小学奥数课本0201上.docx
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小学奥数课本0201上
第一讲速算与巧算
一、“凑整”先算
1.计算:
(1)24+44+56
(2)53+36+47
解:
(1)24+44+56=24+(44+56)
=24+100=124
这样想:
因为44+56=100是个整百的数,所以先把它们的和算出来.
(2)53+36+47=53+47+36
=(53+47)+36=100+36=136
这样想:
因为53+47=100是个整百的数,所以先把+47带着符号搬家,搬到+36前面;然后再把53+47的和算出来.
2.计算:
(1)96+15
(2)52+69
解:
(1)96+15=96+(4+11)
=(96+4)+11=100+11=111
这样想:
把15分拆成15=4+11,这是因为96+4=100,可凑整先算.
(2)52+69=(21+31)+69
=21+(31+69)=21+100=121
这样想:
因为69+31=100,所以把52分拆成21与31之和,再把31+69=100凑整先算.
3.计算:
(1)63+18+19
(2)28+28+28
解:
(1)63+18+19
=60+2+1+18+19
=60+(2+18)+(1+19)
=60+20+20=100
这样想:
将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.
(2)28+28+28
=(28+2)+(28+2)+(28+2)-6
=30+30+30-6=90-6=84
这样想:
因为28+2=30可凑整,但最后要把多加的三个2减去.
二、改变运算顺序:
在只有“+”、“-”号的混合算式中,运算顺序可改变
计算:
(1)45-18+19
(2)45+18-19
解:
(1)45-18+19=45+19-18
=45+(19-18)=45+1=46
这样想:
把+19带着符号搬家,搬到-18的前面.然后先算19-18=1.
(2)45+18-19=45+(18-19)
=45-1=44
这样想:
加18减19的结果就等于减1.
三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数,又叫等差数列,如:
1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,3,5,7,9
2,4,6,8,10
3,6,9,12,15
4,8,12,16,20等等都是等差连续数.
1.等差连续数的个数是奇数时,它们的和等于中间数乘以个数,简记成:
(1)计算:
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=5×9中间数是5
=45共9个数
(2)计算:
1+3+5+7+9
=5×5中间数是5
=25共有5个数
(3)计算:
2+4+6+8+10
=6×5中间数是6
=30共有5个数
(4)计算:
3+6+9+12+15
=9×5中间数是9
=45共有5个数
(5)计算:
4+8+12+16+20
=12×5中间数是12
=60共有5个数
2.等差连续数的个数是偶数时,它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半,简记成:
(1)计算:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+10)×5=11×5=55
共10个数,个数的一半是5,首数是1,末数是10.
(2)计算:
3+5+7+9+11+13+15+17
=(3+17)×4=20×4=80
共8个数,个数的一半是4,首数是3,末数是17.
(3)计算:
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
=(2+20)×5=110
共10个数,个数的一半是5,首数是2,末数是20.
四、基准数法
(1)计算:
23+20+19+22+18+21
解:
仔细观察,各个加数的大小都接近20,所以可以把每个加数先按20相加,然后再把少算的加上,把多算的减去.
23+20+19+22+18+21
=20×6+3+0-1+2-2+1
=120+3=123
6个加数都按20相加,其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”,所以再加上“3”;19按20计算多加了“1”,所以再减去“1”,以此类推.
(2)计算:
102+100+99+101+98
解:
方法1:
仔细观察,可知各个加数都接近100,所以选100为基准数,采用基准数法进行巧算.
102+100+99+101+98
=100×5+2+0-1+1-2=500
方法2:
仔细观察,可将5个数重新排列如下:
(实际上就是把有的加数带有符号搬家)
102+100+99+101+98
=98+99+100+101+102
=100×5=500
可发现这是一个等差连续数的求和问题,中间数是100,个数是5.
习题一
1.计算:
(1)18+28+72
(2)87+15+13
(3)43+56+17+24
(4)28+44+39+62+56+21
2.计算:
(1)98+67
(2)43+28
(3)75+26
3.计算:
(1)82-49+18
(2)82-50+49
(3)41-64+29
4.计算:
(1)99+98+97+96+95
(2)9+99+999
5.计算:
(1)5+6+7+8+9
(2)5+10+15+20+25+30+35
(3)9+18+27+36+45+54
(4)12+14+16+18+20+22+24+26
6.计算:
(1)53+49+51+48+52+50
(2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+84
7.计算:
1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5
第二讲数数与计数
(一)
数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发现的重要作用,认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大家记住,观察不只是用眼睛看,还要用脑子想,要充分发挥想像力.
例1数一数,图2-1和图2-2中各有多少黑方块和白方块?
解:
仔细观察图2-1,可发现黑方块和白方块同样多.因为每一行中有4个黑方块和4个白方块,共有8行,所以:
黑方块是:
4×8=32(个)
白方块是:
4×8=32(个)
再仔细观察图2-2,从上往下看:
第一行白方块5个,黑方块4个;
第二行白方块4个,黑方块5个;
第三、五、七行同第一行,
第四、六、八行同第二行;
但最后的第九行是白方块5个,黑方块4个.可见白方块总数比黑方块总数多1个.
白方块总数:
5+4+5+4+5+4+5+4+5=41(个)
黑方块总数:
4+5+4+5+4+5+4+5+4=40(个)
再一种方法是:
每一行的白方块和黑方块共9个.
共有9行,所以,白、黑方块的总数是:
9×9=81(个).
由于白方块比黑方块多1个,所以白方块是41个,黑方块是40个.
例2图2-3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成,中间有个“雪花”状的墙洞,问需要几块正六边形的砖(图2-4)才能把它补好?
解:
仔细观察,并发挥想象力可得出答案,用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画,就会看得更清楚了.
例3将8个小立方块组成如图2-5所示的“丁”字型,再将表面都涂成红色,然后就把小立方块分开,问:
(1)3面被涂成红色的小立方块有多少个?
(2)4面被涂成红色的小立方块有多少个?
(3)5面被涂成红色的小立方块有多少个?
解:
如图2-6所示,看着图,想像涂色情况.当把整个表面都涂成红色后,只有那些“粘在一起”的面(又叫互相接触的面),没有被涂色.每个小立方体都有6个面,减去没涂色的面数,就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面,参看图2-6所示.
(1)3面涂色的小立方体共有1个;
(2)4面涂色的小立方体共有4个;
(3)5面涂色的小立方体共有3个.
例4如图2-7所示,一个大长方体的表面上都涂上红色,然后切成18个小立方体(切线如图中虚线所示).在这些切成的小立方体中,问:
]
(1)1面涂成红色的有几个?
(2)2面涂成红色的有几个?
(3)3面涂成红色的有几个?
解:
仔细观察图形,并发挥想像力,可知:
(1)上下两层中间的2块只有一面涂色;
(2)每层四边中间的1块有两面涂色,上下两层共8块;
(3)每层四角的4块有三面涂色,上下两层共有8块.最后检验一下小立体总块数:
2+8+8=18(个).
习题二
1.如图2-8所示,数一数,需要多少块砖才能把坏了的墙补好?
2.图2-9所示的墙洞,用1号和2号两种特型砖能补好吗?
若能补好,共需几块?
3.图2-10所示为一块地板,它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块?
4.如图2-11所示,一个木制的正方体,棱长为3寸,它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1寸的小正方体.
求:
(1)3面涂成红色的有多少块?
(2)2面涂成红色的有多少块?
(3)1面涂成红色的有多少块?
(4)各面都没有涂色的有多少块?
(5)切成的小正方体共有多少块?
5.图2-12所示为棱长4寸的正方体木块,将它的表面全染成蓝色,然后锯成棱长为1寸的小正方体.
问:
(1)有3面被染成蓝色的多少块?
(2)有2面被染成蓝色的多少块?
(3)有1面被染成蓝色的多少块?
(4)各面都没有被染色的多少块?
(5)锯成的小正方体木块共有多少块?
6.图2-13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面(包括底面)全部涂成绿色,那么当把“塔”完全拆开时,3面被涂成绿色的小正方体有多少块?
7.图2-14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围成的,你知道哪一条绳子长吗?
(仔细观察,想办法比较出来).
第三讲数数与计数
(二)
例1数一数,图3-1中共有多少点?
解:
(1)方法1:
如图3-2所示从上往下一层一层数:
第一层1个
第二层2个
第三层3个
第四层4个
第五层5个
第六层6个
第七层7个
第八层8个
第九层9个
第十层10个
第十一层9个
第十二层8个
第十三层7个
第十四层6个
第十五层5个
第十六层4个
第十七层3个
第十八层2个
第十九层1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)
=55+45=100(利用已学过的知识计算).
(2)方法2:
如图3-3所示:
从上往下,沿折线数
第一层1个
第二层3个
第三层5个
第四层7个
第五层9个
第六层11个
第七层13个
第八层15个
第九层17个
第十层19个
总数:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100(利用已学过的知识计算).
(3)方法3:
把点群的整体转个角度,成为如图3-4所示的样子,变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100(个).
想一想:
①数数与计数,有时有不同的方法,需要多动脑筋.
②由方法1和方法3得出下式:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想:
1=1×1
1+2+1=2×2
1+2+3+2+1=3×3
1+2+3+4+3+2+1=4×4
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
这样的等式还可以一直写下去,能写出很多很多.
同学们可以自己检验一下,看是否正确,如果正确我们就发现了一条规律.
③由方法2和方法3也可以得出下式:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.
即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想:
1+3=2×2
1+3+5=3×3
1+3+5+7=4×4
1+3+5+7+9=5×5
1+3+5+7+9+11=6×6
1+3+5+7+9+11+13=7×7
1+3+5+7+9+11+13+15=8×8
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10
还可往下一直写下去,同学们自己检验一下,看是否正确,如果正确,我们就又发现了一条规律.
例2数一数,图3-5中有多少条线段?
解:
(1)我们已知,两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有:
ABACADAEAF5条.
以B点为共同左端点的线段有:
BCBDBEBF4条.
以C点为共同左端点的线段有:
CDCECF3条.
以D点为共同左端点的线段有:
DEDF2条.
以E点为共同左端点的线段有:
EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
(2)用图示法更为直观明了.见图3-6.
总数5+4+3+2+1=15(条).
想一想:
①由例2可知,一条大线段上有六个点,就有:
总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律(见图3-7):
还可以一直做下去.总之,线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.
②上面的事实也可以这样说:
如果把相邻两点间的线段叫做基本线段,那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是:
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本线段的条数(见图3-8).基本线段数线段总条数
还可以一直写下去,同学们可以自己试试看.
例3数一数,图3-9中共有多少个锐角?
解:
(1)我们知道,图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.
所以,以OA边为公共边的锐角有:
∠LAOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE,
∠AOF共5个.
以OB边为公共边的锐角有:
∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠BOF共4个.
以OC边为公共边的锐角有:
∠COD,∠COE,∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有:
∠DOE,∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有:
∠EOF只1个.
锐角总数5+4+3+2+1=15(个).
②用图示法更为直观明了:
如图3-10所示,锐角总数为:
5+4+3+2+1=15(个).
想一想:
①由例3可知:
由一点发出的六条射线,组成的锐角的总数=5+4+3+2+1(个),由此猜想出如下规律:
(见图3-11~15)
两条射线1个角(见图3-11)
三条射线2+1个角(见图3-12)
四条射线3+2+1个角(见图3-13)
五条射线4+3+2+1个角(见图3-14)
六条射线5+4+3+2+1个角(见图3-15)
总之,角的总数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数比射线数小1.
②同样,也可以这样想:
如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角,那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是:
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本角个数.
③注意,例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的,例3是关于角的,但求总数时,它们有同样的数学表达式.同学们可以看出,一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系,这就是数学的魔力.
习题三
1.书库里把书如图3-16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本?
2.图3-17所示是一个跳棋盘,请你数一数,这个跳棋盘上共有多少个棋孔?
3.数一数,图3-18中有多少条线段?
4.数一数,图3-19中有多少锐角?
5.数一数,图3-20中有多少个三角形?
6.数一数,图3-21中有多少正方形?
第四讲认识简单数列
我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.
在这一讲里,我们要认识一些重要的简单数列,还要学习找出数列的生成规律;学会把数列中缺少的数写出来,最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.
例1找出下面各数列的规律,并填空.
(1)1,2,3,4,5,□,□,8,9,10.
(2)1,3,5,7,9,□,□,15,17,19.
(3)2,4,6,8,10,□,□,16,18,20.
(4)1,4,7,10,□,□,19,22,25.
(5)5,10,15,20,□,□,35,40,45.
注意:
自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.
例2找出下面的数列的规律并填空.
1,1,2,3,5,8,13,□,□,55,89.
解:
这叫斐波那契数列,从第三个数起,每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21,13+21=34.所以:
空处依次填:
例3找出下面数列的生成规律并填空.
1,2,4,8,16,□,□,128,256.
解:
它叫等比数列,它的后一个数是前一个数的2倍.16×2=32,32×2=64,所以空处依次填:
例4找出下面数列的规律,并填空.
1,2,4,7,11,□,□,29,37.
解:
这数列规律是:
后一个数减前一个数的差是逐渐变大的,这些差是个自然数列:
例5找出下面数列的规律,并填空:
1,3,7,15,31,□,□,255,511.
解:
规律是:
后一个数减前一个数的差是逐渐变大的,差的变化规律是个等比数列,后一个差是前一个差的2倍.
另外,原数列的规律也可以这样看:
后一个数等于前一个数乘以2再加1,即后一个数=前一个数×2+1.
例6找出下面数列的生成规律,并填空.
1,4,9,16,25,□,□,64,81,100.
解:
这是自然数平方数列,它的每一个数都是自然数的自乘积.如:
1=1×1,4=2×2,9=3×3,16=4×4,25=5×5,
,64=8×8,81=9×9,100=10×10.
若写成下面对应起来的形式,就看得更清楚.
自然数列:
12345678910
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
自然数平方数列:
149162536496481100
例7一辆公共汽车有78个座位,空车出发.第一站上1位乘客,第二站上2位,第三站上3位,依此下去,多少站以后,车上坐满乘客?
(假定在坐满以前,无乘客下车,见表四
(1))
方法2:
由上表可知,车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和,到第几站后,就加到几,所以只要加到出现78时,就可知道是到多少站了,
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78(人)
可见第12站以后,车上坐满乘客.
例8如果第一个数是3,以后每隔6个数写出一个数,得到一列数:
3,10,17,……,73.这里3叫第一项,10叫第二项,17叫第三项,试求73是第几项?
解:
从第1项开始,把各项依次写出来,一直写到73出现为止(见表四
(2)).
可见73是第11项.
例9一天,爸爸给小明买了一包糖,数一数刚好100块.爸爸灵机一动,又拿来了10个纸盒,接着说:
“小明,现在你把糖往盒子里放,我要求你在第一个盒子里放2块,第二个盒子里放4块,第三个盒子里放8块,第四个盒子里放16块,……照这样一直放下去.要放满这10个盒,你说这100块糖够不够?
”小朋友,请你帮小明想一想?
解:
小朋友,你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个纸盒的了!
下面让我们算一算,看你想得对不对(见表四(3)).表四(3)
放满10个盒所需要的糖块总数:
可见100块糖是远远不够的,还差1946块呢!
这可能是你没有想到的吧!
其实,数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢.
习题四
1.从1开始,每隔两个数写出一个自然数,共写出十个数来.
2.从1开始,每隔六个数写出一个自然数,共写出十个数来.
3.在习题一和习题二中,按题目要求写出的两个数列中,除1以外出现的最小的相同的数是几?
4.自2开始,隔两个数写一个数:
2,5,8,……,101.
可以看出,2是这列数的第一项,5是第二项,8是第三项,等等.问101是第几个数?
5.如图4-1所示,“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的高度,而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高,那么,整个图形应包括多少个小正方形?
6.如图4-2所示,把小立方体叠起来成为“宝塔”,求这个小宝塔共包括多少个小立方体?
7.开学的第一个星期,小明准备发起成立一个趣味数学小组,这时只有他一个人.他决定第二个星期吸收两名新组员,而每个新组员要在进入小组后的下一个星期再吸收两名新组员,求开学4个星期后,这个小组共有多少组员?
8.图4-3所示为细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个,再次分裂变为4个,第三次分裂为8个,……照这样下去,问经过10次分裂,一个细胞变成几个?
9.图4-4所示是一串“黑”、“白”两色的珠子,其中有一些珠子在盒子里,问
(1)盒子里有多少珠子?
(2)这串珠子共有多少个?
第五讲自然数列趣题
本讲的习题,大都是关于自然数列方面的计数问题,解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法,望同学们能很好地掌握它.
例1小明从1写到100,他共写了多少个数字“1”?
解:
分类计算:
“1”出现在个位上的数有:
1,11,21,31,4