人教A版高中数学必修5精品作业模块能力检测卷B.docx

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人教A版高中数学必修5精品作业模块能力检测卷B

模块能力检测卷（B）

（时间：

120分钟　　满分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8，则S△ABC等于（　　）

A．32　　　　　　　　　　B．16

C．32或16D．32或16

答案　D

解析　由正弦定理＝，得

sinB＝＝＝.

∴B＝60°或120°.从而知C＝90°或C＝30°.

∴S△ABC＝absinC＝×8×8sin90°＝32，

或S△ABC＝absinC＝×8×8sin30°＝16.

2．若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（　　）

A．△A1B1C1是△A2B2C2都是锐角三角形

B．△A1B1C1是△A2B2C2都是钝角三角形

C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形

D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形

答案　D

解析　本题使用特殊值法．

方法一　设△A2B2C2三内角为120°，30°，30°，△A1B1C1三内角为60°，60°，60°，则sin120°＝cos60°.

方法二　△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，

则△A1B1C1是锐角三角形，

若△A2B2C2是锐角三角形，由

得

所以△A2B2C2是钝角三角形．

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a8＝15－a5，则S9等于（　　）

A．60B．45

C．36D．18

答案　B

解析　a2＋a8＝2a5＝15－a5，∴a5＝5，S9＝9a5＝45.

4．数列{an}中，a3＝2，a7＝1，数列{}是等差数列，则a11等于（　　）

A.B.

C．0D．－

答案　B

解析　∵{}是等差数列，∴＋＝.

又a3＝2，a7＝1，∴代入后可解得a11＝.

5．已知等比数列{an}的公比q＝2，则的值为（　　）

A.B.

C.D．1

答案　A

解析　＝＝＝＝或＝＝＝.

6．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于（　　）

A．2n＋1－2B．3n

C．2nD．3n－1

答案　C

解析　∵an＝2·qn－1，∴an＋1＝2qn－1＋1.

∵{an＋1}是等比数列，

∴＝＝为常数，仅当q＝1时，符合题意；

∴Sn＝2n，当q≠1时不为常数．

故答案为C.

7．若a>b>0，则下列不等式总成立的是（　　）

A.>B．a＋>b＋

C．a＋>b＋D.>

答案　C

解析　由a>b>0⇒0<<⇒a＋>b＋.

8．下列各式：

①a2＋1>2a，②|x＋|≥2，③≤2，④x2＋≥1.其中正确的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案　C

解析　∵|x＋|＝|x|＋≥2，

且x2＋＝（x2＋1）＋－1≥1，

∴②④正确．

9．设集合A＝{x|x2－x－6>0}，B＝{x|（x－k）（x－k－1）<0}，若A∩B＝∅，则k的取值范围是（　　）

A．{k|k<－3或k>1}B．{k|－2

C．{k|k<－2或k>2}D．{k|－3≤k≤1}

答案　C

解析　A＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，

B＝{x|k3或k<－2.

10．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋y的最大值为（　　）

A．4B．11

C．12D．14

答案　B

解析　只需画出线性规划区域，如下图．

可知，z＝4x＋y在A（2,3）处取得最大值11.

11．（2012·湖北）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为（　　）

A．4∶3∶2B．5∶6∶7

C．5∶4∶3D．6∶5∶4

答案　D

解析　由题意可设a＝b＋1，c＝b－1.又∵3b＝20a·cosA，∴3b＝20（b＋1）·，整理得，7b2－27b－40＝0，解得b＝5，故a＝6，b＝5，c＝4，即sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.

12．（2012·新课标）数列{an}满足an＋1＋（－1）nan＝2n－1，则{an}的前60项和为（　　）

A．3690B．3660

C．1845D．1830

答案　D

解析　∵an＋1＋（－1）nan＝2n－1，

∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝115－a1.

∴a1＋a2＋…＋a60

＝（a1＋a2＋a3＋a3）＋（a5＋a6＋a7＋a8）＋…＋（a57＋a58＋a59＋a60）

＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1830.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）

13．数列{an}的前n项和为Sn＝3n2＋n＋1，则此数列的通项an＝________.

答案　an＝

解析　n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2，

上式中n＝1时，a1＝6×1－2＝4，而S1＝5，

∵a1≠S1，∴an＝

14．已知a，b，c分别为△ABC的三边，且3a2＋3b2－3c2＋2ab＝0，则tanC＝________.

答案　－2

解析　cosC＝＝－，

∴C>90°，sinC＝，∴tanC＝＝－2.

15．观察下面的数阵，则第20行最左边的数是________．

1

2　3　4

5　6　7　8　9

10　11　12　13　14　15　16

17　18　19　20　21　22　23　24　25

…　…　…　…　…　…

答案　362

解析　由题得每一行数字个数分别为a1＝1，a2＝3，a3＝5，…，an＝2n－1，它们成等差数列，

则前19行总共有＝＝361个数，

因此第20行最左边的数为362.

16．（2013·陕西）

在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：

m）的取值范围是________．

答案　[10,30]

解析　设矩形另一边长为y，如图所示.＝，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x（40－x）≥300，解得10≤x≤30.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，若△ABC面积为，c＝2，A＝60°，求a、b及角C的值．

解析　因为S＝bcsinA＝，所以b·2sin60°＝，得b＝1.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，

所以a2＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，则a＝.

又由正弦定理＝，得

sinC＝＝＝1，∴C＝90°.

18．（12分）山顶上有一座电视塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得A点的俯角β＝45°，已知塔高为60m，求山高．（精确到1m）

解析　

如图所示，在△ABC中，由正弦定理，得

＝⇒＝

⇒AC＝＝＝＝120cos15°.

在△ADC中，CD＝AC·sin∠CAD＝120×cos15°×sin45°≈82（m）．

19．（12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，是与（an＋1）2的等比中项．

（1）求证：

数列{an}是等差数列；

（2）若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.

（1）证明　由是与（an＋1）2的等比中项，

得Sn＝（an＋1）2.

当n＝1时，a1＝（a1＋1）2，∴a1＝1.

当n≥2时，Sn－1＝（an－1＋1）2，

∴an＝Sn－Sn－1＝（a－a＋2an－2an－1），

即（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0.

∵an>0，∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2.

∴数列{an}是等差数列．

（2）解析　数列{an}首项a1＝1，公差d＝2，

通项公式为an＝2n－1.

则bn＝，则Tn＝＋＋＋…＋.①

两边同乘以，得Tn＝＋＋＋…＋.②

①－②，得Tn＝2×（＋＋＋…＋）－－＝2×－－＝－，

解得Tn＝3－.

20．（12分）若a≠0，解关于x的不等式：

x＋2

解析　原不等式可化为<0⇔（x＋2）x（x－a）<0，

（1）当a≤－2时，解集为（－∞，－a）∪（－2,0）；

（2）当－2

（3）当a>0时，解集为（－∞，－2）∪（0，a）．

21．（12分）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

解析　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，

由题意知目标函数z＝x＋0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域．作直线l0：

x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．

解方程组得x＝4，y＝6.

此时z＝1×4＋0.5×6＝7（万元）．

∵7>0，∴当x＝4，y＝6时z取得最大值．

所以，投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．

22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0（n≥2），a1＝.

（1）求证：

{}是等差数列；

（2）求an的表达式；

（3）若bn＝2（1－n）an（n≥2），求证：

b＋b＋…＋b<1.

（1）证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，

又an＋2Sn·Sn－1＝0，所以Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0.

若Sn＝0，则a1＝S1＝0与a1＝矛盾．

故Sn≠0，所以－＝2.

又＝2，所以{}是首项为2，公差为2的等差数列．

（2）解析　由

（1）得＝2＋（n－1）·2＝2n，

故Sn＝（n∈N＋）．

当n≥2时，an＝－2Sn·Sn－1＝－2··

＝－；

当n＝1时，a1＝.

所以an＝

（3）证明　当n≥2时，

bn＝2（1－n）·an＝2（1－n）·＝.

b＋b＋…＋b＝＋＋…＋<＋＋…＋＝（1－）＋（－）＋…＋（－）

＝1－<1.