八年级数学《轴对称》期末复习第一节 轴对称.docx

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八年级数学《轴对称》期末复习第一节轴对称

《轴对称》期末复习第一节轴对称

　　一、关键概念和原理

　　概念：

轴对称图形，对称轴，轴对称，对称点，线段垂直平分线．

　　原理：

轴对称图形的性质及判定；线段的垂直平分线的判定及性质；成轴对称的两个图形的性质；如何判定两个图形关于某条直线对称．

　　二．知识点：

　　1．轴对称与轴对称图形的联系与区别．

　　轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．两个图形关于某直线对称，也称为轴对称．这条直线就是它的对称轴．

　　轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．

　　区别：

轴对称图形是说一个具有特殊性质的图形，是对一个图形说的：

　　轴对称是指两个图形之间的位置关系，是对两个图形说的．

　　联系：

轴对称与轴对称图形都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称．

　　2．线段的垂直平分线及其结论

　　定义：

经过线段中点并且垂直与这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

　　结论：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端的距离相等的点，在线段的垂直平分线上，所以线段的垂直平分线可以看作是到线段两端距离相等的所有点的集合．

　　两者的关系：

点在线段的垂直平分线上

点到线段两端的距离相等

　　3．轴对称和轴对称图形的性质

　　共同的特征：

对折后的两部分是完全重合的，即对应线段相等，对应角相等．

　　性质：

（1）关于某条直线成轴对称的两个图形全等；

（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线

　　三．典型例题

　　1．运用轴对称进行图形设计

　　例1.某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆和正方形的个数不限），并且使整个矩形场地成轴对称图形，请在矩形中画出你设计的方案。

　　解：

本题考查轴对称图形的的性质．利用圆和正方形是轴对称图形，可以有很多设计方式，如下图所示．通过此题培养同学对轴对称图形的认识．

　　2．运用线段垂直平分线的性质解决几何设计中的选址问题

　　例2．如图，某地有两所大学和两条交叉的公路，点M、N表示大学，OA、OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库应该建在什么位置吗?

请在图中画出你的设计．

　　解：

与M、N两点的距离相等，说明要找的点在线段MN的垂直平分线上；

　　到∠AOB两边的距离相等，说明要找的点又在∠AOB的平分线上．

　　故符合条件的点是MN的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点

第二节　轴对称变换

　　一．关键概念和原理

　　概念：

轴对称变换

　　原理：

作轴对称图形，一个点关于x轴、Y轴的对称点的坐标的特点．

　　二．知识点

　　1．轴对称变换

　　定义：

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．

　　轴对称变换同旋转变换、平移变换一样，都是图形变换的一种，轴对称变换的实质就是图形的翻折，而翻折问题往往可以看作是图形的全等问题，解这类问题的关键是利用图形的全等，找出对应线段对应角，挖掘题目的隐含条件，再利用结论使问题得解．

　　注意：

经过变换以后，只是位置发生了变化，图形的形状和大小并未改变．

　　2．关于坐标轴对称的点的特点

　　让学生学会用方程组表示，数形结合，为今后解综合题打下基础．即

　　点A（x1,y1）与B（x2,y2）关于x轴对称

　　点A（x1,y1）与B（x2,y2）关于y轴对称

　　点A（x1,y1）与B（x2,y2）关于原点对称

　　三．典型例题

　　例3．如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：

x=-1，并作△ABC关于直线m对称的△A’B’C’．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，请表示其在△A’B’C’中对应点的坐标．

　　解：

由图可知，△ABC中各顶点的坐标分别为A（1，4），B（－1，1），C（2，－1）而直线m：

x=一1是过点（-1，0）并且平行于y轴的一条直线△A'B'C'的各顶点的坐标分别为A'（-3，4），B'（-1，1），C'（-4，-1）．

　　注意到关于直线m对称的点纵坐标不变，结合图形可知

　　P（a，b）关于直线m对称的点的坐标是（-2-a，b）

　　例4．在下图这一组中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形。

　　解：

注意到这组图形都是轴对称图形，但不能认为随便作一个轴对称图形即可．

　　要求同学画出它们的对称轴，形成一个习惯．

　　通过对称轴我们发现，分布在对称轴右侧正好是一个阿拉伯数字，按顺序正好是1，2，3，……正整数序列．因此可以在空白处设计正确的图形，是由6对称并且拼接在一起的一个轴对称图形．

　　例5．如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角，则展开后所得的图形是（　）．

　　解：

同学们可以实际操作，通过折纸来检验图形的形状．但同时同学们也应该学会通过作图来更好地理解折叠过程，把思维提高一个层次．本题选C．

　　例6．如图1，某公路的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边建一货栈D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是：

D→A→B→C→D和D→C→B→A→D．

　　1．试问在公路边上是否存在一点D，使送货路程最短?

（把公路边近似看作公路上）

　　2．将A、B、C三点放在平面直角坐标系中，把x轴建立在公路上，坐标如图所示．请画出D点所在的位置，并写出画法．

　　3．求出D点在该坐标系中的坐标（要求有运算过程）

　　分析：

要求送货路程最短，实质就是要AD+CD最小，本题可以运用轴对称的性质求最值．

（1）存在；

（2）作点A关于x轴的对称点A'（1，-2），连结A'C与x轴的交点即为点D；

　　（3）先用待定系数法求出直线A'C的解析式，设直线A'C的解析式：

y=kx+b

　　　把点A'，C的坐标代入解析式，得

　　　再求D点的坐标．令y=0，解得x=3，所以求得D（3,0）

　　例7．在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．

　　分析：

本题利用轴对称解决周长最小问题．△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，根据两点之间线段最短，

　　只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长．

　　例8．

（1）若点M（2,a）和点N（a+b,3）关于x轴对称，试求a,b的值；

（2）若点M（2,a）和点N（a+b,3）关于y轴对称，试求a,b的值．

　　解：

本题考查点关于横纵坐标轴对称的规律

（1）

（2）

　　小结：

关于坐标轴对称的规律是：

横轴横不变，纵轴纵不变

　　例9．

（1）求一次函数y=2x-1的图象关于x轴对称的直线的函数解析式；

（2）不作函数y=-2x+1与y=2x-1的图象，试判断它们的图象关于哪一个坐标轴对称．

　　解：

本题考查轴对称变换与平面直角坐标系的综合应用

（1）∵要求函数的图象与直线y=2x-1的图象关于x轴对称（纵变横不变）

　　　∴要求的一次函数为-y=2x-1，即y=-2x+1

（2）∵函数y=-2x+l中的x乘以-1就变为函数y=2x+1，

　　　∴y=-2x+1与y=2x+1的图象关于y轴对称

　　例10．如图，在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小．

（1）作出M点和N点．

（2）求出M点和N点的坐标．

　　解：

（1）略

（2）直线PlQl的解析式为：

y=-x+l，从而易求出M（1，0），N（0，1）

　　例11．如图1所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的?

　　分析：

本题是轴对称性质的应用，但要注意：

从镜子里看物体——左右相反解答略．

　　例12．如图，是一只停泊在平静水面上的小船，它的“倒影”应是图中的（　）　．

　　分析：

本题是轴对称性质的应用，但要注意：

从水中看物体——上下颠倒．

　　本题应选B．

第三节　等腰三角形

　　一．关键概念和原理

　　概念：

等腰三角形，顶角，底角，腰，底边，等边三角形

　　原理：

等腰三角形的性质、判定；等边三角形的性质、判定；直角三角形的性质

　　二．知识点

　　1．等腰三角形的概念、性质及判定

　　定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

　　对称性：

等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）所在的直线．

　　性质：

等腰三角形，底边上的高，底边上的中线和顶角的平分线三线合一；

　　等腰三角形中相等的边所对的角也相等．

　　判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．

　　2．等边三角形及其性质

　　定义：

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形．

　　性质：

（1）等边三角形是轴对称图形且有三条对称轴；

（2）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°；

　　　　　（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质．

　　判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

　　3．直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半．

　　三、典型例题

　　例13．等腰△ABC中，AB=2BC，且三角形周长为40．求AB的长．

　　分析：

由于边没明确腰、底，因此要注意分类讨论．

　　解：

若AB为底边，则AC=BC．但AB=2BC=AC+BC，与三角形的条件矛盾．

　　　　若BC为底边，则AB=AC．

　　　　∴三角形周长为

　　　　∴AB=16

　　例14．

（1）已知等腰三角形有一个内角为70°，求其余两个内角的度数．

（2）已知等腰三角形有一个内角为100°，求其余两个内角的度数．

　　分析：

由于内角没明确是顶角还是底角，因此要注意分类讨论．

　　解：

（1）若内角70°是顶角，则两个底角是55°．

　　　若内角70°是底角，则另一个底角是70°，而顶角是40°．

（2）由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以内角100°是顶角，则两个底角是40°．

　　例15．如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结BD、CE，相交于O．

（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；

（2）BD和CE夹角的大小与△ABC的形状有关吗?

　　说明理由．

　　分析：

本题考查了等边三角形中有关边、角数量关系的探究．

　　解：

（1）可以证明△AEC≌△BAD，∴BD=EC．

（2）由

（1）可知，∠AEC=∠ABD，设AB、EC交于点F，

　　　又∵∠AFE=∠BFO（对顶角相等）

　　　∴∠EOB=∠EAB=60°．

　　　所以BD和CE夹角恒为60°，与△ABC的形状无关．

　　例16．等腰三角形的周长为20cm．

（1）求底边y（cm）与腰长x（cm）之间的关系式；

（2）求出自变量x的取值范围；

　　（3）画出该函数的图象．

　　分析：

综合考查中代数与几何的结合是难点．本题考查等腰三角形在函数中的应用，要注意等腰三角形的特殊性．

　　解：

（1）y=20-2x

（2）依题，得

　　　　解得：

5

　　（3）当x=5时，y=10；当x=10时，y=0．

　　　∴线段AB（A、B两点除外）为所求函数图象．

　　例17．如图，在等边三角形ABC所在平面内找一点P，使△PAB，△PBC,△PAC都是等腰三角形，你能找出几个这样的点?

请画出它们的位置．

　　分析：

可以利用等腰三角形的轴对称性寻找特殊点．

　　本题应利用等边三角形的轴对称性从一条对称轴上开始考虑．做到不漏．

　　共l0个点

　　例18．如图，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里／时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B处望小岛C，测得∠NAC=15°，∠NBC=30°．若小岛周围12．3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险?

　　分析：

可以运用“含30°锐角的直角三角形”解决航海问题．

　　解：

过点C作CD⊥AB直线于D

　　　∵∠NAC=15°，∠NBC=30°

　　　∴∠NAC=15°=∠BCA

　　　　∵12<12.3

　　　　∴该渔船继续向正北航行有触礁危险．