江苏各地市高三历次模拟数学试题导数汇编.docx

1、江苏各地市高三历次模拟数学试题导数汇编江苏各地市高三历次模拟数学试题导数汇编目录（基础复习部分） 第四章 导数 2 第22课 导数的概念与运算 2 第23课 利用导数研究函数的性质 2 第24课 导数在实际生活中的应用 16 第25课 综合应用 25第四章 导数 第22课 导数的概念与运算 曲线 在点 处的切线方程为 若直线 是曲线 的一条切线，则实数 .-1 已知直线 与 在点 处的切线互相垂直，则 若曲线 与曲线 在 处的两条切线互相垂直，则实数 的值为 (南通调研一) 在平面直角坐标系 中，记曲线 R， 在 处的切线为直线 若直线 在两坐标轴上的截距之和为12，则 的值为 .D3或D4

2、（镇江期末）曲线 与曲线 公切线（相同的切线）的条数为 . 1 （盐城期中）已知点 是函数 图象上一点，则曲线 在点 处的切线斜率的最小值为 . （南通调研二）在平面直角坐标系 中，若曲线 在 ( 为自然对数的底数)处的切线与直线 垂直，则实数 的值为 【答案】 （金海南三校联考）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线C：y=ex上一点，直线l：x2yc=0经过点P，且与曲线C在点P处的切线垂直，则实数c的值为 .4ln2第23课 利用导数研究函数的性质函数 的图象经过四个象限的充要条件是 已知函数 ，其中 当函数 的值域为 时，则实数 的取值范围 . (薏柚醒庖)设函数 在 上存在导数 ,对任意

3、的 有 ,且在 上 .若 ,则实数 的取值范围 （泰州二模）若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 （南通调研二）设 ( )是 上的单调增函数，则 的值为 【答案】6 （苏北三市调研三）函数 ( )有三个不同的零点，则实数 的取值范围是 (薏柚醒庖)设 ,函数 . （1）若 ，求曲线 在 处的切线方程； （2）若 有零点,求实数a的取值范围； （3）若 有两个相异零点 ,求证: . 解：在区间 上, . （1）当 时， ， 则切线方程为 ，即 4分 （2）若 , 有唯一零点 . 6分 若 ,则 , 是区间 上的增函数, , , ,函数 在区间 有唯一零点. 8分 若 ,令 得: .

4、在区间 上, ,函数 是增函数; 在区间 上, ,函数 是减函数; 故在区间 上, 的极大值为 . 由 即 ,解得: . 故所求实数a的取值范围是 . 10分 (3) 设 , 原不等式 令 ,则 ,于是 . 设函数 , 求导得: 故函数 是 上的增函数, ，即不等式 成立, 故所证不等式 成立. 16分 已知函数 ( 是不同时为零的常数)，导函数为 （1）当 时，若存在 ，使得 成立，求 的取值范围； （2）求证：函数 在 内至少有一个零点； （3）若函数 为奇函数，且在 处的切线垂直于直线 ，关于 的方程 ，在 上有且只有一个实数根，求实数 的取值范围 解：(1)当 时， ，其对称轴为直线

5、2分 当 解得 ， 当 ，无解，所以 的取值范围为 4分 因为 解法1 当 时， ，适合题意 当 时， ，令 ，则 令 ，则 6分 当 时， ，所以 在 内有零点； 当 时， ，所以 在 内有零点 因此，当 时， 在 内至少有一个零点 综上可知，函数 在 内至少有一个零点 9分 解法2 ， ， . 由 于不同时为零，所以 ， 7分 或 故结论成立 9分 (3)因为 为奇函数，所以 ，所以 ， 又 在 处的切线垂直于直线 ，所以 ， 即 . 10分 因为 ,所以 在 上是增函数，在 上是减函数由 解得 11分 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时，显然不成立； 当 时， 即

6、，解得 ； 当 时， 或 ，故 或 所以，所求 的取值范围是 ，或 或 16分 (各题如有其他解法，请相应给分) 已知二次函数 （其中 其中导函数 的图象如图，设 （1） 求函数 在 处的切线斜率； （2） 若函数 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围； （3） 若函数 的图象总在函数 图象的上方，求 的取值范围. 解： 2分 ，所以函数 处的切线斜率为-1 4分 （0，1） 1 （1，3） 3 + 0 0 + J K J 的单调递增区间为（0，1）和 的单调递减区间为（1，3） 7分 要使函数 在区间 上是单调函数， 则 ，解得 9分 由题意， 恒成立， 得 恒成立， 即 恒成立， 设

7、13分 因为 当 的最小值为 的较小者 15分 又已知 ， 16分 设函数 （1） ， ，求 的单调增区间； （2） ， ，若 对一切 恒成立，求 的最小值 的表达式； 解： （1） 或 -1分 或 -2分 所以 与 为 单调增区间；-3分 同理 或 -4分 -5分 所以 为 单调增区间-6分 综上 的单调增区间为 ， ， -7分 （2） 即 当 时，上式对一切 恒成立； 当 时，即 对一切 恒成立 ， -9分 I）当 时， 在 时取得， -10分 II）当 时， （。 则 所以 -12分 （） 因为 ，且 所以 不会是最大值；-13分 所以 -15分 由I），II），得 -16分 设函数 在

8、点 处的切线方程为 . （1）求实数 及 的值； （2）求证：对任意实数 ，函数 有且仅有两个零点. 解：（1） . 由（2）得 ，代入（1）得 ，于是 .（淮安宿迁摸底） 已知函数 （其中 是自然对数的底数）， ， （1）记函数 ，且 ，求 的单调增区间； （2）若对任意 ， ，均有 成立，求实数 的取值范围 （1）因为 ， 所以 ， 2分 令 ，因为 ，得 或 ， 5分 所以 的单调增区间为 和 ； 6分 （2）因为对任意 且 ，均有 成立， 不妨设 ，根据 在 上单调递增， 所以有 对 恒成立，8分 所以 对 ， 恒成立， 即 对 ， 恒成立， 所以 和 在 都是单调递增函数，11分 当

9、 在 上恒成立， 得 在 恒成立，得 在 恒成立， 因为 在 上单调减函数，所以 在 上取得最大值 ， 解得 13分 当 在 上恒成立， 得 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 因为 在 上递减，在 上单调递增， 所以 在 上取得最小值 ， 所以 ， 15分 所以实数 的取值范围为 16分（南通调研一）若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点已知函数 R) （1）当 时，求 的极值； （2）若 在区间 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围（注：e是自然对数的底数） （南京盐城模拟一）已知函数 ， . （1）设 . 若函数 在 处的切线过点 ，求 的值； 当 时，若函数 在 上

10、没有零点，求 的取值范围； （2）设函数 ，且 ，求证：当 时， . 解：（1）由题意，得 ， 所以函数 在 处的切线斜率 ， 2分 又 ，所以函数 在 处的切线方程 ， 将点 代入，得 . 4分 （2）方法一：当 时，可得 ，因为 ，所以 ， 当 时， ，函数 在 上单调递增，而 ， 所以只需 ，解得 ，从而 . 6分 当 时，由 ，解得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增. 所以函数 在 上有最小值为 ， 令 ，解得 ，所以 综上所述， 10分 方法二：当 时， 当 时，显然不成立； 当 且 时， 令 ，则 当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递减；当 时，

11、 ，函数 单调递增又 ， ，由题意知 （3）由题意， 而 等价于 ， 令 ， 12分 则 ，且 ， 令 ，则 ， 因 ，所以 ， 14分 所以导数 在 上单调递增，于是 ， 从而函数 在 上单调递增，即 16分 （盐城期中）已知函数 ， ， . （1）若曲线 与直线 相切，求实数 的值； （2）记 ，求 在 上的最大值； （3）当 时，试比较 与 的大小. 解：（1）设曲线 与 相切于点 ，由 ，知 ， 解得 ， 2分 又可求得点 为 ，所以代入 ，得 . 4分 （2）因为 ，所以 . 当 ，即 时， ，此时 在 上单调递增， 所以 ； 6分 当 即 时，当 时， ， 单调递减， 当 时， ，

12、 单调递增， ， . (i)当 ，即 时， ； (ii) 当 ，即 时， ； 8分 当 ，即 时， ，此时 在 上单调递减，所以 . 综上，当 时， ；当 时， . 10分 (3)当 时， ， ， 当 时，显然 ； 当 时， ， ， 记函数 ， 12分 则 ，可知 在 上单调递增，又由 ， 知， 在 上有唯一实根 ，且 ，则 ，即 （ ）， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， 所以 ， 14分 结合（ ）式 ，知 ， 所以 ，则 ， 即 ，所以 . 综上， . 16分 （说明：若学生找出两个函数 与 图象的一条分隔线，如 ，然后去证 与 ，且取等号的条件不一致，同样给分） （南京

13、盐城二模）已知函数f(x)1lnxk(x2)x，其中k为常数 （1）若k0，求曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程； （2）若k5，求证：f(x)有且仅有两个零点； （3）若k为整数，且当x2时，f(x)0恒成立，求k的最大值 （参考数据ln82.08，ln92.20，ln102.30） 解：（1）当k0时，f(x)1lnx 因为f (x)1x，从而f (1)1 又f (1)1， 所以曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程y1x1， 即xy0 3分 （2）当k5时，f(x)lnx10x4 因为f (x)x10x2，从而 当x(0，10)，f (x)0，f(x)单调递减；当x(

14、10，)时，f (x)0，f(x)单调递增 所以当x10时，f(x)有极小值 5分 因f(10)ln1030，f(1)60，所以f(x)在(1，10)之间有一个零点 因为f(e4)410e440，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点 从而f(x)有两个不同的零点 8分 （3）方法一：由题意知，1+lnxk(x2)x0对x(2，)恒成立， 即kxxlnxx2对x(2，)恒成立 令h(x)xxlnxx2，则h (x)x2lnx4(x2)2 设v(x)x2lnx4，则v (x)x2x 当x(2，)时，v (x)0，所以v(x)在(2，)为增函数 因为v(8)82ln8442ln80，v(9)5

15、2ln90， 所以存在x0(8，9)，v(x0)0，即x02lnx040 当x(2，x0)时，h (x)0，h(x)单调递减，当x(x0，)时，h (x)0，h(x)单调递增 所以当xx0时，h(x)的最小值h(x0)x0x0lnx0x02 因为lnx0x042，所以h(x0)x02(4，4.5) 故所求的整数k的最大值为4 16分 方法二：由题意知，1+lnxk(x2)x0对x(2，)恒成立 f(x)1+lnxk(x2)x，f (x)x2kx2 当2k2，即k1时，f (x)0对x(2，)恒成立， 所以f(x)在(2，)上单调递增 而f(2)1ln20成立，所以满足要求 当2k2，即k1时，

16、 当x(2，2k)时，f (x)0， f(x)单调递减，当x(2k，)，f (x)0，f(x)单调递增 所以当x2k时，f(x)有最小值f(2k)2ln2kk 从而f(x)0在x(2，)恒成立，等价于2ln2kk0 令g(k)2ln2kk，则g (k)1kk0，从而g(k) 在(1，)为减函数 因为g(4)ln820，g(5)ln1030 ， 所以使2ln2kk0成立的最大正整数k4 综合，知所求的整数k的最大值为4 16分第24课 导数在实际生活中的应用 （苏北四市期末）如图，有一个长方形地块 ，边 为2 ， 为4 地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线 是以直线 为对称轴，以 为顶点的

17、抛物线的一部分现要铺设一条过边缘线 上一点 的直线型隔离带 ， ， 分别在边 ， 上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）设点 到边 的距离为 （单位： ）， 的面积为 （单位： ） (1)求 关于 的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)是否存在点 ，使隔离出的 面积 超过3 ？并说明理由（1）如图，以 为坐标原点 ， 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 点坐标为 1分 设边缘线 所在抛物线的方程为 ， 把 代入，得 ，解得 ， 所以抛物线的方程为 3分 因为 ， 4分 所以过 的切线 方程为 5分 令 ，得 ；令 ，得 ，7分 所以 ， 8分 所以 ，定义域为 9分 （2） ，

18、 12分 由 ，得 ， 所以 在 上是增函数，在 上是减函数，14分 所以 在 上有最大值 又因为 ， 所以不存在点 ，使隔离出的 面积 超过3 16分 （淮安宿迁摸底） 如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图已知 为直径，且 km, 为圆心， 为圆周上靠近 的一点， 为圆周上靠近 的一点，且 现在准备从 经过 到 建造一条观光路线，其中 到 是圆弧 ， 到 是线段 .设 ，观光路线总长为 . （1）求 关于 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）求观光路线总长的最大值.(1)由题意知， ， 2分 ， 5分 因为 为圆周上靠近 的一点， 为圆周上靠近 的一点，且 ， 所以 所以 ， 7分

19、(2)记 ,则 ， 9分 令 ，得 ， 11分 列表 x (0， ) ( ， ) 0 f (x) 递增 极大值 递减 所以函数 在 处取得极大值，这个极大值就是最大值，13分 即 ， 答：观光路线总长的最大值为 千米 14分 （盐城期中）如图是一块镀锌铁皮的边角料 ，其中 都是线段，曲线段 是抛物线的一部分，且点 是该抛物线的顶点， 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量， 2米， 米， ，点 到 的距离 的长均为1米现要用这块边角料裁一个矩形 （其中点 在曲线段 或线段 上，点 在线段 上，点 在线段 上）. 设 的长为 米，矩形 的面积为 平方米. （1）将 表示为 的函数； （2）当 为多

20、少米时， 取得最大值，最大值是多少？解：（1）以点 为坐标原点， 所在直线为 轴， 建立平面直角坐标系. 2分 设曲线段 所在抛物线的方程为 ， 将点 代入，得 ， 即曲线段 的方程为 . 4分 又由点 得线段 的方程 为 . 6分 而 ， 所以 8分 （2）当 时，因为 ， 所以 ，由 ，得 ， 10分 当 时， ，所以 递增； 当 时， ，所以 递减，所以当 时， ； 12分 当 时，因为 ， 所以当 时， ； 14分 综上，因为 ，所以当 米时， 平方米. 16分 （说明：本题也可以按其它方式建系，如以点 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，仿此给分）（南京盐城二模）右图为

21、某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上， G，H在弦AB上)过O作OP AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P已知OP10，MP6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2） （1）按下列要求建立函数关系式： (i)设POF (rad)，将S表示成的函数； (ii)设MNx (m)，将S表示成x的函数； （2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？ 解：（1）由题意知，OFOP10，MP6.5，故OM3.5 (i)在

22、RtONF中，NFOFsin10sin，ONOFcos10cos 在矩形EFGH中，EF2MF20sin，FGONOM10cos3.5， 故SEFFG20sin(10cos3.5)10sin(20cos7) 即所求函数关系是S10sin(20cos7)，00，其中cos0720 4分 (ii)因为MNx，OM3.5，所以ONx3.5 在RtONF中，NFOF2ON2100(x3.5)235147xx2 在矩形EFGH中，EF2NF35128x4x2，FGMNx， 故SEFFGx35128x4x2 即所求函数关系是Sx35128x4x2，0x6.5 8分 （2）方法一：选择(i)中的函数模型：

23、令f()sin(20cos7)， 则f ()cos(20cos7)sin(20sin)40cos27cos20 10分 由f ()40cos27cos200，解得cos45，或cos58 因为00，所以coscos0，所以cos45 设cos45，且为锐角， 则当(0，)时，f ()0 ，f()是增函数；当(，0)时，f ()0 ，f()是减函数， 所以当，即cos45时，f()取到最大值，此时S有最大值 即MN10cos3.54.5m时，通风窗的面积最大 14分 方法二：选择(ii)中的函数模型： 因为Sx2(35128x4x2) ，令f(x)x2(35128x4x2)， 则f (x)2x(

24、2x9)(4x39) 10分 因为当0x92时 ，f (x)0，f(x)单调递增，当92x132时，f (x)0，f(x)单调递减， 所以当x92时，f(x)取到最大值，此时S有最大值 即MNx4.5m时，通风窗的面积最大 14分 （苏北三市调研三）如图，在P地正西方向8 km的A处和正东方向1 km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F为缓解交通压力，决定从P地分别向AC和BD修建两条互相垂直的公路PE和PF设 ( ) （1）为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使PAE与PFB的面积之和最小； （2）为节省建设成本，试确定E，F的位置，

25、使PE+PF的值最小（1）在RtPAE中，由题意可知 ，AP=8，则 所以 . 2分 同理在RtPBF中， ，PB1,则 , 所以 . 4分 故PAE与PFB的面积之和为 5分 =8, 当且仅当 ,即 时取等号, 故当AE=1km,BF=8km时，PAE与PFB的面积之和最小. 6分 (2)在RtPAE中，由题意可知 ，则 同理在RtPBF中， ，则 令 ， ，8分 则 ，10分 令 ，得 ，记 ， ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增 所以 时， 取得最小值，12分 此时 ， 所以当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小14分 （南京三模）如图，摩天轮的半径OA为

26、50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM60m点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记 AOP ， (0，) （1）当 2 3 时，求点P距地面的高度PQ； （2）试确定 的值，使得 MPN取得最大值解：（1）由题意，得PQ5050cos 从而，当 2 3 时，PQ5050cos2 375 即点P距地面的高度为75m 4分 （2）（方法一）由题意，得AQ50sin ，从而MQ6050sin ，NQ30050sin 又PQ5050cos ， 所以tan NPQNQPQ6sin 1cos ，tan MPQMQPQ65sin 55cos 6分 从而tan MPNtan( NPQ MPQ) tan NPQtan MPQ1tan NPQ tan MPQ6sin 1cos 65sin 55cos 16sin 1cos 65sin 55cos 12(1cos )23