三年级奥数入门十八讲.docx

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三年级奥数入门十八讲

第一讲：

等差数列求和

1．知识要点：

数列：

若干个数排成一列，称为数列。

等差数列：

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。

首项与末项：

数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

项数：

数列中数的个数称为项数。

公差：

后项与前项的差称为公差。

例如：

等差数列：

3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。

2．计算等差数列的相关公式：

通项公式：

第n项＝首项＋（项数－1）×公差

项数公式：

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

求和公式：

总和＝（首项＋末项）×项数÷2

平均数公式：

平均数＝（首项＋末项）÷2

1．例题：

总和＝（首项＋末项）×项数÷2

（1）1＋2＋3＋4＋…＋49＋50

（2）2＋4＋6＋8＋…＋100

2．例题：

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

（1）已知数列2、5、8、11、14……，47应该是其中的第几项？

（2）3＋6＋9＋12＋…＋33＋36

3．例题：

第n项＝首项＋（项数－1）×公差

（1）已知数列2、5、8、11、14……，第21项是多少？

（2）剧院有31排座位，第一排有35个座位，以后每排都比前一排多一个座位，最后一排有几个座位？

4．例题：

平均数＝（首项＋末项）÷2

（1）有五个连续的偶数：

4、6、8、10、12，他们的平均数是多少？

（2）已知5个连续自然数的和是75，求这五个数分别是几？

5．模仿训练

（1）1＋2＋3＋…＋99＋100

（2）1＋3＋5＋7＋…＋99

（3）已知数列1、4、7、10、13……，298应该是其中的第几项？

（4）6＋10＋14＋…＋398＋402

（5）21＋23＋23＋…＋197＋199

（6）已知数列3、6、9、12、15……第51项是多少？

（7）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，那么第11天学会了学会了多少个单词？

（8）5个连续偶数的和是200，那么这10个数分别是多少？

（9）有一列数：

13、16、19、22、……307，这些数的平均数是多少？

第二讲：

速算与巧算

（一）

知识要点：

速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。

这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。

在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。

转化问题法即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。

1．例题1：

计算9+99+999+9999

2．例题2：

计算489+487+483+485+484+486+488

3．例题3：

计算下面各题。

（1）632－156－232

（2）128+186+72－86

4．例题4：

248+（152－127）

324－（124－97）

283+（358－183）

5．例题5：

（1）286+879－679

（2）812－593+193

6．模仿训练

（1）计算99999+9999+999+99+9

（2）计算9+98+996+9997

（3）计算1999+2998+396+497

（4）50+52+53+54+51

（5）262+266+270+268+264

（6）89+94+92+95+93+94+88+96+87

（7）1208－569－208

（8）283+69－183

（9）348+（252－166）

（10）629+（320－129）

（11）368+1859－859

（12）582+393－293

第三讲：

速算与巧算

（二）

知识要点：

乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这道题计算中的一些数变得易于口算，从而使计算简便。

1．例题1：

计算325÷25

2．例题2：

计算25×125×4×8

3．例题3：

计算下面各题。

（1）（360+108）÷36

（2）（450－75）÷15

4．例题4：

158×61÷79×3

5．例题5：

（1）123×96÷16

（2）200÷（25÷4）

6．模仿训练

（1）450÷25

（2）525÷25

（3）3500÷125

（4）10000÷625

（5）125×15×8×4

（6）25×24

（7）25×5×64×125

（8）125×25×32

（9）（720+96）÷24

（10）（4500－90）÷45

（11）6342÷21

（12）8811÷89

（13）238×36÷119×5

（14）624×48÷312÷8

（15）138×27÷69×50

（16）406×312÷104÷203

（17）612×366÷183

（18）1000÷（125÷4）

第四讲：

有余数除法

知识要点：

把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？

一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。

每次除得的余数必须比除数小，这是有余数除法计算中特别要注意的。

解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。

在有余数的除法中，要记住：

（1）余数必须小于除数；

（2）被除数=商×除数＋余数。

1．例题1：

□÷6=8……□，根据余数写出被除数最大是几？

最小是几？

2．例题2：

□÷□=8……15，要使除数最小，被除数应为几？

3．例题3：

算式28÷（）=（）……4中，除数和商各是多少？

4．例题4：

算式（）÷7=（）……（）中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？

5．例题5：

算式（）÷（）=（）……4中，除数和商相等，被除数最小是几？

6．模仿训练

（1）下面题中被除数最大可填几，最小可填几？

□÷8=3……□

（2）你能写出最大的被除数和最小的被除数吗？

□÷4=7……□

（3）下题中要使除数最小，被除数应为几？

□÷□=12……4

（4）下面算式中，要使除数最小，被除数应是几？

□÷□=12……10

（5）除数最小时，被除数是几？

□÷□=10……7

（6）你能写出下面的除数和商吗？

41÷□=□……1

（7）下列算式中，除数和商各是几？

22÷（）=（）……4

65÷（）=（）……2

37÷（）=（）……7

48÷（）=（）……6

（8）149除以一个两位数，余数是5，请写出所有这样的两位数。

（9）下列算式中，商和余数相同，被除数是哪些数？

（）÷6=（）……（）

（）÷5=（）……（）

（）÷4=（）……（）

（）÷3=（）……（）

（10）一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。

（11）下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？

（）÷（）=（）……6

（）÷（）=（）……8

（）÷（）=（）……3

（12）有一个除法算式，它的余数是9，除数和商相等，被除数最小是几？

第五讲：

数图形

（一）

知识要点：

小朋友，你想学会数图形的方法吗？

要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。

要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。

首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。

1．例题1：

数出下面图中有多少条线段？

2．例题2：

数出下图中有几个角。

3．例题3：

数出下面图中共有多少个三角形。

4．例题4：

数出下图中有多少个长方形。

5．例题5：

有10个小朋友，每2个人照一张合影，一共要照多少张照片？

6．模仿训练：

数出下图中各有多少条线段？

（3）数出下图中有几个角。

（4）数出下图中有几个角？

（5）数出下图中有几个角？

（6）数出下图中有几个三角形？

（7）数出下面图中共有多少个三角形。

（8）数出下面图中共有多少个三角形。

（9）数出下图中有多少个长方形。

（10）数出下图中有多少个正方形。

第六讲：

错中求解

1．知识要点：

（1）和的变化规律：

如果一个加数不变，另一个加数增加（或减少）一个数，那么它们和也增加（或减少）同一个数。

（2）差的变化规律：

如果减数不变，被减数增加（或减少）一个数，那么它们的差也增加（或减少）同一个数。

如果被减数不变，减数增加（或减少）一个数，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。

（3）多加要减，少加再加；多减要加，少减再减。

1．例题：

【多加要减，少加再加】

（1）小明在做一道加法时，把一个加数个位的2看作了4，另一个加数个位上的7看作9，结果计算的和为25，正确的和为多少？

（2）小华在计算两个数相加时，把第1个加数百位上的7错写成1，把第2个加数十位上的6错写成9，这样算得的和是443，正确的和应是多少？

2．例题：

【多减要加，少减再减】

（1）小马虎在做一道减法题时，把减数十位上的2看作5，结果得到的差是342，正确的差是多少？

（2）在减法算式中，错把减数百位上的5看成3，十位上的1看成7，结果得到的差是254，正确的差是多少？

3．例题：

（1）小马虎在做一道减法题时，把被减数百位上的6看成4，结果得到的差是212，正确的差是多少？

（2）小马虎在做减法题时，把被减数十位上的3写成8，个位上的2写成了5，结果得到的差是284，正确的差是多少？

4．例题：

（1）小马虎在做一道减法题时，把被减数十位上的4看成6，把减数十位上的2看作5，结果得到的差是52，正确的差是多少？

（2）小聪在计算一道减法题时，把被减数5023错写成5032，把减数千位上的3错写成2，十位上的5错写成8，这样得到的差是2352。

正确的差应是多少？

5．模仿训练

（1）小明在做一道加法时，把一个加数个位的5看作了8，另一个加数个位上的4看作6，结果计算的和为25，正确的和为多少？

（2）小华在计算两个数相加时，把第1个加数百位上的5错写成2，把第2个加数十位上的3错写成8，这样算得的和是444，正确的和应是多少？

（3）小马虎在做一道减法题时，把减数十位上的2看作5，结果得到的差是342，正确的差是多少？

（4）在减法算式中，错把减数百位上的6看成4，十位上的3看成8，结果得到的差是564，正确的差是多少？

（5）小马虎在做一道减法题时，把被减数百位上的8看成3，结果得到的差是212，正确的差是多少？

（6）小马虎在做减法题时，把被减数十位上的5写成8，个位上的4写成了7，结果得到的差是284，正确的差是多少？

（7）小马虎在做一道减法题时，把被减数十位上的3看成8，把减数十位上的4看作7，结果得到的差是252，正确的差是多少？

（8）小聪在计算一道减法题时，把被减数3046错写成3064，把减数千位上的2错写成1，十位上的4错写成7，这样得到的差是3360。

正确的差应是多少？

第七讲：

平均数问题

我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均数就是求平均数。

平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。

求平均数问题的基本数量关系是：

总数量÷总份数=平均数

解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。

1．例题1：

二

（1）班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人，共植树66棵；第三组有6人，共植树54棵。

平均每人植树多少棵？

2．例题2：

王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。

其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。

求四年级羽毛球队同学的平均身高。

3．例3：

从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。

求这辆汽车往返的平均速度。

4．例4：

李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是83分。

李华投掷得了多少他？

．

5．例5：

如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的。

那么年龄最大的人可能是多少岁？

6．模仿训练

（1）电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台。

这个月平均每天生产电视机多少台？

（2）小明参加数学考试，前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分。

求小明这五次考试的平均分数是多少。

（3）五

（1）班有7个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了99分，还有三个同学得了96分，另外两个同学分别得了97、89分。

这7个同学的平均成绩是多少？

（4）气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：

13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃。

求一周的平均气温。

（5）小强家离学校有1200米，早上上学，他家到学校用了15分钟，从学校到家用了10分钟。

求小强往返的平均速度。

（6）李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米，18分钟到达山顶；下山时，他沿原路返回，每分钟走75米。

求李大伯上下山的平均速度。

（7）小军参加了3次数学竞赛，平均分是84分。

已知前两次平均分是82分，他第三次得了多少分？

（8）小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公布后，她的平均成绩下降了1分。

小丽的数学考了多少分？

（9）如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？

（10）如果四个人的平均年龄是28岁，且没有大于30岁的。

那么最小的人的年龄可能是多少岁？

第八讲：

还原问题

知识要点：

一个数量经过若干次变化成了另一个结果，我们从结果出发，根据每一次变化情况，一步一步地倒着想，把结果还原成开始状态，这类问题叫做还原问题，又叫逆运算问题。

对于简单的每一次变化不太复杂的还原问题，可以直接列式一步步倒着推算，对于变化复杂的，可借助列表和画图来帮助解决问题。

1．例题1：

小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。

小刚的奶奶今年多少岁？

2．例题2：

某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。

这个商场原来有洗衣机多少台？

3．例3：

小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。

如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。

这三个人原来各有故事书多少本？

4．例4：

甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。

问两桶油原来各有多少千克？

5．例5：

两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个。

问甲猴最初准备拿几个？

6．模仿训练

（1）在□里填上适当的数。

20×□÷8＋16=26

（2）小红问王老师今年多大年纪，王老师说：

“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘上3，恰好是30岁。

”王老师今年多少岁？

（3）粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。

粮库原有大米多少吨？

（4）爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。

爸爸买了多少个橘子？

（5）甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。

如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。

问三人原来各有贺年卡多少张？

（6）小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。

如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，小敏给小红3张，那么他们每人各有40张。

原来三个人各有年历片多少张？

（7）王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张。

问王亮和李强原来各有画片多少张？

（8）甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。

最后，丙也按同样的方法给甲、乙，这时，他们三个人都有32个玻璃球。

原来每人各有多少个？

（9）学校运来36棵树苗，小强和小萍两人争着去栽。

小强先拿了树苗若干棵，小萍看到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯，又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍。

问最初小强准备拿多少棵？

（10）李辉和张新各搬60本图书，李辉抢先拿了若干本，张新看李辉拿了太多，就抢了一半；李辉不肯，张新就给了他10本。

这时李辉比张新多4本。

问最初李辉拿了多少本？

第九讲：

和差问题

知识要点：

已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问题。

掌握了和差问题的特征和规律，我们解答起来就很方便了。

解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。

可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。

用数量关系表示：

（和＋差）÷2=大数（和－差）÷2=小数

1．例题1：

期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。

两人各考了多少分？

2．例题2：

某机床厂第一、二两个车间共有车床96部，如果第一车间拨给第二车间8部，那么两个车间车床数相等。

两个车间各有车床多少部？

3．例3：

哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。

哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？

4．例4：

把一条100米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。

三段绳子各长多少米？

5．例5：

四个人年龄之和是88岁，最小的3岁，他与最大的年龄之和比另外两个人年龄之和大8岁。

最大的年龄是多少岁？

6．模仿训练

（1）两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。

两筐水果各重多少千克？

（2）小宁与小慧的身高总和是264厘米，又已知小宁比小慧矮8厘米。

两人分别高多少厘米？

（3）红星小学一年级新108人，分成甲、乙两个班。

如果从甲班转3个学生到乙班去，两班学生就一样多。

甲、乙两班各有学生多少人？

（4）甲、乙两筐共有水果80千克，若从甲箱取出6千克放到乙箱中，这时两箱水果同样多。

两箱原来各有水果多少千克？

（5）一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本。

上、下层各放书多少本？

（6）姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。

那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？

（7）某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人。

三个车间各有工人多少人？

（8）某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元。

三名优秀工人各得多少元？

（9）小军一家四口年龄之和是129岁，小军7岁，妈妈30岁，小军与爷爷年龄这和比他父母年龄之和大5岁。

爷爷和爸爸的年龄各是多少岁？

（10）某校四个年龄共有438名学生，其中一年级119人，四年级101人，一、二年级的总人数比三、四年级的总人数多52人。

二、三年级各有多少人？

第十讲：

和倍问题

知识要点：

已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。

解答和倍应用题的基本数量关系是：

和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数（和－小数=大数）

1．例题1：

学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。

两种书各有多少本？

2．例题2：

果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。

求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？

3．例3：

有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。

每个书橱里各放了多少本书？

4．例4：

少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？

5．例5：

三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。

三个队各筑多少米？

6．模仿训练

（1）用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。

铝和锡各用了多少千克？

（2）甲、乙两数的和是112，甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？

（3）李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。

鸡、鸭、鹅各养了多少只？

（4）甲、乙、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。

求甲、乙、丙各是多少。

（5）甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。

求甲、乙、丙各是多少。

（6）三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍。

三块钢板各重多少千克？

（7）粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，大米和面粉各有多少千克？

（8）小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分。

两人各得多少分？

（9）三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵。

三个队各植树多少棵？

（10）三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。

三个数各是多少？

第十一讲：

差倍问题

知识要点：

前面我们已经初步掌握了“和倍问题”的特征和解题方法。

如果知道了两个数的差与两个数间的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问题”。

小朋友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法解答差倍问题呢？

解答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数，先求1倍数，再求出几倍数。

此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。

用关系式可以这样表示：

两数差÷（倍数－1）=较小的数（1倍数）

较小的数×倍数=较大的数（几倍数）

1．例题1：

小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。

小明买苹