空间向量与立体几何单元练习题.docx
《空间向量与立体几何单元练习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量与立体几何单元练习题.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
空间向量与立体几何单元练习题
定共面的是
——i—ii—
OM=OAOBOC
235
《空间向量与立体几何》习题
一、选择题（每小题5分，共50分）
1.如图，在平行六面体ABCD—AiBiCiDi中，M为AC与BD的交点.若A^=a.
ADi=b，AiA=c,则下列向量中与BiM相等的向量是
1i
D.—a—b+c
22
2.下列等式中，使点M与点A、B、C
A.OM=35A-2OB-OCB.
C.OMOAOBOC=0
D.MAMBMC=0
3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于i,点E、F分别是AB、
AD的中点，贝UEFDC等于
4.若a=（i,,2），b=（2,-i,i），a与b的夹角为600，则，的值为
A.i7或-iB.-i7或iC.-iD.i
5.设OA二（i,i,-2），OB二（3,2,8），OC二（0,i,0），则线段AB的中点P到点C的距
离为
6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
A•①②B•①③C•①④D•②④
7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
8.
10./ABC的三个顶点分别是A（1,—1,2），B（5,-6,2），C（1,3,-1），则AC边上的高BD
长为
A.5B.41C.4D.25
二、填空题（每小题5分，共20分）
11.设a=（x,4,3），b=（3,-2,y），且a//b，则xy二_
13.在直角坐标系xOy中，设A（-2，3），B（3,-2），沿x轴把直角坐标平面折
14.成大小为日的二面角后，这时AB=2/1，则日的大小为
15.如图，P—ABCD是正四棱锥,
ABCD-ABCO是正方体，其中
AB=2,PA二、.6，则B1到平面RAD
的距离为.
、解答题（共80分）
16.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC［是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2,且PA与ABAD的夹角都等于60°,M是PC的中点，
设AB二a,AD=b,AP二c.
（1）试用a,b,c表示出向量BM;
（2）求BM的长.
17.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：
cm）.
（1）在正视
图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求
该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC'，证明：
BC'//面EFG..
18.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD中，CB二CD，AD_BD，点E，F
分别是AB，BD的中点.求证:
（1）直线EF//面ACD;
（2）平面EFC面BCD.
19.（本小题满分14分）如图，已知点P在正方体ABCD—A'B'C'D'的对角线BD'上，/PDA=60.
（1）求DP与CC'所成角的大小；
（2）求DP与平面AA'D'D所成角的大小.
20.（本小题满分14分）已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点.
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD丄AE?
证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D—AE—B的大小.
21.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形,
PA一平面ABCD，■ABC=60：
，E，F分别是BC，PC的中点.
（1）证明：
AE_PD;
（2）若H为PD上的动点，
EH与平面PAD所成最大角的正切值为匕，求二
2
面角E-AF-C的余弦值.
练习题参考答案
、选择题
——一————1———111丄.”
1.B1M=B1BBM=AA（BABC）=b—（—a+b）=—a+-b+c,故选A.
2222
2.由于M、A、B、C四点共面二OM=xOAyOBzOC（x,y,zR）且xyz=1
.选项（A）、（B）、（C）都不正确.由于MAMBMC=0=MA--MB-MC
所以存在x--1,^1,使MA=xMByMC.MA,MB,MC共面
由于M为公共点.M、A、B、C四点共面，故选D.
二、填空题
11.912.313.作Adx轴于C,BD丄x轴于D,贝UA^ACCDDB
•'aC=3,cD=5,》耳=2,aCcD=o,cDdB=o,aCdb=aC
二亦2=（AC+CD+DB）2=AC+CD+DB
.（2.11）2=3252222（0-0-6cos".co^-.由于0°一二一180°,T20°
14.以AB为x轴，AD,为y轴，入A为z轴建立空间直角坐标系
设平面PAD的法向量是m=（x,y,z）,
-TTT
AD二（0,2,0）,AP二（1,1,2），二y=0,xy2z=0,取z=1得m二（一2,0,1）,
、解答题
1——一.1-———一
15.解：
（1）vM是PC的中点，•••BM（BCBP）[AD（AP-AB）]22
1111
[b（c-a）]a—b—c
2222
（2）由于AB=AD=1,PA=2,二a=\b=1c=2
由于AB_AD,.PAB=/PAD=60°,.ab=0,ac=bc=21cos60°=1
一.1
由于BM十bc）,
21113
BM=-（-abc）2=-[a2b2c2-2（_ab_ac•bc）]=—[12-12-22-2（0_1-1）]=—
4442
（2）vAD丄BD,EF/AD,二EF丄BD
vCB=CD,F是ED的中点,二CF丄BD又EFGCF=F,二BD丄面EFC
vBD面BCD二面EFC—面BCD.
18.解：
如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D—xyz.
则DA二（1,0,0）,CC二（0,0,1）.连结BD,BD.
在平面BBDD中，延长DP交BD•于H.
设dH=（m,m,1）（m>0），由已知cDH,Dax60°,
由d^dH=dadHCOS:
:
:
a,可得2m=J2m2+1.
解得口样，所以DH=
所以:
:
:
dH,dc
因为cos：
：
DH,DC二
=60；，可得DP与平面AADD所成的角为30.
19.解：
（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P—ABCD的底面是边长为1
1
的正方形，侧棱PC丄底面ABCD，且PC=2..・.Vp^BCDSABCDPC
3
⑵不论点E在何位置，都有BD丄AE
证明如下：
连结AC,vABCD是正方形，二BD丄AC
•••PC丄底面ABCD且BDu平面ABCD/.BD丄PC
AE平面PAC
BD丄AE
T不论点E在何位置，都有二不论点E在何位置，都有
⑶解法1:
在平面DAE内过点D作DG丄AE于G,连结BG
vCD=CB,EC=EC,aR也ECD望RtAECB，二ED=EB
•••AD=AB，二△EDA◎△EBA，二BG丄EA
•••.DGB为二面角D—EA—B的平面角
vBC丄DE,AD//BC,aAD丄DE
在R*ADE中d^ADDE=^=BG
AEV3
*△DGB中'由余弦定理得cosDG^DG2dGG.BgBD2
•••DGB=2二，
3
2tt
•••二面角D—AE—B的大小为"
3
解法2:
以点C为坐标原点，CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:
贝UD（1,0,0）,A（1,1,0）,B（0,1,0）,E（0,0,1），从而
DE二（-1,0,1）,DA二（0,1,0）,BA二（1,0,0）,BE二（0,-1,1）
m=（a,b,c）,n=（a',b',c'）
A
由法向量的性质可得：
-a，c=0,b=0,a'=0,—b'・c'=0
令c=1,c'=—1，贝ua=1,b'=—1，二m=（1,0,1）,n=（0,-1,-1）
TH
设二面角D—AE—B的平面角为「则cos*J3=一丄
Im||n|2
•••—亍.••二面角D-AE-B的大小为3
20.
（1）证明：
由四边形ABCD为菱形，.ABC=60；，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE_BC.
又BC//AD，因此AE_AD.
因为PA_平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA_AE.
而PA平面PAD，AD平面PAD且PA“AD=A，
所以AE_平面PAD.又PD平面PAD，所以AE_PD.
连接AH，EH.
（2）解：
设AB=2，H为PD上任意一点,由
（1）知AE_平面PAD，
则.EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中，AEf，
所以当AH最短时，.EHA最大，
即当AH_PD时，.EHA最大.
此时tanEHA=生3=，
AHAH2
因此AH=-2.又AD=2，所以ADH=45，所以PA=2.
解法一：
因为PA—平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC—平面ABCD.
过E作EO_AC于O，贝UEO_平面PAC,
过O作OS_AF于S，连接ES，贝U.ESO为二面角E一AF-C的平面角,
在Rt△AOE中，EO二AELsin303,AO二AE|_cos30二-,
22
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AOLsin45,
4
则m竺二0,因此
mAF-0,
=（0,2,1），
mLBD2315
5
故BD为平面AFC的一法向量.
又BD=（「3,3,0）,所以cosvm,BDx-_-BD=——t=-
血甘BD|<5212
因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为』
5
升级会员 