,t=0时
所以
O处振动方程为
(SI)
由图可判定波长λ=200m,故波动表达式为
(SI)
(2)距O点100m处质点的振动方程是
振动速度表达式是
(SI)
9.如图所示,S1,S2为两平面简谐波相干波源.S2的相位比S1的相位超前π/4,波长λ=8.00m,r1=12.0m,r2=14.0m,S1在P点引起的振动振幅为0.30m,S2在P点引起的振动振幅为0.20m,求P点的合振幅.
解:
m
10.图中A、B是两个相干的点波源,它们的振动相位差为π(反相).A、B相距30cm,观察点P和B点相距40cm,且
.若发自A、B的两波在P点处最大限度地互相削弱,求波长最长能是多少.
解:
在P最大限度地减弱,即二振动反相.现二波源是反相的相干波源,故要
求因传播路径不同而引起的相位差等于±2kπ(k=1,2,…).
由图
50cm.∴2π(50-40)/λ=2kπ,
∴λ=10/kcm,当k=1时,λmax=10cm
11.如图所示,一平面简谐波沿Ox轴正向传播,波速大小为u,若P处质点的振动方程为
,求
(1)O处质点的振动方程;
(2)该波的波动表达式;
(3)与P处质点振动状态相同的那些质点的位置.
解:
(1)O处质点振动方程
(2)波动表达式
(3)
(k=0,1,2,3,…)
12.如图为一平面简谐波在t=0时刻的波形图,已知波速u=20m/s.试画出P处质点与Q处质点的振动曲线,然后写出相应的振动方程.
解:
(1)波的周期T=λ/u=(40/20)s=2s.
P处Q处质点振动周期与波的周期相等,故P处质点的振动曲线如图(a)振动方程为:
(SI)2分
(2)Q处质点的振动曲线如图(b),振动2分
方程为
(SI)
或
(SI)
13.两波在一很长的弦线上传播,其表达式分别为:
(SI)
(SI)
求:
(1)两波的频率、波长、波速;
(2)两波叠加后的节点位置;
(3)叠加后振幅最大的那些点的位置.
解:
(1)与波动的标准表达式
对比可得:
ν=4Hz,λ=1.50m,
波速u=λν=6.00m/s
(2)节点位置
m,n=0,1,2,3,…
(3)波腹位置
m,n=0,1,2,3,…
14.一列横波在绳索上传播,其表达式为
(SI)
(1)现有另一列横波(振幅也是0.05m)与上述已知横波在绳索上形成驻波.设这一横波在x=0处与已知横波同位相,写出该波的表达式.
(2)写出绳索上的驻波表达式;求出各波节的位置坐标;并写出离原点最近的四个波节的坐标数值.
解:
(1)由形成驻波的条件.可知待求波的频率和波长均与已知波相同,传播方向为x轴的负方向.又知x=0处待求波与已知波同相位,∴待求波的表达式为
(2)驻波表达式
∴
(SI)
波节位置由下式求出.
k=0,±1,±2,…
∴x=2k+1k=0,±1,±2,…
离原点最近的四个波节的坐标是
x=1m、-1m、3m、-3m.
P208第九章
3.在双缝干涉实验中,波长λ=550nm的单色平行光垂直入射到缝间距a=2×10-4m的双缝上,屏到双缝的距离D=2m.求:
(1)中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距;
(2)用一厚度为e=6.6×10-5m、折射率为n=1.58的玻璃片覆盖一缝后,零级明纹将移到原来的第几级明纹处?
(1nm=10-9m)
解:
(1)∆x=20Dλ/a
=0.11m
(2)覆盖云玻璃后,零级明纹应满足
(n-1)e+r1=r2
设不盖玻璃片时,此点为第k级明纹,则应有
r2-r1=kλ
所以(n-1)e=kλ
k=(n-1)e/λ=6.96≈7
零级明纹移到原第7级明纹处
4.在双缝干涉实验中,用波长λ=546.1nm(1nm=10-9m)的单色光照射,双缝与屏的距离D=300mm.测得中央明条纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2mm,求双缝间的距离.
解:
由题给数据可得相邻明条纹之间的距离为
x=12.2/(2×5)mm=1.22mm
由公式
x=Dλ/d,得d=Dλ/
x=0.134mm
5.在图示的双缝干涉实验中,若用薄玻璃片(折射率n1=1.4)覆盖缝S1,用同样厚度的玻璃片(但折射率n2=1.7)覆盖缝S2,将使原来未放玻璃时屏上的中央明条纹处O变为第五级明纹.设单色光波长λ=480nm(1nm=109m),求玻璃片的厚度d(可认为光线垂直穿过玻璃片).
解:
原来,δ=r2-r1=0
覆盖玻璃后,δ=(r2+n2d–d)-(r1+n1d-d)=5λ
∴(n2-n1)d=5λ
=8.0×10-6m
6.在双缝干涉实验中,单色光源S0到两缝S1和S2的距离分别为l1和l2,并且l1-l2=3λ,λ为入射光的波长,双缝之间的距离为d,双缝到屏幕的距离为D(D>>d),如图.求:
(1)零级明纹到屏幕中央O点的距离.
(2)相邻明条纹间的距离.
解:
(1)如图,设P0为零级明纹中心
则
(l2+r2)-(l1+r1)=0
∴r2–r1=l1–l2=3λ
∴
(2)在屏上距O点为x处,光程差
明纹条件
(k=1,2,....)
在此处令k=0,即为
(1)的结果.相邻明条纹间距
7.用波长为λ1的单色光垂直照射牛顿环装置时,测得中央暗斑外第1和第4暗环半径之差为l1,而用未知单色光垂直照射时,测得第1和第4暗环半径之差为l2,求未知单色光的波长λ2.
解:
由牛顿环暗环半径公式
,
根据题意可得
8.折射率为1.60的两块标准平面玻璃板之间形成一个劈形膜(劈尖角θ很小).用波长λ=600nm(1nm=10-9m)的单色光垂直入射,产生等厚干涉条纹.假如在劈形膜内充满n=1.40的液体时的相邻明纹间距比劈形膜内是空气时的间距缩小∆l=0.5mm,那么劈尖角θ应是多少?
解:
空气劈形膜时,间距
液体劈形膜时,间距
∴θ=λ(1–1/n)/(2∆l)=1.7×10-4rad
9.用波长λ=500nm(1nm=10-9m)的单色光垂直照射在由两块玻璃板(一端刚好接触成为劈棱)构成的空气劈形膜上.劈尖角θ=2×10-4rad.如果劈形膜内充满折射率为n=1.40的液体.求从劈棱数起第五个明条纹在充入液体前后移动的距离.
解:
设第五个明纹处膜厚为e,则有2ne+λ/2=5λ
设该处至劈棱的距离为l,则有近似关系e=lθ,
由上两式得2nlθ=9λ/2,l=9λ/4nθ
充入液体前第五个明纹位置l1=9λ/4θ
充入液体后第五个明纹位置l2=9λ/4nθ
充入液体前后第五个明纹移动的距离
∆l=l1–l2=9λ(1-1/n)/4θ
=1.61mm
10.
11.波长为λ的单色光垂直照射到折射率为n2的劈形膜上,如图所示,图中n1<n2<n3,观察反射光形成的干涉条纹.
(1)从形膜顶部O开始向右数起,第五条暗纹中心所对应的薄膜厚度e5是多少?
(2)相邻的二明纹所对应的薄膜厚度之差是多少?
解:
∵n1<n2<n3,
二反射光之间没有附加相位差π,光程差为
δ=2n2e
第五条暗纹中心对应的薄膜厚度为e5,
2n2e5=(2k-1)λ/2k=5
明纹的条件是2n2ek=kλ
相邻二明纹所对应的膜厚度之差
∆e=ek+1-ek=λ/(2n2)
12.在如图所示的牛顿环装置中,把玻璃平凸透镜和平面玻璃(设玻璃折射率n1=1.50)之间的空气(n2=1.00)改换成水(
=1.33),求第k个暗环半径的相对改变量
.
解:
在空气中时第k个暗环半径为
(n2=1.00)
充水后第k个暗环半径为
(
=1.33)
干涉环半径的相对变化量为
=13.3%
13.
P226第10章
3.用波长=632.8nm(1nm=10−9m)的平行光垂直照射单缝,缝宽a=0.15mm,缝后用凸透镜把衍射光会聚在焦平面上,测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为1.7mm,求此透镜的焦距.
解:
第二级与第三级暗纹之间的距离
∆x=x3–x2≈fλ/a.
∴f≈a∆x/λ=400mm
4.一束单色平行光垂直照射在一单缝上,若其第3级明条纹位置正好与
的单色平行光的第2级明条纹的位置重合.求前一种单色光的波长?
解:
单缝衍射明纹估算式:
根据题意,第二级和第三级明纹分别为
且在同一位置处,则
解得:
5.某种单色平行光垂直入射在单缝上,单缝宽a=0.15mm.缝后放一个焦距f=400mm的凸透镜,在透镜的焦平面上,测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0mm,求入射光的波长.
解:
设第三级暗纹在ϕ3方向上,则有
asinϕ3=3λ
此暗纹到中心的距离为x3=ftgϕ3
因为ϕ3很小,可认为tgϕ3≈sinϕ3,所以
x3≈3fλ/a.
两侧第三级暗纹的距离是2x3=6fλ/a=8.0mm
∴λ=(2x3)a/6f
=500nm
6.
(1)在单缝夫琅禾费衍射实验中,垂直入射的光有两种波长,λ1=400nm,λ2=760nm(1nm=10-9m).已知单缝宽度a=1.0×10-2cm,透镜焦距f=50cm.求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离.
(2)若用光栅常数d=1.0×10-3cm的光栅替换单缝,其他条件和上一问相同,求两种光第一级主极大之间的距离.
解:
(1)由单缝衍射明纹公式可知
(取k=1)
由于
所以
则两个第一级明纹之间距为
=0.27cm
(2)由光栅衍射主极大的公式
且有
所以
=1.8cm
7.一束具有两种波长λ1和λ2的平行光垂直照射到一衍射光栅上,测得波长λ1的第三级主极大衍射角和λ2的第四级主极大衍射角均为30°.已知λ1=560nm(1nm=10-9m),试求:
(1)光栅常数a+b
(2)波长λ2
解:
(1)由光栅衍射主极大公式得
(2)
nm
8.以波长400nm─760nm(1nm=10-9m)的白光垂直照射在光栅上,在它的衍射光谱中,第二级和第三级发生重叠,求第二级光谱被重叠的波长范围.
解:
令第三级光谱中λ=400nm的光与第二级光谱中波长为λ'的光对应的衍射角都为θ,则dsinθ=3λ,dsinθ=2
=(dsinθ/)2=
600nm
∴第二级光谱被重叠的波长范围是600nm----760nm
9.钠黄光中包含两个相近的波长λ1=589.0nm和λ2=589.6nm.用平行的钠黄光垂直入射在每毫米有600条缝的光栅上,会聚透镜的焦距f=1.00m.求在屏幕上形成的第2级光谱中上述两波长λ1和λ2的光谱之间的间隔∆l.(1nm=10-9m)
∆l
f
L
O
λ1,λ2
G
θ1
θ2
解:
光栅常数d=(1/600)mm=(106/600)nm=1667nm
据光栅公式,λ1的第2级谱线
dsinθ1=2λ1
sinθ1=2λ1/d=2×589/1667=0.70666
θ1=44.96︒
λ2的第2级谱线dsinθ2=λ2
sinθ2=2λ2/d=2×589.6/1667=0.70738
θ2=45.02︒
两谱线间隔∆l=f(tgθ2-tgθ1)
=1.00×103(tg45.02︒-tg44.96︒)=2.04mm
10.波长
的单色光垂直入射到一光栅上,第2、第3级明条纹分别出现在
与
处,且第4级缺级.求:
⑴光栅常数;⑵光栅上狭缝的宽度;⑶在屏上实际呈现出的全部级数?
解:
根据光栅方程
(1)则光栅的光栅常数
(2)由于第4级缺级,
(3)
则出现第
级条纹,共15条。
P237第11章
2.两个偏振片叠在一起,在它们的偏振化方向成α1=30°时,观测一束单色自然光.又在α2=45°时,观测另一束单色自然光.若两次所测得的透射光强度相等,求两次入射自然光的强度之比.
解:
令I1和I2分别为两入射光束的光强.透过起偏器后,光的强度分别为I1/2
和I2/2马吕斯定律,透过检偏器的光强分别为
按题意,
,于是
得
3.两个偏振片P1、P2叠在一起,其偏振化方向之间的夹角为30°.一束强度为I0的光垂直入射到偏振片上,已知该入射光由强度相同的自然光和线偏振光混合而成,现测得连续透过两个偏振片后的出射光强与I0之比为9/16,试求入射光中线偏振光的光矢量方向.
解:
设入射光中线偏振光的光矢量振动方向与P1的偏振化方向之间的夹角为θ,透过P1后的光强I1为
透过P2后的光强I2为I2=I1cos230°
I2/I1=9/16
cos2θ=1
所以θ=0°
即入射光中线偏振光的光矢量振动方向与P1的偏振化方向平行.
4.两个偏振片P1、P2堆叠在一起,由自然光和线偏振光混合而成的光束垂直入射在偏振片上.进行了两次观测,P1、P2的偏振化方向夹角两次分别为30°和45°;入射光中线偏振光的光矢量振动方向与P1的偏振化方向夹角两次分别为45°和60°.若测得这两种安排下连续穿透P1、P2后的透射光强之比为9/5(忽略偏振片对透射光的反射和可透分量的吸收),求:
(1)入射光中线偏振光强度与自然光强度之比;
(2)每次穿过P1后的透射光强与入射光强之比;
(3)每次连续穿过P1、P2后的透射光强与入射光强之比.
解:
设I0为自然光强,xI0为入射光中线偏振光强,x为待定系数.
(1)
解出x=1/2
可得入射光强为3I0/2.I入=3I0/2
(2)第一次测量
I1/I入=
第二次测量
I1/I入=
=5/12
(3)第一次测量I2/I入=0.5cos230°=3/8
第二次测量I2/I入=5cos245°/12=5/24
5.一束自然光以起偏角i0=48.09°自某透明液体入射到玻璃表面上,若玻璃的折射率为1.56,求:
(1)该液体的折射率.
(2)折射角.
解:
(1)设该液体的折射率为n,由布儒斯特定律
tgi0=1.56/n
得n=1.56/tg48.09°=1.40
(2)折射角
r=0.5π-48.09°=41.91°(=41°
)
6.如图安排的三种透光媒质Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,其折射率分别为n1=1.33,n2=1.50,n3=1.两个交界面相互平行.一束自然光自媒质Ⅰ中入射到Ⅰ与Ⅱ的交界面上,若反射光为线偏振光,
(1)求入射角i.
(2)媒质Ⅱ、Ⅲ界面上的反射光是不是线偏振光?
为什么?
解:
(1)据布儒斯特定律tgi=(n2/n1)=1.50/1.33
i=48.44°(=48°
)
(2)令介质Ⅱ中的折射角为r,则r=0.5π-i=41.56°
此r在数值上等于在Ⅱ、Ⅲ界面上的入射角。
若Ⅱ、Ⅲ界面上的反射光是线偏振光,则必满足布儒斯特定律
tgi0=n3/n2=1/1.5
i0=33.69°
因为r≠i0,故Ⅱ、Ⅲ界面上的反射光不是线偏振光.
7.一束自然光自水中入射到空气界面上,若水的折射率为1.33,空气的折射率为1.00,求布儒斯特角.
解:
光从水(折射率为n1)入射到空气(折射率为n2)界面时的布儒斯特定律
tgi0=n2/n1=1/1.33
i0=36.9°(=36°
)