（1）求证：
△ACD∽△BAC；
（2）求：
DC的长；
（3）试探究：
△BEF可以为等腰三角形吗？
若能，求t的值；若不能，请说明理由．
例4：
如图①，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.
△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图②，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？
若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？
变式：
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值围）；
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？
若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
类型二结合坐标系的解析几何
例1：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6），B（8，0），P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向O移，同时Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移，设P，Q移的时间为t（s）．当t为何值时，△APQ与△AOB？
并求出此时P与Q的坐标．
变式：
如图，已知直线的函数表达式为，且与轴，轴分别交于两点，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为秒．
（1）求出点的坐标；
（2）当为何值时，与相似？
（3）求出
（2）中当与相似时，线段所在直线的函数表达式．
例2：
已知：
如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A（-3,0），C（1,0），,
（1）求过点A、B的直线的函数表达式；
（2）在X轴上找一点D,连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在
（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
A
C
O
B
x
y
变式：
如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值围．
（3）在
（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？
若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
例3：
如图直线y=-x+10与x轴、y轴分别交于A、B两，P从A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原O运动．直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于E、F．（当A运动到O时，直线EF随之停止运动） 连接FP，设P与直线EF同时出发，运时间为t秒．
（1）当t=1秒时，求△APF的面积；
（2）设t的值分别取t1、t2时（t1≠t2），所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断；
变式：
如图，A的坐标为（1，1），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于B，连接OF，若以B，E，F为顶的三角形与△OFE相似，则B的坐标是
．
类型三动态几何中的相似
例1、在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．
（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．
求证：
AC=BD，AC⊥BD；
（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．
变式：
已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠A＝30º，点P在AC上，且∠MPN＝90°.
当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证t△PME∽t△PNF，得出PN＝PM．（不需证明）
当PC＝PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．
例2：
等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：
△BPE∽△CFP；
（2）操作：
将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1：
△BPE与△CFP还相似吗？
（只需写出结论）
②探究2：
连接EF，△BPE与△PFE是否相似？
请说明理由；
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．
作业练习：
1.如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.
（1）求证：
AB·AF＝CB·CD
（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2.
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值.
2.如图所示，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x.
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）当，求的值；
（3）ΔAPQ能否与ΔCQB相似？
若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。
3.已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4,0），（0,3）.现有两动点P，Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.
（1）填空：
菱形ABCD的边长是，面积是，高BE的长是；
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值.
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.
4．将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．
（1）填空：
如图1，AC=，BD=；四边形ABCD是梯形.
（2）请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）.
（3）如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值围.
D
C
B
A
E
图1
E
D
C
H
F
G
B
A
P
y
x
图10
2
4．在直角坐标系中，点A（5，0）关于原点O的对称点为C．
（1）请直接写出点C坐标；
（2）若点B在第一象限，∠OAB=∠OBA，并且点B关于原点O的对称点为D：
①试判断四边形ABCD的形状；并说明理由；
②现有一动点P从B出发，沿路线BA→AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长度的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．已知AB=6，设点P、Q运动时间为t，在运动过程中，当t为何值时，PQ⊥AC？
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