最新精编高中人教版A版高考数学理科一轮复习37 正弦定理和余弦定理公开课优质课教学设计.docx

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最新精编高中人教版A版高考数学理科一轮复习37正弦定理和余弦定理公开课优质课教学设计

第七节　正弦定理和余弦定理

正、余弦定理

掌握正、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．

知识点　正弦定理和余弦定理

1．正弦定理

＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：

（1）a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C.

（2）a＝2Rsin_A，b＝2RsinB，c＝2Rsin_C.

2．余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：

cosA＝，cosB＝，cosC＝.

3．三角形中常用的面积公式

（1）S＝ah（h表示边a上的高）．

（2）S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.

（3）S＝r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径）．

易误提醒　

（1）由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．

（2）在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

必记结论　三角形中的常用结论

（1）A＋B＝π－C，＝－.

（2）在三角形中大边对大角，反之亦然．

（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

（4）在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC（A，B，C≠）．

[自测练习]

1．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝（　　）

A．2B．4＋2

C．4－2D.－

解析：

在△ABC中，易知∠B＝30°，

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos30°＝4.∴b＝2.

答案：

A

2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝（　　）

A．4B．2

C.D.

解析：

在△ABC中，根据正弦定理，得＝，

∴AC＝＝＝2.

答案：

B

3．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．

解析：

由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，

即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.

故S△ABC＝AB·BCsin120°＝×5×3×＝.

答案：

考点一　利用正弦、余弦定理解三角形|

1．（2015·高考广东卷）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝且b

A．3　　　　　　　　B．2

C．2D.

解析：

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒（b－2）（b－4）＝0，由b

答案：

C

2．（2015·高考安徽卷）在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.

解析：

因为∠A＝75°，∠B＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得＝，解得AC＝2.

答案：

2

3．（2015·高考福建卷）若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．

解析：

因为△ABC的面积S△ABC＝AB·ACsinA，所以10＝×5×8×sinA，解得sinA＝，因为角A为锐角，所以cosA＝.根据余弦定理，得BC2＝52＋82－2×5×8×cosA＝52＋82－2×5×8×＝49，所以BC＝7.

答案：

7

正、余弦定理的应用原则

（1）正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．

（2）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．

考点二　利用正、余弦定理判断三角形形状|

　（2015·沈阳模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边且2asinA＝（2b＋c）sinB＋（2c＋b）sinC.

（1）求A的大小；

（2）若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

[解]　

（1）由已知，根据正弦定理得

2a2＝（2b＋c）b＋（2c＋b）c，即a2＝b2＋c2＋bc.

由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA，

∴bc＝－2bccosA，cosA＝－.

又0

（2）由

（1）知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，

∴sin2A＝（sinB＋sinC）2－sinBsinC.

又sinB＋sinC＝1，且sinA＝，

∴sinBsinC＝，因此sinB＝sinC＝.

又B、C∈，故B＝C.

所以△ABC是等腰的钝角三角形．

判定三角形形状的两条途径

（1）化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．

（2）化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正（余）弦定理是转化的桥梁．

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b－c）cosA－acosC＝0.

（1）求角A的大小；

（2）若a＝，S△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．

解：

（1）法一：

由（2b－c）cosA－acosC＝0及正弦定理，得（2sinB－sinC）cosA－sinAcosC＝0，

∴2sinBcosA－sin（A＋C）＝0，

sinB（2cosA－1）＝0.∵0

∴cosA＝.∵0

法二：

由（2b－c）cosA－acosC＝0，

及余弦定理，得（2b－c）·－＝0，整理，得b2＋c2－a2＝bc，

∴cosA＝＝，∵0

（2）△ABC为等边三角形．

∵S△ABC＝bcsinA＝，

即bcsin＝，∴bc＝3，①

∵a2＝b2＋c2－2bccosA，a＝，A＝，

∴b2＋c2＝6，②

由①②得b＝c＝，∴△ABC为等边三角形．考点三　三角形的面积问题|

　（2015·高考全国卷Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

[解]　

（1）S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，

S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.

因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.

由正弦定理可得＝＝.

（2）因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.

在△ABD和△ADC中，由余弦定理知

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.

故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.

由

（1）知AB＝2AC，所以AC＝1.

三角形面积公式的应用原则

（1）对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝.

（1）若△ABC的面积等于，求a，b；

（2）若sinC＋sin（B－A）＝2sin2A，求A的值．

解：

（1）∵c＝2，C＝，

∴由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，∵△ABC的面积等于，

∴absinC＝，∴ab＝4，

联立，解得a＝2，b＝2.

（2）∵sinC＋sin（B－A）＝2sin2A，

∴sin（B＋A）＋sin（B－A）＝4sinAcosA，

∴sinBcosA＝2sinAcosA，

①当cosA＝0时，A＝；

②当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，

联立，解得a＝，b＝，

∴b2＝a2＋c2，∵C＝，∴A＝.

综上所述，A＝或A＝.

　　7.三角变换不等价致误

【典例】　在△ABC中，若（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）·sin（A＋B），试判断△ABC的形状．

[解]　∵（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B），∴b2[sin（A＋B）＋sin（A－B）]

＝a2[sin（A＋B）－sin（A－B）]，

∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，

即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.

法一：

由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，

∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，

又sinA·sinB≠0，

∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.

在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

法二：

由正弦定理、余弦定理得：

a2b＝b2a，

∴a2（b2＋c2－a2）＝b2（a2＋c2－b2），

∴（a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

[易误点评]　

（1）从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形．

（2）代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解．

（3）结论表述不规范．

[防范措施]　

（1）判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断．

（2）在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的某种情况．

[跟踪练习]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA＋tanB＝.

（1）求角B的大小；

（2）已知＋＝3，求sinAsinC的值．

解：

（1）tanA＋tanB＝＋

＝

＝＝，

∵tanA＋tanB＝，∴＝，

∴cosB＝，∵0

（2）＋＝＝，

∵＋＝3，∴＝3，

即＝3，∴＝2，

而＝＝＝，

∴sinAsinC＝.

A组　考点能力演练

1．（2016·兰州一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asinB，则A＝（　　）

A．30°B．45°

C．60°D．75°

解析：

因为在锐角△ABC中，b＝2asinB，由正弦定理得，sinB＝2sinAsinB，所以sinA＝，又0

答案：

A

2．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋a2＝（b＋c）2，则cosA等于（　　）

A.B．－

C.D．－

解析：

S＋a2＝（b＋c）2⇒a2＝b2＋c2－2bc，由余弦定理得sinA－1＝cosA，结合sin2A＋cos2A＝1，可得cosA＝－.

答案：

D

3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为（　　）

A.B．1

C.D．2

解析：

∵a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝，∴A＝，又bc＝4，∴△ABC的面积为bcsinA＝，故选C.

答案：

C

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，则b等