高三数学常用逻辑用语.docx

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高三数学常用逻辑用语

高三数学常用逻辑用语

第二单元常用逻辑用语

考点要求

1．常用逻辑用语

（1）命题及其关系

①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；

（2）简单的逻辑联结词

通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义．

（3）全称量词与存在量词

①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

第一节命题与充要条件

自主学习

1．常用逻辑用语

（1）命题

命题：

可以判断真假的语句叫命题；

2．四种命题的形式

　原命题：

若则，

逆命题：

若则，

否命题：

若则，

　逆否命题：

若则，

3．四种命题之间的关系：

注：

①原命题为真，但其逆命题不一定真；其否命题不一定为真；其逆否命题为真．

②互为逆否命题的两个命题同真同假．

③否命题即否定条件又否定结论；命题的否定仅否定结论.

二、充分必要条件：

一般地，如果已知，那么就说：

是的充分条件；是的必要条件．

可分为四类：

1.充分不必要条件，即成立，而不成立；

2.必要不充分条件，即不成立，而成立；

3.既充分又必要条件，即成立，又有成立；

4.既不充分也不必要条件，即不成立，又有不成立．

一般地，如果既有，又有，就记作：

.""叫做等价符号．

这时既是的充分条件，又是的必要条件，称是的充分必要条件，简称充要条件．

三、反证法的三步骤：

①反设：

假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立．

②归谬：

从假设出发，经过推理论证，得出矛盾．

③结论：

由矛盾判定假设不成立，从而原命题的结论成立．

教材透析

逻辑联结词：

"或""且""非"这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：

不含逻辑联结词的命题．复合命题：

由简单命题与逻辑联结词构成的命题．

常用小写的拉丁字母，，，，......表示命题，故复合命题有三种形式：

或；且；非．

（2）复合命题的真值

"非"形式复合命题的真假可以用下表表示：

非真假假真

"且q"形式复合命题的真假可以用下表表示：

且真真真真假假假真假假假假

"或"形式复合命题的真假可以用下表表示：

或真真真真假真假真真假假假

注：

①像上面表示命题真假的表叫真值表；②由真值表得：

"非"形式复合命题的真假与的真假相反；"且"形式复合命题当与同为真时为真，其他情况为假；"或"形式复合命题当与同为假时为假，其他情况为真；③真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容．

（3）四种命题

如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题．

两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假．

（5）全称命题与特称命题

这里，短语"所有"在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。

含有全体量词的命题，叫做全称命题．

短语"有一个"或"有些"或"至少有一个"在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．

典例剖析

【题型1】四种命题的关系与真假判断

【例1】判断命题"若，则有实根"的逆否命题的真假．

解法一：

写出逆否命题，再进行判断．

逆否命题是：

若无实根，则。

其真假判断如下：

∵无实根∴＜0,即0，

∴命题"若无实根，则"为真．

解法二：

利用命题间的关系，原命题与逆否命题等价来判断．

∵，∴，

∴方程的判别式

∴方程有实根，故原命题"若，则有实根"为真．

又原命题与逆否命题等价，所以其逆否命题为真．

解法三：

利用充要条件与集合的包含关系去分析．

设命题p：

，q：

方程有实根，

∴p:

，q：

=，即．

∴"若p则q"为真，其逆否命题"若则"也为真．

∴逆否命题"若无实根，则"为真．

或

设命题：

，：

方程有实根

则：

，：

方程无实根

∴:

，：

=，即，

∴"若则"为真．

故命题"若，则有实根"的逆否命题为真．

【点评】因原命题与其逆否命题有相同的真假性，所以当原命题不易判定或证明时，利用"正难则反"的原则，可判断或证明与之等价的逆否命题的真假，从而来间接判断和证明原命题的真假性．

【变式与拓展】

1.写出命题"若"的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.

【解析】逆命题：

否命题：

逆否命题：

易判定否命题假，逆否命题真，从而，逆命题假，原命题真．

2.（2008广东理）命题"若函数在其定义域内是减函数，

则"的逆否命题是（）

A、若，则函数在其定义域内不是减函数

B、若，则函数在其定义域内不是减函数

C、若，则函数在其定义域内是减函数

D、若，则函数在其定义域内是减函数

【解析】考查逆否命题，易得答案A．

【题型2】充要条件的判定

【例2】（2008陕西理）""是"对任意的正数，"的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】，另一方面对任意正数，，只要，所以选A．

【点评】"充分条件与必要条件"是四种命题的关系的深化，它们间存在着密切的联系．本题若改成命题"如果，那么对任意的正数，都有"，就是原命题正确，而逆命题不正确，则原命题的条件是结论的充分不必要条件．

【变式与拓展】

3.（2009浙江理）已知是实数，则"且"是"且"的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】对于"且"可以推出"且"，反之也是成立的.

4.（2008天津）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（C）

（A）（B）

（C）（D）

【题型3】充要条件的证明

【例3】设数列的前n项和，求证：

数列成等比数列的充要条件是．

证明：

由得，．

（1）必要性：

若数列成等比数列，，所以；

（2）充分性：

当时，也适合，即数列成等比数列.

综上所述，数列成等比数列的充要条件是．

【点评】关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用""，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，本题采用了第二种方法。

另外充要条件的证明，要分清充分性、必要性各要证什么？

哪部分是条件，哪部分是结论；对于本题的题型结构来说，"充要条件是"的后面是本题的条件，充分性证明应是有条件推结论。

【变式与拓展】

5.求方程至少有一个负实根的充要条件.

【解析】当时，原方程变形为一元一次方程，有一个负的实根，

当时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是即

设两根，

则有一负实数,有两负实数

综上所述，方程至少有一个负实根的充要条件为.

6.在中，""是""的什么条件？

【解析】在中，角A、B的对边分别是是的外接圆的半径．

一方面，因为，所以ab,即，亦即，从而在中，

另一方面，因为，所以，即，得，从而在中，

故中，""是""的充要条件．

【题型4】反证法的应用

【例4】用反证法证明：

如果

【证明】假设，由于，

　则由，有①

　②

①②均与条件""相矛盾∴【点评】反证法实际上是通过证明命题"若p则q."的逆否命题"若┐q则┐p"成立，从而达到证明命题"若p则q."成立，在证明过程中一定要注意对假设的充分利用。

常用反证法证题的题型，如含有"至少有一个""至多有一个"等字眼多用反证法。

【变式与拓展】

7.已知，，，证明：

、、中至少有一个不小于1.

证明：

假设、且，由不等式同向相加的性质得：

与假设矛盾，假设不成立.

∴、、中至少有一个不小于1.

能力训练

一、选择题

1.（2009安徽文）""是"且"的（A）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2008山东理）给出命题：

若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（C）

A．3B．2C．1D．0

3.（2008湖北理）若非空集合满足，且不是的子集，则（B）

A.""是""的充分条件但不是必要条件

B.""是""的必要条件但不是充分条件

C.""是""的充要条件

D.""既不是""的充分条件也不是""必要条件

4.（2009届广东省四校第一次联考理）设集合，，那么""是""的（　D）

A.既不充分也不必要条件　B.充要条件

C.充分而不必要条件D.必要而不充分条件

4.下列四个命题中真命题是（　Ｃ　）

　①"若，则、互为倒数"的逆命题；

　②"面积相等的三角形全等"的否命题；

　③"若，则方程有实根"的逆否命题；

　④"若，则"的逆否命题.

A　①②B　②③C　①②③D　③④

5.已知命题、，如果是的充分而不必要条件，那么是的（A）

A　充分不必要条件

B　必要不充分条件

C　充要条件

D　非充分非必要条件

6.（2009辽宁文）下列4个命题

：

，，：

，，

：

，，：

，，

其中的真命题是

　（　Ｄ　）

A.、B.、C.、D.、

二、填空题

7.下列说法：

①若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；②若一个命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题；③若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；④若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是真命题；其中正确说法的序号是①②③.

8.方程至少有一个正的实根的充要条件是．

9.的

充要

条件；的　必要不充分　条件.

10.已知命题：

函数的值域为，命题：

函数

是减函数.　若或为真命题，且为假命题，则实数a的取值范围是.

【解析】命题为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题为真时，.

若或为真命题，且为假命题，故和中只有一个是真命题，一个是假命题.

若为真，为假时，无解；若为假，为真时，结果为.

三、解答题

11.设，，；求证：

不同时大于.

【证明】假设都大于，

∵，，∴，则

同理可得：

，

将上面三个不等式向加得=++

即，左右矛盾，故假设不成立，

∴当，，时，不同时大于.

12.　已知：

，：

，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围.

【解析】解法一：

由：

，解得，

∴：

．

由：

，

解得

∴：

由是的必要而不充分条件可知：

．

∴，又∵，∴，

故实数的取值范围是.

解法二：

由题意知，命题　若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：

p是q的充分不必要条件

由：

，解得

由：

，

解得

∵是的充分不必要条件，

∴不等式的解集是解集的子集.

∴，又∵，∴，

故实数m的取值范围是

第二节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

自主学习

1.简单的逻辑联结词

常用的逻辑联结词为：

或、且、非.不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。

由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.

对"或"的理解：

用"或"字联结两个命题和，构成一个复合命题"或"．从集合的角度，可以看作是命题和命题的并集．即和两个命题至少要取一个，分为取不取，取不取、和都取三种情况，这和生活用语中的"或"字含义不同，生活用语中的"或"是二者任取一个，不能两个都取．

对"且"的理解：

用"且"字联结两个命题p和，构成一个复合命题"且"，从集合的角度，可以看作是命题和命题的交集，即和两个命题都要满足．对"非"的理解：

"非"是否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词"非"，构成了一个复合命题"非"．从集合的角度可以看作是在全集中的补集（进行否定.

2.常见词语的否定

正面词语等于大于小于是都是任意的所有的或

任意两个

至多有一个

至少有一个

至多有个

否定词语

正面词语等于大于（）小于（）是都是任意的

否定词语不等于不大于（）

不小于（）不是不都是某个正面词语所有的任意两个

至多有一个

至少有一个

至多有个

否定词语某些某两个

至少有两个

一个也没有

至少有个

　4．全称量词与存在量词

（1）全称量词：

短语"对所有的"、"对任意一个"、"都是"、"都有"、"任何的"、"都不是"在逻辑中通常称为全称量词，用符号""表示；

（2）存在量词：

短语"存在一个"、"至少有一个"、"不都是"、"不都有"、"存在"、"至少"在逻辑中通常称为存在量词，用符号表示；

（３）全称命题与特称命题

这里，短语"所有"在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示.含有全体量词的命题，叫做全称命题.

短语"有一个"或"有些"或"至少有一个"在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题.

典例剖析

【题型1】全称命题与特称命题的真假判定

【例１】写出下列命题的否定，并判断其真假.

（1），；

（2）若，则；

（3），；

（4）至少有一实数，使得；

【解析】

（1），；

由知对都成立，所以原命题为真，故其否命题为假.

（2）存在实数，满足，但；（假命题）（3），由知对都成立，所以其否命题为真.

（4），.由于，，所以其否命题为假.

【点评】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；所以其真假有时可通过另一面来判断，并且可以通过列举反例来否定一个全称命题.

【变式与拓展】

1.（2007山东理）命题"对任意的，"的否定是（Ｃ）

A.不存在B.存在

C.存在D.对任意的

2.写出下列命题的否定形式

（1）若，则、全为零；

（2）5既是奇数又是偶数；

　【答案】

（1）若，则、不全为零

（2）5不是奇数或5不是偶数

【题型2】逻辑联结词"或"、"且"、"非"

【例2】写出由下述各命题构成的"或"，"且"，"非"形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假.

（1）：

9是144的约数，：

9是225的约数。

（2）：

方程x2－1=0的解是x=1，：

方程x2－1=0的解是x=－1.

【解析】

（1）或：

9是144或225的约数；

且：

9是144与225的公约数，（或写成：

9是144的约数，且9是225的约数）；

非：

9不是144的约数.

∵真，真，∴"或"为真，"且"为真，而"非"为假.

（2）或：

方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成"方程x2－1=0的解是x=±1"，这与真值表不符）；

且：

方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；

非：

方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题中的"是"应理解为"都是"的意思）；

∵假，假，∴"或"与，"且"均为假，而"非"为真.

【点评】在命题或命题的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整.

【变式与拓展】

3.（2008广东卷）已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（Ｄ）

A．B．C．D．

4.如果命题"或"是真命题，命题"且"是假命题，则下列正确的说法是（Ｄ）A.命题和都是假命题；B.命题和都是真命题

C.命题与真值不同；D.命题与命题真值相同

【题型3】逻辑知识的综合应用

【例3】已知：

方程有两个不等的负实根；：

方程无实根.若或为真，且为假，求实数的取值范围.

【解析】由已知，中有且仅有一为真，一为假，

：

，：

若假真，则；

若真假，则；

综上所述：

.

【变式与拓展】

５.已知命题：

方程在[－1，1]上有解；命题：

只有一个实数满足不等式，若命题"p或q"是假命题，求实数的取值范围．

【解析】由，

显然

，∴.

"只有一个实数满足".即抛物线与轴只有一个交点，，∴.

∴命题"或为真命题"时""，

∵命题"或"为假命题

∴的取值范围为.

能力训练

一、选择题

1.有关命题的说法错误的是（Ｃ）

A．命题"若"的逆否命题为：

"若"

B．"x=1"是""的充分不必要条件

C．若为假命题，则、均为假命题

D．对于命题，则

2.（2009上海理）是"实系数一元二次方程有虚根"的（Ａ）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

　C.充要条件

　D.既不充分也不必要条件

3.（2009天津理）命题"存在R，0"的否定是.

A.不存在R,0B.存在R,0

C.对任意的R,0D.对任意的R,0

4.（2009重庆文）命题"若一个数是负数，则它的平方是正数"的逆命题是（Ｂ）

　A．"若一个数是负数，则它的平方不是正数"

　B．"若一个数的平方是正数，则它是负数"

　C．"若一个数不是负数，则它的平方不是正数"

　D．"若一个数的平方不是正数，则它不是负数"

5.已知命题：

，则（Ｃ）

A．B．C．D．6.给出两个命题：

p：

|x|＝x的充要条件是x为正实数；q：

奇函数的图像一定关于原点对称，则假命题是（Ｄ）

A．或qB．且q　C．p或q　D．p且q

二、填空题

7.有4个命题：

（1）没有男生爱踢足球；

（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题"所有男生都爱踢足球"的否定是（3）.

8.用"充分、必要"填空：

①或为真命题是且为真命题的__必要__条件；

②非为假命题是或为真命题的　充分　条件.

9.若命题"存在，使得"是真命题，则实数的取值范围是.

10．若用反证法证明命题：

"过平面内一点能且只能作一条直线与已知直线垂直"，则所作的反设是假设过平面内一点不能作或至少能作两条直线与已知直线垂直.

三、解答题

11.指出下列复合命题的形式及其构成的简单命题.

（1）若是一个三角形的最小内角，则不大于；

（2）等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边；

（3）垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的两条弧；

（4）.

【解析】

（1）是非形式的复合命题，其中：

若是一个三角形的最小内角，则；

（2）且形式的复合命题，其中：

等腰三角形顶角的角平分线垂直底边，：

等腰三角形顶角的角平分线平分底边；

（3）且形式的复合命题，其中：

垂直于弦的直径平分这条弦，：

垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧；

（4）或形式的复合命题，其中：

，：

.

12．已知命题：

函数的值域为；命题：

是上的减函数，若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.

【解析】设，，，

∵的值域为，

∴的值域为

∴，

　①

∵是在R上的减函数，

∴，

　②

∵或为真，且为假，∴、一真一假，

（1）若真假，则的解集.

（2）若假真，则，即，

综上所述，实数的取值范围为.

单元测验二

一、选择题

1.（2009天津文）设，则""是""的.（A）

A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件

2.（2008湖南理）"成立"是"成立"的（B）

A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2007重庆理）命题"若，则"的逆否命题是（D）若，则或B.若，则若或，则D.若或，则江西理）设：

在内单调递增，：

，则是的（B）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5.原命题：

"设，若，则"以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（　C　）个.

A.0

　B.1

　C.2　

D.4

6.（2007湖北文）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题：

①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（B）

　A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤

7.用反证法证明命题"、，可被5整除，那么、中至少有一个能被5整除"，那么假设内容是（B）

　A.、都能被5整除B.、都不能被5整除

　C.不能被5整除D.、有一个不能被5整除

8.（佛山市2008年高三教学质量检测一）""是"函数在区间上为增函数"的（A）.

A．充分条件不必要B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

9.（2007海南、宁夏文、理）已知命题，，则（　C　）Ｄ．，湖北文）若集合，，则（A）是""的充分条件但不是必要条件是""的必要条件但不是充分条件是""的充要条件既不是""的充分条件也不是""的必要条件w

二、填空题

11．命题：

"若不为零，则、都不为零"的逆否命题是

【答案】若、至少有一个为零，则为零

12.已知命题：

，则:

.

13.（2005江苏）命题"若，则"的否命题为.

14.（2001江西、山西、天津文、理）在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是②．（把符合要求的命题序号都填上）www

三、解答题

15.写出下列命题的否定与否命题，并判断其真假.

（1）等腰三角形有两个内角相等．

（2）可以被5整除的整数，末位是0．

（3）若xy=0，则x=0或y=0．

【解析】

（1）命题的否定：

存在一个等腰三角形，没有两个内角相等．（假）

否命题：

若三角形不是等腰三角形，则它的任意两个内角都不相等．（真）

（2）命题的否定：

存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0．（真）

否命题：

不能被5整除的整数，其末位不是0．（真）

（3）命题的否定：

若xy=0，则x≠0且y≠0．（假）

否命题：

若xy≠0，则x≠0且y≠0．（真）

16.：

；：

关于x的方程有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.

【解析】若关于x的方程有2个小于1的正根，设为、，

则，有且，

根据韦达定理：

有；，即有.

反之，取

方程无实根，所以，

综上所述，是的必要不充分条件.

17.已知命题：

方程有两个不相等的实负根，命题：

方程无实根；若或为真，且为假，求实数的取值范围．

【解析】由命题可以得到：

∴

由命题可以得到：

∴

∵或为真，且为假∴有且仅有一个为真，

当为真，为假时，，

当为假，为真时，，

所以，的取值范围为或．

18.已知抛物线C：

和点，，求抛物线C与线段有两个不同交点的充要条件.

【解析】①必要性：

由已知得，线段的方程为

由于抛物线C和线段有两个不同的交点，

所以方程组①有两个不同的实数解.

消元得

设，则有

，

②充分性：

当时，

∴方程有两个不等的实根、，且，方程组①有两组不同的实数解.

因此，抛物线和线段有两个不同交点的充要条件.