信息论基础1答案.docx
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信息论基础1答案
信息论基础1答案
《信息论基础》答案
一、填空题（本大题共10小空，每小空1分，共20分）
1.按信源发出符号所对应的随机变量之
间的无统计依赖关系，可将离散信源分为有记忆信源和无记忆信源两大类。
2.
Xi
X2X3
一个八进制信源的最大熵为3bit/符号
3.有一信源X，其概率分布为：
其信源剩余度为94.64%：
若对该信源进行十次扩展，则每十个符号的平均信息量是15bit。
4.若一连续消息通过放大器，该放大器输出的最大瞬间电压为b,最小瞬时电压为a。
若消息从放大器中输出，则该信源的绝对熵是_：
其能在每个自由度熵的最大熵是log（b-a）
bit/自由度：
若放大器的最高频率为F,则单
位时间内输出的最大信息量是2Flog（b-a）
bit/s.
5.若某一信源X,其平均功率受限为
16w,其概率密度函数是高斯分布时，差熵的最大值为2log32e；与其熵相等的非高斯分布信源的功率为16w
6、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。
7、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H（S）/logr=H_「（S））。
&当R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。
9、根据是否允许失真，信源编码可分为无—真信源编码和限失真信源编码。
10、在下面空格中选择填入数学符号“，‘‘”或“”
（1）当X和Y相互独立时，H（XY）=H（X）+H（X/Y）。
（2）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。
在无噪有损信道中，H（X/Y）>0,H（Y/X）=0,l（X;Y）二、掷两粒骰子，各面出现的概率都是1/6,
计算信息量：
1.当点数和为3时，该消息包含的信息量是多少？
2.当点数和为7是，该消息包含的信息量是多少？
3.两个点数中没有一个是1的自信息是多少？
解:
1.P（“点数和为3”=P（1,2）+P（1,2）=1/36+1/36=1/18
则该消息包含的信息量是：
l=-logP（“点数和为3”）=log18=4.17bit
2.P（“点数和为7”=P（1,6）+P（6,1）
+P（5,2）+P（2,5）+P（3,4）+P（4,3）=1/366=1/6
则该消息包含的信息量是：
l=-logP（“点
数和为7”）=log6=2.585bit
3.P（“两个点数没有一个是1”=1-P
“两个点数中至少有一个是1”
=1-P（1,1or1,jori,1）=1-（1/36+5/36+5/36）=
25/36
则该消息包含的信息量是：
l=-logP（“两个点数中没有一个是1”）
=log25/36=0.53bit
试计算:
三、设X、丫是两个相互统计独立的二元随机变量，其取-1或1的概率相等。
定义另一个二元随机变量乙取Z=YX（—般乘积）。
1.
（丫）、H（Z）;
（XY、H（YZ；
（X;Y）、I（Y;Z）;
H
2.H
1.
3.I
解
P（yi）logP（yi）丄log1-log-=1bit/
i-2222
qZ=YX而且X和丫相互独立
P（乙=1）=P（Y=1）P（X1）P（Y1）P（X1）
1c1c1
—2—2—
222
2
故H（Z）=P（zjlogP（zJ=1bit/符号
i1
2.从上式可以看出：
丫与X的联合概率分布为：
P（Y,Z）Y=1Y=-1
Z=10.250.25
Z=-10.250.25
H（YZ）=H（X）+H（Y）=1+1=2bit/符号
3.QX与Y相互独立，故
H（X|Y）=H（X）=1bit/符号
I（X;Y）=H（X）-H（X|Y）=1-仁Obit/符
号
l（Y;Z）=H（Y）-H（Y|Z）=H（Y）-[H（YZ）-H（Z）]=0bit/符号
四、如图所示为一个三状态马尔科夫信源的转移概率矩阵
1.绘制状态转移图;
2.求该马尔科夫信源的稳态分布;
3.求极限熵;
解：
1.状态转移图如右图
个状态的稳态概率为:
111
P（E1）7
P（E2）7
p（Es）I
P（EJ尹（EJ2p（E2）4p（E3）
11
P（E2）^P（E2）-p（E3）
11
P（E3）2卩（巳）4P（E3）
P（E1）P（E2）P（E3）1
3.其极限熵:
3
嗚EhQ切
3112
=-P（E）H（X|E）=7H（-+?
1+21+21.5=8bit/符号
777
五、在干扰离散对称信道上传输符号1和
0,已知P（0）=1/4,P
（1）=3/4,试求:
0.
1.该信道的转移概率矩阵P
2•信道疑义度H（X|Y）
3.该信道的信道容量以及其输入概率分布解：
1•该转移概率矩阵为
p_0.90.1
0.10.9
2.根据P（XY_p（Y|X）P（X），可
得联合概率
P（XY）
Y
Y
X0
9/40
1/40
X1
3/40
27/40
P（Y=i）
12/40
28/40
由P（X|Y）=P（X|Y）/P（Y）可得
P（X|Y）
Y=0
Y=1
X=0
3/4
1/28
X=1
1/4
27/28
H（X|Y）=-
P（xiyj）logP（xi|yj）=0.09+0.12+0.15+0.035=0.4bit/符号
i，j
3.该信道是对称信道，其容量为：
C=logs-H=log2-H（0.9,0.1）
=1-0.469=0.531bit/符号
六、某信道的转移矩阵P
0.60.30.10
0.30.600.1
这时，输入符号服从等概率分布，即
试求：
该信道的信道容量及其最佳输入概率分布。
解：
该信道是准对称信道，分解为两个互不相交的子信道矩阵
0.60.3
0.30.6
0.10
00.1
N
M,
0.9
0.9
N20.1
M20.1
C=logr-H（P的行矢量）
NklogMk
k1
1H（0.6,0.3,0.1）0.9log0.9-0.1log0.1
=0.174bit/符号
这时，输入端符号服从等概率分布，即
P（X）
七、信源符号X有六种字母，概率为
0.32,0.22,0.18,0.16,0.08,0.04。
用赫夫曼
编码法编成二进制变长码，写出编码过程并计算其平均码长、编码后的信息传输率和编码效
解:
码
0
1
11
010.oq
010.0—1
°1」0.亠0.
1
该信源在编码之前的信源熵为：
6
h（s）p（xjiog（X）=0.526+0.481+0.445+0.
i1
423+0.292+0.186
=2.353bit/符号
编码后的平均码长：
L（0.320.220.18）20.163（0.080.04）4=2.4码元/信源符号
编码后的信息传输率为：
RH（S）23530.98bit/码元
L2.4
编码效率为：
—-（S）0.98
RmaxLlogr
八、设在平均功率受限的高斯可加波形信道中，信道带宽为3KHz又设信噪比为10
1.试计算该信道传达的最大信息率（单位时间）；
2.若功率信噪比降为5dB,要达到相同的最大信息传输率，信道带宽是多少？
解:
1.QSNR10dBSNR10
故：
该信道传送的最大信息速率为：
Ct=Wlog（1+SNR=3103log（11）
=1.04104bit/s
2.若SNR=5dB贝VSNR=10=3.162,在相同
Ct情况下
1.04104=Wlog（1+SNR=Wlog4.162W=5.04103Hz
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