江苏各地市高三历次模拟数学试题导数汇编.docx

江苏各地市高三历次模拟数学试题导数汇编.docx

《江苏各地市高三历次模拟数学试题导数汇编.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏各地市高三历次模拟数学试题导数汇编.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

江苏各地市高三历次模拟数学试题导数汇编

江苏各地市高三历次模拟数学试题导数汇编

目录（基础复习部分）第四章导数2第22课导数的概念与运算2第23课利用导数研究函数的性质2第24课导数在实际生活中的应用16第25课综合应用25

第四章导数第22课导数的概念与运算曲线在点处的切线方程为▲．若直线是曲线的一条切线，则实数.-1　　已知直线与在点处的切线互相垂直，则▲．若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数的值为．（南通调研一）在平面直角坐标系中，记曲线R，在处的切线为直线．若直线在两坐标轴上的截距之和为12，则的值为.�D3或�D4（镇江期末）曲线与曲线公切线（相同的切线）的条数为▲.1（盐城期中）已知点是函数图象上一点，则曲线在点处的切线斜率的最小值为▲.（南通调研二）在平面直角坐标系中，若曲线在（为自然对数的底数）处的切线与直线垂直，则实数的值为▲．【答案】（金海南三校联考）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线C：

y=ex上一点，直线l：

x＋2y＋c=0经过点P，且与曲线C在点P处的切线垂直，则实数c的值为.－4－ln2

第23课利用导数研究函数的性质

函数的图象经过四个象限的充要条件是▲已知函数，其中当函数的值域为时，则实数的取值范围.（�薏柚醒аР庖�）设函数在上存在导数,对任意的有,且在上.若,则实数的取值范围▲．（泰州二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲．（南通调研二）设（）是上的单调增函数，则的值为▲．【答案】6（苏北三市调研三）函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是▲▲．（�薏柚醒аР庖�）设,函数.

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若有零点,求实数a的取值范围；（3）若有两个相异零点,求证:

.解：

在区间上,.

（1）当时，，则切线方程为，即…………………………………4分

（2）①若,有唯一零点.…………………………………6分②若,则,是区间上的增函数,,,,函数在区间有唯一零点.……………………8分③若,令得:

.在区间上,,函数是增函数;在区间上,,函数是减函数;故在区间上,的极大值为.由即,解得:

.故所求实数a的取值范围是.………………………………10分（3）设,原不等式令,则,于是.设函数,求导得:

故函数是上的增函数,，即不等式成立,故所证不等式成立.…………………………………………16分已知函数（是不同时为零的常数），导函数为．

（1）当时，若存在，使得成立，求的取值范围；

（2）求证：

函数在内至少有一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程，在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围．解：

（1）当时，，其对称轴为直线．………………………………………………………………………………2分当解得，当，无解，所以的取值范围为．…………………………4分⑵因为解法1当时，，适合题意．当时，，令，则．令，则．…………………………6分当时，，所以在内有零点；当时，，所以在内有零点．因此，当时，在内至少有一个零点．综上可知，函数在内至少有一个零点．…………………………9分解法2，，.由于不同时为零，所以，…………………………7分或故结论成立．……………………………………………9分（3）因为为奇函数，所以，所以，又在处的切线垂直于直线，所以，即.……………………………………………………10分因为,所以在上是增函数，在上是减函数．由解得．…………………………11分当时，，即，解得；当时，，解得；当时，显然不成立；当时，即，解得；当时，或，故或．所以，所求的取值范围是，或或．………………16分（各题如有其他解法，请相应给分）已知二次函数（其中其中导函数的图象如图，设

（1）求函数在处的切线斜率；

（2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若函数的图象总在函数图象的上方，求的取值范围.解：

⑴2分，所以函数处的切线斜率为-1　4分⑵（0，1）1（1，3）3+0－0+�J�K�J的单调递增区间为（0，1）和的单调递减区间为（1，3）　　　7分要使函数在区间上是单调函数，则，解得　　　9分⑶由题意，恒成立，得恒成立，即恒成立，设13分因为当的最小值为的较小者．　　　15分又已知，．16分设函数．

（1），，求的单调增区间；

（2），，若对一切恒成立，求的最小值的表达式；解：

（1）或-------------------------------------------------------1分或-----------------------------2分所以与为单调增区间；----------------------3分同理或----------------------------------------4分----------------------------------------------------------------------5分所以为单调增区间---------------------------------------------------------6分综上的单调增区间为，，-----7分

（2）即．当时，上式对一切恒成立；当时，即对一切恒成立．∴，--------------------------------------------------------9分I）当时，在时取得，∴---------------------10分II）当时，（�。

┤�则所以-------------------------------------------------------------12分（��）因为，且所以不会是最大值；---------------------13分所以----------------------------15分由I），II），得---------------------------------------------------16分设函数在点处的切线方程为.

（1）求实数及的值；

（2）求证：

对任意实数，函数有且仅有两个零点.解：

（1）.由

（2）得，代入

（1）得，于是.

（淮安宿迁摸底）已知函数（其中是自然对数的底数），，．

（1）记函数，且，求的单调增区间；

（2）若对任意，，均有成立，求实数的取值范围．

（1）因为，所以，……………………2分令，因为，得或，……………………5分所以的单调增区间为和；……………………6分

（2）因为对任意且，均有成立，不妨设，根据在上单调递增，所以有对恒成立，……………………8分所以对，恒成立，即对，恒成立，所以和在都是单调递增函数，………………11分当在上恒成立，得在恒成立，得在恒成立，因为在上单调减函数，所以在上取得最大值，解得．………………………………13分当在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，因为在上递减，在上单调递增，所以在上取得最小值，所以，……………………………15分所以实数的取值范围为．………………………16分

（南通调研一）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．已知函数R）．

（1）当时，求的极值；

（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围．（注：

e是自然对数的底数）（南京盐城模拟一）已知函数，.

（1）设.①若函数在处的切线过点，求的值；②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；

（2）设函数，且，求证：

当时，.解：

（1）由题意，得，所以函数在处的切线斜率，……………2分又，所以函数在处的切线方程，将点代入，得.……………4分

（2）方法一：

当时，可得，因为，所以，①当时，，函数在上单调递增，而，所以只需，解得，从而.……………6分②当时，由，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以函数在上有最小值为，令，解得，所以．综上所述，．……………10分方法二：

当时，．①当时，显然不成立；②当且时，．令，则．当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．又，，由题意知．（3）由题意，．而等价于，令，……………12分则，且，令，则，因，所以，……………14分所以导数在上单调递增，于是，从而函数在上单调递增，即．……………16分（盐城期中）已知函数，，.

（1）若曲线与直线相切，求实数的值；

（2）记，求在上的最大值；（3）当时，试比较与的大小.解：

（1）设曲线与相切于点，由，知，解得，……………2分又可求得点为，所以代入，得.……………4分

（2）因为，所以.①当，即时，，此时在上单调递增，所以；……………6分②当即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，.（i）当，即时，；（ii）当，即时，；……………8分③当，即时，，此时在上单调递减，所以.综上，当时，；当时，.……………10分（3）当时，，，①当时，显然；②当时，，，记函数，……………12分则，可知在上单调递增，又由，知，在上有唯一实根，且，则，即（），当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，……………14分结合（）式，知，所以，则，即，所以.综上，.……………16分（说明：

若学生找出两个函数与图象的一条分隔线，如，然后去证与，且取等号的条件不一致，同样给分）（南京盐城二模）已知函数f（x）＝1＋lnx－k（x－2）x，其中k为常数．

（1）若k＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）若k＝5，求证：

f（x）有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．（参考数据ln8＝2.08，ln9＝2.20，ln10＝2.30）解：

（1）当k＝0时，f（x）＝1＋lnx．因为f（x）＝1x，从而f

（1）＝1．又f

（1）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程y－1＝x－1，即x－y＝0．………3分

（2）当k＝5时，f（x）＝lnx＋10x－4．因为f（x）＝x－10x2，从而当x∈（0，10），f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（10，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x＝10时，f（x）有极小值．………………5分因f（10）＝ln10－3＜0，f

（1）＝6＞0，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．因为f（e4）＝4＋10e4－4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．从而f（x）有两个不同的零点．……………8分（3）方法一：

由题意知，1+lnx－k（x－2）x＞0对x∈（2，＋∞）恒成立，即k＜x＋xlnxx－2对x∈（2，＋∞）恒成立．令h（x）＝x＋xlnxx－2，则h（x）＝x－2lnx－4（x－2）2．设v（x）＝x－2lnx－4，则v（x）＝x－2x．当x∈（2，＋∞）时，v（x）＞0，所以v（x）在（2，＋∞）为增函数．因为v（8）＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，v（9）＝5－2ln9＞0，所以存在x0∈（8，9），v（x0）＝0，即x0－2lnx0－4＝0．当x∈（2，x0）时，h（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，＋∞）时，h（x）＞0，h（x）单调递增．所以当x＝x0时，h（x）的最小值h（x0）＝x0＋x0lnx0x0－2．因为lnx0＝x0－42，所以h（x0）＝x02∈（4，4.5）．故所求的整数k的最大值为4．……………16分方法二：

由题意知，1+lnx－k（x－2）x＞0对x∈（2，＋∞）恒成立．f（x）＝1+lnx－k（x－2）x，f（x）＝x－2kx2．①当2k≤2，即k≤1时，f（x）＞0对x∈（2，＋∞）恒成立，所以f（x）在（2，＋∞）上单调递增．而f

（2）＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈（2，2k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2k，＋∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x＝2k时，f（x）有最小值f（2k）＝2＋ln2k－k．从而f（x）＞0在x∈（2，＋∞）恒成立，等价于2＋ln2k－k＞0．令g（k）＝2＋ln2k－k，则g（k）＝1－kk＜0，从而g（k）在（1，＋∞）为减函数．因为g（4）＝ln8－2＞0，g（5）＝ln10－3＜0，所以使2＋ln2k－k＜0成立的最大正整数k＝4．综合①②，知所求的整数k的最大值为4．………16分

第24课导数在实际生活中的应用（苏北四市期末）如图，有一个长方形地块，边为2，为4．地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线是以直线为对称轴，以为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带，，分别在边，上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点到边的距离为（单位：

），△的面积为（单位：

）．

（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）是否存在点，使隔离出的△面积超过3？

并说明理由．

（1）如图，以为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为．…………………………………………………………1分设边缘线所在抛物线的方程为，把代入，得，解得，所以抛物线的方程为．………………………………………………………3分因为，………………………………………………………4分所以过的切线方程为．………………………………………5分令，得；令，得，…………………………………7分所以，………………………………………………………8分所以，定义域为．………………………………………9分

（2），………………………………………12分由，得，所以在上是增函数，在上是减函数，…………………………14分所以在上有最大值．又因为，所以不存在点，使隔离出的△面积超过3．…………………………16分（淮安宿迁摸底）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且∥．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为.

（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）求观光路线总长的最大值.

（1）由题意知，，…………………………………2分，…………………………………5分因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，所以所以，…………………………………………7分

（2）记,则，………………………………9分令，得，………………………………………………11分列表x（0，）（，）

＋0－f（x）递增极大值递减所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分即，答：

观光路线总长的最大值为千米．……………………………14分（盐城期中）如图是一块镀锌铁皮的边角料，其中都是线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在直线是该抛物线的对称轴.经测量，2米，米，，点到的距离的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段或线段上，点在线段上，点在线段上）.设的长为米，矩形的面积为平方米.

（1）将表示为的函数；

（2）当为多少米时，取得最大值，最大值是多少？

解：

（1）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.…………2分设曲线段所在抛物线的方程为，将点代入，得，即曲线段的方程为.…………4分又由点得线段的方程为.…………6分而，所以…………8分

（2）①当时，因为，所以，由，得，…………10分当时，，所以递增；当时，，所以递减，所以当时，；…………12分②当时，因为，所以当时，；…………14分综上，因为，所以当米时，平方米.…………16分（说明：

本题也可以按其它方式建系，如以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，仿此给分）

（南京盐城二模）右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OPAB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：

m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：

m2）．

（1）按下列要求建立函数关系式：

（i）设∠POF＝θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN＝x（m），将S表示成x的函数；

（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

解：

（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．（i）在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，故S＝EF×FG＝20sinθ（10cosθ－3.5）＝10sinθ（20cosθ－7）．即所求函数关系是S＝10sinθ（20cosθ－7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝720．…………4分（ii）因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．在Rt△ONF中，NF＝OF2－ON2＝100－（x＋3.5）2＝3514－7x－x2．在矩形EFGH中，EF＝2NF＝351－28x－4x2，FG＝MN＝x，故S＝EF×FG＝x351－28x－4x2．即所求函数关系是S＝x351－28x－4x2，0＜x＜6.5．…………8分

（2）方法一：

选择（i）中的函数模型：

令f（θ）＝sinθ（20cosθ－7），则f′（θ）＝cosθ（20cosθ－7）＋sinθ（－20sinθ）＝40cos2θ－7cosθ－20．…………10分由f′（θ）＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝45，或cosθ＝－58．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝45．设cosα＝45，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ＝α，即cosθ＝45时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大．…………14分方法二：

选择（ii）中的函数模型：

因为S＝x2（351－28x－4x2），令f（x）＝x2（351－28x－4x2），则f′（x）＝－2x（2x－9）（4x＋39）．………10分因为当0＜x＜92时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当92＜x＜132时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝92时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大．…………14分（苏北三市调研三）如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F．为缓解交通压力，决定从P地分别向AC和BD修建两条互相垂直的公路PE和PF．设（）．

（1）为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；

（2）为节省建设成本，试确定E，F的位置，使PE+PF的值最小．

（1）在Rt△PAE中，由题意可知，AP=8，则．所以.………………………………………………………………………2分同理在Rt△PBF中，，PB＝1,则,所以.………………………………………………………………………4分故△PAE与△PFB的面积之和为………………………………………………………5分=8,当且仅当,即时取等号,故当AE=1km,BF=8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小.……………………………………………6分

（2）在Rt△PAE中，由题意可知，则．同理在Rt△PBF中，，则．令，，……………………………………………………………8分则，………………………………………………………………10分令，得，记，，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以时，取得最小值，………………………………………………………………………12分此时，．所以当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．…………………………………………14分（南京三模）如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM＝60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记AOP＝，∈（0，π）．

（1）当＝23时，求点P距地面的高度PQ；

（2）试确定的值，使得MPN取得最大值．

解：

（1）由题意，得PQ＝50－50cos．从而，当＝23时，PQ＝50－50cos23＝75．即点P距地面的高度为75m．…………………………4分

（2）（方法一）由题意，得AQ＝50sin，从而MQ＝60－50sin，NQ＝300－50sin．又PQ＝50－50cos，所以tanNPQ＝NQPQ＝6－sin1－cos，tanMPQ＝MQPQ＝6－5sin5－5cos．…………………………6分从而tanMPN＝tan（NPQ－MPQ）＝tanNPQ－tanMPQ1＋tanNPQtanMPQ＝6－sin1－cos－6－5sin5－5cos1＋6－sin1－cos×6－5sin5－5cos＝12（1－cos）23