秋八年级数学上册勾股定理142勾股定理的应用第2课时勾股定理在数学中的应用作业新版华东师大版.docx

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秋八年级数学上册勾股定理142勾股定理的应用第2课时勾股定理在数学中的应用作业新版华东师大版

[14.2　第2课时　勾股定理在数学中的应用]

一、选择题

图K－42－1

1．如图K－42－1，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是（　　）

A．19B．13C．31D．35

2．如果直角三角形的斜边长为20cm，两条直角边长之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（　　）

A．27cmB．30cm

C．40cmD．48cm

3．如图K－42－2是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（　　）

A．4cmB．5cm

C．6cmD．10cm

图K－42－2

4．如图K－42－3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B，C）．若线段AD的长为正整数，则符合条件的点D共有（　　）

图K－42－3

A．5个B．4个C．3个D．2个

5．如图K－42－4，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的个数是（　　）

图K－42－4

A．1B．2C．3D．4

二、填空题

6．2016·烟台如图K－42－5，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连结OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为________．

图K－42－5

7．如图K－42－6，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，连结AC，∠DAC＝∠BAC.若BC＝4cm，AD＝5cm，则AB＝________cm.

图K－42－6

8．如图K－42－7，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，若AC＝6，BC＝10，则DE的长为________．

图K－42－7

9．如图K－42－8，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，正方形AnBnBn＋1Cn按图放置，使点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，B4，…，Bn在射线OB上．若∠AOB＝45°，OB1＝1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1，S2，S3，S4，…，Sn，则Sn＝________．

图K－42－8

三、解答题

10．如图K－42－9所示，阴影（半圆）部分的面积是多少？

（π取3）

图K－42－9

11．如图K－42－10，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形并涂上阴影．

（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图②、图③中，分别画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数（两个三角形不全等）.

图K－42－10

12．如图K－42－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°.如果以此直角三角形三边为边，分别作三个等边三角形（如图K－42－11），其面积分别为S1，S2，S3，那么S1，S2，S3之间有什么关系？

图K－42－11

13．如图K－42－12，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.

求证：

AB＝BC.

图K－42－12

14．把一张长方形纸片ABCD按如图K－42－13所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3cm，BC＝5cm，求重叠部分△DEF的面积.

图K－42－13

15．如图K－42－14，已知D，F分别是△ABC的边BC上两点，E是边AC上一点，∠BFE＝∠FEA，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AE＝10，DF＝4.

（1）求证：

AD⊥BC；

（2）求△ABC的面积．

图K－42－14

探究题如图K－42－15，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底边长为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边上从点B出发向点C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：

当点P运动多长时间时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直．

图K－42－15

详解详析

【课时作业】

[课堂达标]

1．A

2．[解析]D　设两条直角边长分别为3xcm，4xcm，根据勾股定理，得（3x）2＋（4x）2＝202，解得x＝4，则两条直角边的长分别为12cm，16cm，所以这个直角三角形的周长为48cm.

3．B

4．[解析]C　如图，过点A作AE⊥BC于点E.

∵AB＝AC，

∴EC＝BE＝BC＝4，

∴AE＝＝＝3.

∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C），

∴3≤AD＜5.

∵线段AD的长为正整数，

∴AD＝3或4，

当AD＝3时，点D就在点E的位置，

当AD＝4时，点D在点E的两侧各有一个位置，

∴符合条件的点D共有3个．故选C.

5．[解析]C　从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中只有△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形．

6．[答案]

[解析]∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，∴OC⊥AB.

在Rt△OBC中，OC＝＝＝.

∵以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，

∴OM＝OC＝，

∴点M对应的实数为.

7．8　8.14

9．[答案]22n－3

[解析]∵OB1＝1，△OB1A1是等腰直角三角形，

∴A1B1＝1.

∵四边形A1B1B2C1是正方形，∴A1C1＝1.

∵△A1C1A2是等腰直角三角形，

∴S1＝×1×1＝.

同理A2C2＝2，A3C3＝22，A4C4＝23，…，AnCn＝2n－1，

∴Sn＝×2n－1×2n－1＝22n—3.

10．解：

（1）

（2）题答案直角三角形的斜边长为＝10，

那么阴影部分的面积为×π×≈37.5.

11．解：

（1）

（2）题答案如图，答案不唯一．

12．解：

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∴AB2＝AC2＋BC2.

根据等边三角形面积计算公式得S3＝AB2，

S1＝AC2，S2＝BC2，

∴S1＋S2＝（AC2＋BC2）＝AB2＝S3，

故S1＋S2＝S3.

13．证明：

连结AC.

∵∠ABC＝90°，

∴AB2＋BC2＝AC2.

∵CD⊥AD，

∴AD2＋CD2＝AC2.

又∵AD2＋CD2＝2AB2，

∴AB2＋BC2＝2AB2，

即BC2＝AB2.

∵CB＞0，AB＞0，

∴AB＝BC.

14．解：

由长方形纸片的折叠可得A′D＝AB，A′E＝AE.

在Rt△A′DE中，

由勾股定理，得A′D2＋A′E2＝DE2，AE＋DE＝AD.

设DE＝x，

则A′E＝AD－DE＝5－x.

则32＋（5－x）2＝x2，

解得x＝3.4，

即DE＝3.4，

所以S△DEF＝DE·AB＝×3.4×3＝5.1（cm2）．

即重叠部分△DEF的面积是5.1cm2.

15．解：

（1）证明：

∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，

∴AB2＝BD2＋AD2，

∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC.

（2）∵∠BFE＝∠FEA，

∴∠CFE＝∠CEF，

∴CF＝CE.

设CE＝CF＝x.

∵∠ADC＝90°，

∴AD2＋CD2＝AC2，

即122＋（x＋4）2＝（10＋x）2，

解得x＝5，

∴BC＝5＋4＋5＝14，

∴S△ABC＝BC·AD＝84.

[素养提升]

解：

过点A作AD⊥BC于点D.

∵AB＝AC，BC＝8cm，

∴BD＝CD＝BC＝4cm.

由勾股定理，得AD＝＝3（cm）．

分两种情况：

（1）如图①，当点P运动t秒后有PA⊥AC时，

∵AP2＝PD2＋AD2＝PC2－AC2，

∴PD2＋32＝（PD＋4）2－52，∴PD＝2.25cm，

∴BP＝4－2.25＝1.75，

∴0.25t＝1.75，解得t＝7.

（2）当点P运动t秒后有PA⊥AB时，如图②，同理可得PD＝2.25，∴BP＝4＋2.25＝6.25，

∴0.25t＝6.25，解得t＝25.

综上所述，当点P运动的时间为7s或25s时，点P与顶点A的连线与腰垂直．