高考新课标1卷理科数学试题及答案.docx
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高考新课标1卷理科数学试题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标
1）
1.
2.
理科数学
、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有
项是符合题目要求的。
X
已知集合A={x|x<1},B={x|3
A.AIB{x|x0}
C.AUB{x|x1}
1｝，则
B.AUBR
D.AIB
如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色
部分关于正方形的中心成中心对称
.在正方形内随机取一点，
则此点取自黑色部分的概率
3.设有下面四个命题
5:
若复数z满足
P2:
若复数
P3:
若复数
P4:
若复数z
其中的真命题为
A.P1,P3
z满足
Z1,Z2满足
记Sn为等差数列
函数f（x）在（
Z1Z2
R，则zR.
的x的取值范围是
B.P1,P4
｛an｝的前n项和.若a4
z2;
C.P2,P3
D.P2,P4
a524,S6
48，则｛an｝的公差为
）单调递减，且为奇函数.若f
（1）
1，则满足1f（x2）1
A•[2,2]
B•[1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]
162
6.（12）（1x）6展开式中x2的系数为
x
7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,
正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形•该多面体的各个面中有若干个是梯形，这
些梯形的面积之和为
A.A>1000和n=n+1
B.A>1000和n=n+2
C.A1000和n=n+1
D.A1000和n=n+2
个单位长度，得到曲线C2
个单位长度，得到曲线C2
1n
C.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移一
26
个单位长度，得到曲线C2
1n
D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移—
212
个单位长度，得到曲线C2
10.已知F为抛物线C:
y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线li,12，直线li与C交于A、B两点，直线12与C交于D、E两点，贝U|AB|+|DE|的最小值为
A.16B.
14
C.
12
D.
10
11.设xyz为正数，且2x3y
5z，则
A.2x<3y<5zB.
5z<2x<3y
C.
3y<5z<2x
D.
3y<2x<5z
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件
.为激发大家学习数学的兴趣，
他们推出了解数学题获取软件激活码”的活动•这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一项是2°,接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推•求满足如下条件的学科网&最小整数N:
N>100且该数列的前N项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是
A.440B.330C.220D.110
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a,b的夹角为60°|a|=2,|b|=1，则|a+2b|=.
x2y1
14.设x,y满足约束条件2xy1,则z3x2y的最小值为.
xy0
22
15.已知双曲线C:
务笃1（a>0,b>0）的右顶点为A,以A为圆心，b为半径做圆A,
ab
圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。
若/MAN=60°,则C的离心率为。
16•如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为0。
D、E、F为圆O上的点，△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,
使得D、E、F重合，得到三棱锥。
当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：
cm3）的最大值为。
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）
a2
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1,a=3，求△ABC的周长.
18.
（12分）
（2）若FA=PD=AB=DC,APD90o，求二面角A-PB-C的余弦值.
19.（12分）
16个
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
零件，并测量其尺寸（单位：
cm）•根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（,2）.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3,3）
之外的零件数，求P（X1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3,3）之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
丄J9.97,s「7^1（16x216x2）2
16ii[16ii[16iii
其中Xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16.
用样本平均数X作为的估计值？
，用样本标准差s作为的估计值？
，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
剔除（？
3?
?
3?
）之外的学科网数据，用剩下
的数据估计和（精确到0.01）.
附：
若随机变量Z服从正态分布N（,2），则P（3Z3）0.9974,
0.9974160.9592,<0.0080.09•
20.（12分）
已知椭圆C:
车1（a>b>0），四点P1（1,1）,P2（0,1）,P3（-1，逅）,P4（1,
ab2
中恰有三点在椭圆
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点•若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-，证明：
I过定点.
21.（12分）
已知函数f（x）ae2x+（a-2）ex-x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若彳第）有两个零点，求a的取值范围.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4—4坐标系与参数方程］（10分）
x3cos
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为’（B为参数），直线I的参数方
ysin,
程为
xa4t
（t为参数）.
y1t,
（1）若a=-1,求C与I的交点坐标；
（2）若C上的点到I的距离的最大值为，求a.
23.［选修4—5:
不等式选讲］（10分）
（1）当a=1时，求不等式f（x）司（x）的解集；
（2）若不等式f（x）司（x）的解集包含[-,1],求a的取值范围
18.解：
（1）由已知BAPCDP
90,
得AB丄AP,CD丄PD.
FAD.
2017年新课标1理数答案
由正弦定理得〔sinCsinBsinA
23sinA
2
故sinBsinC
3
由于AB//CD，故AB丄PD，从而AB丄平面
又AB平面PAB，所以平面PAB丄平面PAD.
（2）在平面PAD内做PFAD，垂足为F,由
（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.
uuruuu
以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐
标系Fxyz.
尺寸在（3
3）之外的概率为
0.0026，故X~B（16,0.0026）.因此
设n（x,y,z）是平面PCB的法向量，则
uuu2.2
nPC0xyz0
mu，即22，
nCB02x0
可取n（0,1,、、2）
（x,y,z）是平面PAB的法向量，则
可取n（1,0,1）.
所以二面角APBC的余弦值为
X的数学期望为EX160.00260.0416.
天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（3,3）之外的零件的概率只有0.0408，发
生的概率很小•因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&
网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.
本数据可以看出有一个零件的尺寸在
（?
3?
?
3?
）之外，因此需对当天的生产过程进行
检查.
1
剔除（？
3?
?
3?
）之外的数据9.22,剩下数据的平均数为一（169.979.22）10.02，
15
因此的估计值为10.02.
16
Xj2160.2122169.9721591.134，易V除（?
3?
?
3?
）之外的数据9.22，剩
i1
1
下数据的样本方差为（1591.1349.2221510.022）0.008,
15
因此的估计值为0.0080.09.
20.（12分）解：
（1）由于F3,P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3,P4两点.
1113
又由~—22知，C不经过点F1,所以点P2在C上.
aba4b
2
故C的方程为—y21.
4
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,
如果I与x轴垂直，设I:
x=t，由题设知t0,且|t|2，可得A,B的坐标分别为（t,）,
2
（t,
•4t2
则k1k2
4t2
2
4t22
1
2t
2t
从而可设1
:
y
kx
m
（m
1）.将y
22
（4k1）x
8kmx
4m2
4
0
由题设可知
=16（4k2
2m
1）0.
设A（X1,
y1）,
B（
X2,
y2）,
贝9X1+X2=
而k1k2
y1
1y21
X1
X2
kx1m
1i
kx2
m
1
X1
X2
2kx1x2
（m
1）（x1
X2）
X1X2
由题设k
k2
1,
故（2k
1）X1X2
（m
4m2
4
8km
即（2k1）
（m
1）
・2,
0.
4k2
1
4k1
解得k
m1
2
当且仅当m
1时,
0,
欲使1
:
y
所以1过定点（
2,
1）
，得t2，不符合题设.
2
kxm代入—y21得
4
2,X1X2=2——
4k14k1
1）（XX2）0.
m1m1
〒xm，即y1-^（x2），
21.解：
（1）f（x）的定义域为（
）,f（x）
2xx
2ae（a2）e1
YY
（ae1）（2e1）,
（i）若a0，则f（x）0,所以f（x）在（
）单调递减.
（ii）若a0，则由f（x）0得xIna.
Ina）时，f（x）0;当x（Ina,
）时，f（x）0，所以f（x）在
（,Ina）单调递减，在（Ina,）单调递增.
（2）（i）若a0，由
（1）知,
f（x）至多有一个零点
（i）若a0,由
（1）知，当xIna时，f（x）取得最小值，最小值为
f（Ina）1
Ina.
①当a1时，由于f（lna）0，故f（x）只有一个零点;
1
2当a（1,）时，由于1lna0,即f（Ina）0,故f（x）没有零点；
a
1
3当a（0,1）时，1Ina0,即f（Ina）0.
a
422
又f
（2）ae（a2）e22e20,故f（x）在（，Ina）有一个零点.
设正整数n0满足n0ln
（1）,则f（n0）en0（aen°a2）n0e"n02n0n00.
a
3由于In（-1）Ina，因此f（x）在（Ina,）有一个零点.
a
综上，a的取值范围为（0,1）.
22.［选修4-4:
坐标系与参数方程］（10分）
2
解：
（1）曲线C的普通方程为—y21.
9
当a1时，直线I的普通方程为x4y30.
x4y30
y21
解得
21
25
24
25
从而C与I的交点坐标为（3,0），（
2124
25,25
（2）直线I的普通方程为x4y
a40，故C上的点（3cos,sin
）到I的距离为
|3cos
4sina4|
.17
4时,
d的最大值为
a」.由题设得
17
a9
17
4时,
d的最大值为
号」.由题设得一戸
.17,17
17，所以a
16.
综上，a8或a16.、
23.［选修4-5:
不等式选讲］（10分）
|x1|40•①
解：
（1）当a1时，不等式f（x）g（x）等价于x2x|x1|
1时，①式化为x
3x40，无解;
1时，①式化为
x2
0，从而
1x1；
1时,
①式化为x2
从而1x
所以
f（x）
g（x）的解集为
{x|1
（2）
[1,1]时，g（x）2.
所以
f（x）
g（x）的解集包含［1,1］，等价于当x［1,1］时f（x）2.
又f（x）在［1,1］的最小值必为f
（1）与f
（1）之一，所以f
（1）2且f
（1）2，得
1a1.
所以a的取值范围为［1,1］.
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