人教版高中物理必修二5探究弹性势能的表达式.docx
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人教版高中物理必修二5探究弹性势能的表达式
高中物理学习材料
（灿若寒星**整理制作）
5探究弹性势能的表达式
1.知道探究弹性势能表达式的思路。
2.理解弹性势能的概念，知道影响弹性势能大小的因素。
3.理解弹力的功与弹性势能变化的关系。
4.掌握利用图象计算变力做功的思想及方法。
重点：
1.探究弹性势能表达式的过程及方法。
2.弹力做功与弹性势能的关系。
3.利用微元法和图象法计算变力的功。
难点：
利用微元法和图象法计算变力做功的方法。
一、弹性势能
1.概念
发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有______的相互作用而具有的势能。
【答案】弹力
2.决定弹性势能大小的相关因素的猜想
弹性势能与重力势能同属于_势能_，由此影响弹性势能的因素猜想如下：
【想一想】运动员将箭射出，弓恢复原状，此过程中弓的弹性势能怎么变化？
提示：
弓的形变量逐渐减小，弹性势能减小。
二、弹性势能（变化）大小探究
1.弹力做功特点
随弹簧________的变化而变化,还因______的不同而不同。
2.弹力做功与弹性势能的关系
【答案】形变量弹簧
减少增加
3.“化变为恒”求拉力做功W总=F1Δl1+F2Δl2+…+________。
4.“F-l”图象面积的意义表示__________的值。
【答案】FnΔln弹性势能
【判一判】
（1）不同弹簧发生相同的形变量时弹力做功相同。
（）
（2）同一弹簧发生不同的形变量时弹力做功不同。
（）
（3）弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能增加。
（）
提示：
弹力做功多少除与它的形变量有关外，还与它的劲度系数有关，
（1）错，
（2）对；弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加，（3）错。
弹性势能的理解
【探究导引】
蹦床运动是小朋友们都爱玩的活动，请思考以下问题：
（1）小朋友在蹦床上跳得为何比平常高？
（2）为何小朋友在蹦床上越用力跳，蹦床下陷得越深？
（3）小朋友们停止跳动了，为什么他们不能马上停下来？
【要点整合】
1.弹性势能的产生及影响因素
2.弹性势能与弹力做功的关系
如图所示，O为弹簧的原长处。
（1）弹力做负功：
如物体由O向A运动（压缩）或者由O向A′运动（伸长）时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
（2）弹力做正功：
如物体由A向O运动或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
（3）弹力做功与弹性势能变化的关系：
弹性势能的变化量总等于弹力对外做功的负值，表达式为W弹=-ΔEp。
3.弹性势能表达式
（1）弹簧弹力随形变量x的变化图线及围成面积的意义。
类比v-t图象的面积表示位移，F-x图象与x轴所围的面积表示弹力的功，如图所示。
所以当弹簧的位移为x时，弹力做功W弹=-kx·x=-kx2。
（2）弹性势能的大小Ep=-W弹=kx2。
【特别提醒】
（1）弹力做功是弹簧弹性势能变化的原因，弹力不做功，弹簧弹性势能不变。
（2）对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时弹性势能是一样的。
【典例1】如图所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1>h2，小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中，正确的一组是（）
A.ΔE1=ΔE2,ΔEp1=ΔEp2
B.ΔE1>ΔE2,ΔEp1=ΔEp2
C.ΔE1=ΔE2,ΔEp1>ΔEp2
D.ΔE1>ΔE2,ΔEp1>ΔEp2
【思路点拨】求解该题要注意以下三点：
关键点
（1）小球速度最大时，它的加速度瞬间为零。
（2）重力（弹性）势能与重力（弹力）做功的关系。
（3）对同一弹簧，形变量相同，弹性势能相同。
【规范解答】该题的解答过程如下：
（1）小球重力势能的变化：
两种情况下，小球速度最大时到达同一位置，由于h1>h2，第一种情况下小球下降的距离大，重力势能减少得多，即ΔE1>ΔE2。
（2）弹簧弹性势能的变化：
两种情况下弹簧发生的形变量相同，弹性势能的增加量相等，即ΔEp1=ΔEp2。
答案：
B
【变式训练】一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧上端的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图所示。
经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则（）
A．h越大，弹簧在A点的压缩量越大
B．弹簧在A点的压缩量与h无关
C．h越大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能越大
D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A
点时弹簧的弹性势能大
【解析】选B。
最终小球静止在A点时，小球所受重力与弹簧的弹力相等，故由弹力公式得mg=kx，即可得出弹簧在A点的压缩量
与下落时的高度h无关，A错，B对。
对同一弹簧，它的弹性势能大小仅与弹簧的形变量有关，小球静止在A点或经过A点时，弹簧的弹性势能相同，C、D错。
【变式备选】关于弹性势能，下列说法中正确的是（）
A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
【解析】选A、B。
任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变，A、B正确；物体发生形变，若非弹性形变，则物体不具有弹性势能，C错误；弹簧的弹性势能除了跟形变量有关，还跟弹簧的劲度系数有关，D错误。
弹性势能与重力势能的比较
【探究导引】
如图所示，小球从A点由静止开始下落，落至B点与弹簧接触，继续下落到最低处C点，请思考以下问题：
（1）小球从A点落至B点过程中，重力势能怎么变化？
弹簧的弹性势能变化吗？
（2）小球从B点落至C点过程中，重力势能怎么变化？
弹簧的弹性势能又怎么变化？
【特别提醒】
高考中不作要求,但熟记公式可迅速判断弹性势能的大小及弹性势能的变化。
【典例2】如图所示,质量为m的物体静止在地面上,物体上面连着一个轻弹簧,用手拉住弹簧上端上移H,将物体缓缓提高h,拉力F做功WF,不计弹簧的质量,则下列说法正确的是（）
A.重力做功-mgh,重力势能减少mgh
B.弹力做功-WF,弹性势能增加WF
C.重力势能增加mgh,弹性势能增加FH
D.重力势能增加mgh,弹性势能增加WF-mgh
【思路点拨】解答本题应注意以下两点:
关键点
（1）物体缓慢升高说明受到的合力为零。
（2）明确力的作用效果是使物体高度升高和弹簧伸长。
【规范解答】可将整个过程分为两个阶段:
一是弹簧伸长到m刚
要离开地面阶段,拉力克服弹力做功WF1=-W弹,等于弹性势能的
增加；二是弹簧长度不变,物体上升h，拉力克服重力做功WF2=
-WG=mgh,等于重力势能的增加,又由WF=WF1+WF2可知A、B、C错,
D对。
答案：
D
【总结提升】弹性势能变化的确定技巧
（1）弹性势能具有相对性，但其变化量具有绝对性，因此，在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能的位置。
（2）弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。
弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值。
【变式训练】关于弹性势能和重力势能，下列说法正确的是（）
A．重力势能属于物体和地球这个系统，弹性势能是弹簧本身具有
的能量
B．重力势能是相对的，弹性势能是绝对的
C．重力势能和弹性势能都是相对的
D．重力势能和弹性势能都是状态量
【解析】选A、C、D。
重力势能具有系统性，弹性势能是弹簧本身具有的能量，故A正确；重力势能和弹性势能都是相对的，且都是状态量，故B错，C、D正确。
【温馨提示】弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量决定，而某一弹簧的弹性势能大小，只取决于它的形变量，因此解决这类问题的关键是如何在复杂的问题中确定弹簧的形变量大小。
弹簧弹力做功的求法
弹簧弹力随其形变量的变大成正比例变大，因此弹簧弹力做的
功不适合用公式W=Fl来计算，计算弹簧弹力的功的方法主要有
两种：
1.平均值法
当弹簧被拉长l时，弹簧的弹力大小为F=kl，即弹簧的弹力大小与它的伸长量l成线性关系，该过程中弹簧的弹力大小的平均值
故由W=Fl知弹力做功
2.图象法
如图所示，当弹簧被拉长l时，用微分的办法将l分为若干小段，每一小段Δl1、Δl2、Δl3…对应的弹力F1、F2、F3…近似为恒力，弹力在各段做功W1=F1Δl1、W2=F2Δl2、W3=F3Δl3…对应图象中各小矩形的面积。
若将l分为无数个小段，弹簧被拉长l时弹力做功在数值上等于F-l图象与横轴所围图形的面积，故此时弹力做功大小W=
kl2。
【案例展示】一根弹簧的弹力—位移图象如图所示，那么弹簧由伸长量8cm到伸长量4cm的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为（）
A.3.6J,-3.6JB.-3.6J,3.6J
C.1.8J,-1.8JD.-1.8J,1.8J
【名师点评】对于弹性势能与弹力的功，要注意以下两点：
（1）弹簧弹力做功是弹簧弹性势能变化的直接原因，只有弹簧的弹力做功，才能引起弹簧的弹性势能变化。
（2）求弹簧弹性势能变化量的一个重要途径是利用关系式W弹=-ΔEp,只要求出弹簧弹力做的功，就可以确定弹簧弹性势能的变化量，因而此时求解弹簧弹力的功是关键。
1.如图所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是（）
A.重力势能减少，弹性势能增大
B.重力势能增大，弹性势能减少
C.重力势能减少，弹性势能减少
D.重力势能不变，弹性势能增大
【解析】选A。
弹簧向下压缩的过程中，弹簧压缩量增大，弹性势能增大；重力做正功，重力势能减少，故A正确。
2.关于弹簧的弹性势能，下面说法正确的是（）
A．当弹簧的长度为原长时，弹簧的弹性势能最小
B．弹簧被拉长时具有弹性势能，被压缩时不具有弹性势能
C．弹簧被压缩时具有的弹性势能一定小于被拉长时具有的弹性势能
D．弹簧被拉长或被压缩时，只要在弹性限度内都具有弹性势能
【解析】选A、D。
弹簧的弹性势能只与弹簧的劲度系数和形变量有关，弹簧的长度为原长时，形变量为零，弹簧的弹性势能最小，A对。
不管弹簧被拉长还是被压缩，它都具有弹性势能，弹性势能的大小与两种情况下弹簧发生的形变量大小有关，B、C错，D对。
3．关于弹力做功与弹簧弹性势能的说法正确的是（）
A．弹力对物体所做的功等于弹簧所具有的弹性势能
B．物体克服弹力所做的功等于弹簧所具有的弹性势能
C.弹簧弹力对物体所做的功等于弹簧弹性势能的减少
D.物体克服弹力所做的功等于弹簧弹性势能的增加
【解析】选C、D。
弹力做功的过程是弹簧弹性势能变化的过程，弹力做多少功，表明弹性势能变化了多少，与弹簧具有多少弹性势能无关，A、B错。
弹力对物体做正功，弹簧的弹性势能减少，其减少量等于弹力对物体做功的多少，弹力做负功则弹簧的弹性势能增加，增加量等于物体克服弹力做的功，C、D对。
4.如图所示，质量相等的两木块中间连有一弹簧，开始时物体A静止在弹簧上面。
今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面。
设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2,则关于Ep1、Ep2大小关系及弹性势能变化ΔEp的说法中正确的是（）
A.Ep1=Ep2B.Ep1＞Ep2
C.ΔEp＞0D.ΔEp＜0
【解析】选A。
开始时弹簧形变量为x1,有kx1=mg，则它离开地面时形变量为x2,有kx2=mg。
由于x1=x2所以Ep1=Ep2，ΔEp=0，A对。
5.某缓冲装置可抽象成如图所示的简单模型。
图中K1、K2为原长相等、劲度系数不同的轻质弹簧。
下列表述正确的是（）
A.缓冲效果与弹簧的劲度系数无关
B.垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等
C.垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等
D.垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变
【解析】选B、D。
弹簧劲度系数k越大，向右压缩单位长度弹力越大，物体减速越快，缓冲效果越好，A错。
由牛顿第三定律可知两弹簧弹力总是大小相等，B对。
由于k1x1=k2x2,k1≠k2，所以x1≠x2，又因原长相等，故压缩后两弹簧的长度不相等，C错；垫片向右移动时，弹簧形变量越来越大，弹性势能越来越大，D对。
一、选择题（本题包括6小题，每小题5分，共30分。
每小题至少一个选项正确）
1.弹簧的弹性势能与下列哪些因素有关（）
A.弹簧的长度B.弹簧的劲度系数
C.弹簧的形变量D.弹簧的原长
2.关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是（）
A.当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B.当弹簧变短时，它的弹性势能一定减小
C.若选弹簧自然长度时的势能为0，则其他长度的势能均为正值
D.若选弹簧自然长度的势能为0，则伸长时弹性势能为正值，压缩时弹性势能为负值
3.如图所示,在光滑水平面上有一物体,它的左端连一弹簧,弹簧的另一端固定在墙上,在力F作用下物体处于静止状态,当撤去F后,物体将向右运动。
在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是（）
A.弹簧对物体做正功,弹簧的弹性势能逐渐减少
B.弹簧对物体做负功,弹簧的弹性势能逐渐增加
C.弹簧先对物体做正功,后对物体做负功,弹簧的弹性势能先减少再增加
D.弹簧先对物体做负功,后对物体做正功,弹簧的弹性势能先增加再减少
4.如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，从弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（）
A.重力势能减少，弹性势能减少
B.重力势能减少，弹性势能增加
C.若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功
D.若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧，更换细绳前后重力做功不变，弹力不做功
5.如图所示,弹簧的一端固定在墙上,另一端在水平力F作用下缓慢拉伸了x。
关于拉力F、弹性势能Ep随伸长量x的变化图象正确的是（）
6.在光滑的水平面上，物体A以较大速度va向前运动，与以较小速度vb向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B发生相互作用，如图所示。
在相互作用的过程中，当系统的弹性势能最大时（）
A.va＞vbB.va=vb
C.va＜vbD.无法确定
二、非选择题（本题包括2小题，共20分，要有必要的文字叙述）
7.（10分）（2012·泰州高一检测）通过探究得到弹性势能的表达式为Ep=
kx2,式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长（或缩短）的长度，请利用弹性势能表达式计算下列问题。
放在地面上的物体上端系在劲度系数k=400N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示。
手拉绳子的另一端，从轻绳处于张紧状态开始，当往下拉0.1m物体开始离开地面时，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h=0.5m高处。
如果不计弹簧重和滑轮跟绳的摩擦，求整个过程拉力所做的功以及弹性势能的最大值。
8.（10分）弹簧原长l0=15cm，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到l1=20cm时，作用在弹簧上的力为400N，问：
（1）弹簧的劲度系数k为多少？
（2）在该过程中弹力做了多少功？
（3）弹簧的弹性势能变化了多少？
答案解析
1.【解析】选B、C。
弹簧的弹性势能表达式为Ep=
kx2,其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，故B、C正确。
2.【解析】选C。
如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该减小，当它变短时，它的弹性势能应该增大，在原长处它的弹性势能最小，A、B错误；由于弹簧处于自然长度时的弹性势能最小，若选弹簧自然长度时的势能为0，则其他长度的势能均为正值，C对，D错。
【总结提升】关于弹性势能的三个注意问题
（1）决定弹簧弹性势能大小的不是它的长度，而是它的形变量。
（2）弹性势能的变化由弹力做功唯一决定，与其他力是否做功、做多少功无关。
（3）弹性势能和重力势能类似，弹性势能也具有相对性，一般选弹簧处于自由长度时为弹性势能的零点。
3.【解析】选C。
弹簧由压缩到原长再到伸长,刚开始时弹力方向与物体运动方向同向，做正功,弹性势能减小。
越过原长位置后弹力方向与物体运动方向相反,弹力做负功,弹性势能增加,所以只有C正确,A、B、D错误。
【变式备选】如图所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中以下说法正确的是（）
A.物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B.物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C.弹力做正功，弹簧的弹性势能减小
D.弹力做负功，弹簧的弹性势能增加
【解析】选B、D。
由功的计算公式W=Flcosθ知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力F=kl是一个变力，所以A不正确。
弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时弹力变大，物体移动相同的距离做的功多，故B正确。
物体压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，故C错误，D正确。
4.【解析】选B、C。
小球下摆时，重力做正功，弹簧要伸长，弹力做负功，因此重力势能减少，弹性势能增加，A错，B对。
用不可伸长的细绳代替弹簧向下摆动，弹力由于始终与运动方向垂直而不做功，重力仍然做正功，做功数值大小小于更换细绳前重力做的功，C对，D错。
5.【解析】选A、D。
因为是缓慢拉伸，所以拉力始终与弹簧弹力大小相等，由胡克定律知F=kx,F-x图象为倾斜直线，A对，B错。
因为Ep∝x2,所以D对，C错。
6.【解题指南】求解该题的关键是要清楚弹簧的形变量最大时，它的弹性势能最大，而弹簧的形变量最大时，两物体的距离不是最大，就是最小。
【解析】选B。
当两物体A、B第一次相距最近时，va=vb，弹簧压缩量最大，弹性势能最大，B正确。
7.【解析】由题意知弹簧的最大伸长量x=0.1m
弹性势能Ep=
kx2=
×400×0.12J=2J
此过程中拉力做的功与弹力做的功数值相等，
则有W1=W弹=ΔEp=2J
刚好离开地面时G=F=kx=400×0.1N=40N
物体缓慢升高，F=40N
物体上升h=0.5m时拉力克服重力做功
W2=Fh=40×0.5J=20J
拉力共做功W=W1+W2=（2+20）J=22J。
答案：
22J2J
8.【解析】
（1）由
=8000N/m。
（2）由于F=kl，作出F-l图象如图所示，求出图中阴影部分的面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力F与位移l方向相反，故弹力做负功，弹力做功W=-
×400×0.05J=-10J。
（3）弹性势能变化ΔEp=-W=10J，ΔEp>0，表示弹性势能增加。
答案：
（1）8000N/m
（2）-10J（3）增加10J
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