整理电介质中电场.docx
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整理电介质中电场
第九章导体和电介质中的静电场
§9-1静电场中的导体
1.导体的静电平衡条件
1.静电感应现象
a.静电感应：
外电场的作用导致导体中电荷重新分布而呈现出带电的现象
b.静电平衡状态：
导体内部和表面上都没有电荷的定向移动状态
导体的静电感应过程
静电平衡状态
2.导体的静电平衡条件
（1）.静电平衡条件：
a.导体内部任何一点的场强为零
b.导体表面上任何一点的场强方向垂直于该点的表面
（2）.等价条件：
静电平衡时，导体为等势体.
证：
设a和b为静电平衡导体上任意两点单位正电荷由a移到b,电场力的功为
dl二Ua-Ub-U
（1）.a、b在导体内部：
E=0•U=0
（2）.a、b在导体表面：
E_dl.Edl=0即：
U-0
----静电平衡的导体是等势体
2.静电平衡导体的电荷分布
1.导体处于静电平衡时，导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面上
证：
在导体内任一点P处取一任意小的高斯面S静电平衡导体内E三0
■IEdS=0t二qi=0----体内无净电荷Ss内
即电荷只能分布在导体表面上
2.有空腔的导体：
设空腔导体带电荷Q空腔内没有电荷时：
导体内部和空腔内表面上都没有净电荷存在，电荷只分布在导体外表面
证：
在导体内作一包围空腔的高斯面S
导体内E三0.;EdS=0
即yqi=0一S内无净电荷存在
S内
问题：
会不会出现空腔内表面分布有等量异号电荷的情况呢？
空腔内有电荷q时：
空腔内表面感应出等值异号电量Q与感应电量q的代数和由高斯定理和电荷守恒定律可证
3.静电平衡导体，表面附近场强的大小与该处表面的电荷面密度成正比
证：
过紧靠导体表面的P点作垂直于导体表面的小圆柱面，下底△S'在导体内部
4.
-q，导体外表面的电量为导体原带电量
设有两个相距很远的导体球，半径分别为R和r（R>r），用一导线将两球相连
Q\:
q
静电平衡导体，表面曲率越大的地方，电荷面密度越大以一特例说明：
5.
3.导体静电平衡特性的应用
1.尖端放电
2.静电屏蔽
静电屏蔽：
隔绝电的相互作用，使内外互不影响的现象
a.对外电场的屏蔽
b.接地空腔导体屏蔽腔内电荷对外界的影响
）0E=0
§9-2有导体时静电场的分析方法
导体放入静电场中：
导体的电荷重新分布t导体上的电荷分布影响电场分布t静电平衡状态
［例1］半径为R的不带电导体球附近有一点电荷q,它与球心0相距d,求⑴）导体球上感
应电荷在球心处产生的电场强度及此时球心处的电势；
（2）若将导体球接地，球上的净电荷
为多少？
解：
建立如图所示的坐标系
设导体球表面感应出电荷_q'
a.球心0处场强为零，是土q'的电场和q的电场叠加的结果
b.
即E0二E-E'二0
.Uo-UU'
4號od
导体球接地：
设球上的净电荷为qi
R
解得qq
d
［例2］两块放置很近的大导体板，面积均为S,试讨论以下情况空间的电场分布及导体板各
面上的电荷面密度•一两板所带电荷等值异号；两板带等值同号电荷；两极板带不等量电荷解：
不考虑边缘效应时，可认为板上电荷均匀分布在板表面上
设四个表面上的电荷面密度分别为二1,二2,匚3和;「4
a•作两底分别在两导体板内而侧面垂直于板面的闭合柱面为高斯面
:
Eds2S匚3S二0
'•1~■■-4
（1）.设两板带等值异号电荷+q和-q：
•（G；「2）S=q（二3；「4）S--q
Jo
.；「1-；「4=0-—电荷分布在极板内侧面
.二2=q/s二3__q/s
由场强叠加原理有
同理e3=0
%6q
E2--方向向右
2名02名0$0S
（2）.设两板带等值同号电荷+q：
-㈢+匚2）S二q（6+匚4）S二q
•（5―）-（U）=0
由G_；「4二2__：
「3
有二2-；「3=0---电荷分布在极板外侧面
由场强叠加原理可得十丄弋方向向左
£4
2巾
■.1；「4q,
E3--方向向右
2So2So
（3）.设两极板所带电量分别为q1和q2：
2=qi/S3■訂4=q2/S
.匚-；「4=（q-q2）/S=2；「i
二2呻-二1=
q1-'q2
二3=-二2
q2-'q1
S
2S
2S
由场强叠加原理有
E_-1-2
-3
S_C1
qq2
匚1一
2®2%
2；0
2；0；0
2
可得二1=；:
.-4=（q1q2）/2S
J3匚4_二2_q1-q2
2；02；0；02；oS
［例3］把一块原来不带电的金属板B移近一块带有+Q的金属板A平行放置，设两板面积均为
S,板间距Do
（1）当B不接地时，LAb=？
o
（2）B接地时，UAb=？
解：
A板单独存在时电荷均匀分布.
（1）.当B板靠近A板时,B板将有感应电荷产生，有
（T1=（T-（T2=-（T3
板间是匀强电场：
E=（T2/£0=Q/2£0S
/•U\B=Ed=Qd/2£0S
⑵.B板接地时,A板电荷重新分布
CT1=（T4=0,Q全部分布在CT2面上
CT2=Q/S=-CT3
E=（T2/£0=Q/£0S
/•LAb=Ed=Qd/£0S
［例4］半径为「1的导体球带有电荷+q,球外有一个内外半径分别为「2、「3的同心导体球壳，
壳上带有电荷+Q,求电场分布，球和球壳的电势Ui和U2及它们的电势差厶U;用导线将
球和球壳连接时场和电势怎样？
外球壳接地时怎样？
设外球壳离地面很远，若内球接地，电
荷如何分布？
U2为多少？
解：
球壳内表面均匀分布电荷-q,球壳外表面均匀分布电荷q+Q
以同心球面作为高斯面有
r:
:
:
口
巳=0vvv
q
-0
匚：
:
:
r:
:
:
d
E22
r
4胧or
0:
:
:
r:
:
:
$
E3=0
qQ
0
r“
E42
r
4二；or
a.球的电势为
QO-乂
r2一—
QO-«
Ui二Edr
E2dr
rE4dr
r3
r2q:
:
q亠Q
「ri+d「「3.才
_1'qq+q+Q
4Zo浙「2「3
c.
球壳的电势为
（1）.用导线连接球和球壳：
球面上的电荷与球壳内表面电荷中和
E4
Tr0
4二；or
qQn
U厂U2=rE4
r3
dr
=gdr
r34二；or2
qQ
4二；o「3
（2）.外球壳接地，即U=0:
球壳外表面上电荷为零
表面和球壳内表面上的电荷分布不变
E^E^E^OE2q2r0
4號or
r2--q11
Ui二E2dr（）
%4牡rir2
（3）.内球接地有U=0
设内球表面带电荷q'，则球壳内表面带电荷-q'，球壳外表面带电荷（Q+q'）
Ui
一亠口=0
4…；0「24：
?
•o「3
q'
q'
4n0ri
「3「1-坏2-DR
因心riq'+QQ（a-A）
U2—
4二；0『34二；0附2耐2
Qq'
§9-3静电场中的电介质
电介质：
内部几乎没有可以自由运动电荷的物体，又称为绝缘体
1.电介质的分类
1.无极分子电介质：
无外电场时分子的正负电荷中心重合没有固有电矩的分子称为无极分子
2.有极分子电介质：
无外电场时分子正负电荷中心不重合
3.具有固有电矩的分子称为有极分子
2.电介质的极化
1.无极分子的极化
*无极分子的极化是由于分子中的正负电荷中心在外电.
场作用下发生相对位移的结果_
----位移极化
2.有极分子的极化
*有极分子的极化是由于分子偶极子在外电场的作用下发生转向的结果
E。
—
—»
Pe
诱导电偶极矩
----转向极化
三.电极化强度
1.电极化强度
（1）.无外场时：
电介质中任一小体积元lV内所有分子的电矩矢量和为零，即口=0
（2）.有外场时：
电介质被极化，7Pi=0，且外场越强，电介质极化程度越高，7Pi越
大
（3）.定义：
单位体积内分子电矩的矢量和为电极化强度，即
-送Pi
PL----反映了电介质的极化程度
（4）.单位：
库仑/米2（C/m2），与电荷面密度的单位相同讨论：
a.P是所选小体积元.V内一点的电极化强度。
当电介质中各处的电极化强度的大小和方向
均相同时，则称为均匀极化
b.极化（束缚）电荷也会激发电场，使电场的分布发生变化
2.极化强度与场强的实验系
电介质中某点处的电极化强度与该点处的合场强有如下的实验关系:
P二e；°E
e：
电介质的电极化率，无量纲。
对各向同性的电介质，e为常数
4.与束缚电荷面密度的关系
1.设在均匀介质中，截取一个长为I，底面积为dS,体积为dV的小斜柱。
斜柱的轴线与电
极化强度的方向平行
二Pi二dqI-dsI
dV=dscos：
l
\^r=Pcos日=Pn=Pn
----截面上束缚电荷面密度等于极化强度沿该截面外法线方向的分量
5.介质内部封闭曲面内的极化电荷
1.在介质内任取一闭合曲面S,S上任一小面元dS上极化电荷面密度为d
dq二二dS二Pcos^dS二PdS
S外侧面上的极化电荷
q外dqPdS
-sLs
2.S内包含与q'外等量异号的极化电荷
二q=-q'外二-PdS
s内
----任意闭合曲面内的极化电荷等于极化强度对该闭合曲面通量的负值
6.介质中的静电场
介质中某点的场强，是由外电场和极化电荷的电场叠加而成
以两块靠得很近的金属板为例
Eo
；o
*「L=Pn=PP=》eEoE
E=1
Eo
令；r=1*e-—相对介电系数
Eo
；r
讨论:
；r，1-E=Eo；；r:
:
:
0
----极化电荷的电场将自由电荷的电场部分抵消的缘故
7.有介质时的高斯定理电位移
1.由高斯定理有
--1q
SEdSq二丄Cqo'q）
S-0S内-0s内s内
：
s；oE
2.定义：
D-；oE-P----电位移
"DdSqo自由电荷ss内
----有介质时的高斯定理或
讨论：
D的高斯定理
a.
但D本身与自由电荷和极化电荷都有
电位移通量只与闭合曲面所包围的自由电荷有关,关
b.可用电位移线来形象地描述电位移
E线与D线的区别：
E线:
从自由正电荷或束缚正电荷出发，终止于负电荷
D线:
从自由正电荷出发，终止于自由负电荷
八.D，E，P三矢量的关系
P=e；0ED=；0E亠P
D=JoEe?
0E=；0（1“e）E=；0?
.rE
.定义：
；-；0；r-一介质的介电常数
D二；E
说明：
D通量比计算E通量
D是一个辅助物理量，没有明显的物理意义，但有介质时，计算
简便
以上讨论的是各向同性介质，D，E，P方向一致
＞），
［例4］半径为R的金属球带有正电荷qo,置于一均匀无限大的电介质中（相对介电常数为求球外的电场分布，极化电荷分布和极化电荷电量
解：
电场分布球对称性
取半径为r并与金属球同心的球面S为高斯面
■亠2
"IDdS=D4二rq0
q0
.DJ方向沿径向向外
4二r
或Dr0
4-r
a.电介质中的电场分布为
qoro/214二；o汀
b.极化强度为
二e；°E
qo
1）；o^；o.r2
c.球与介质交界处，介质表面的法向与该处极化强度的方向相反
~1qo
2
r4R
d.极化电荷电量为
q'与qo反号，而且数值小于qo
［例5］两带等量异号电荷的导体板平行靠近放置,电荷面密度分别为+；「和—，板间电压
V）=300V。
如保持两板电量不变，将板间的一半空间充以相对介电系数r=4的电介质，则板间
电压为多少？
介质上下表面极化电荷面密度多大？
解：
设板面积为S,板间距离为d
a.未放电介质：
板间场强大小和电压为
Eo—V。
=E°d
So
b.充电介质：
作底面积为S的高斯面
~下底DidS=下底DidS二D^S
.ID1dS
Di-iDi=iEi=
So%®%
同理，对右半部有
两侧电势相等Eq=E2d
-i
E<）=E2t二2=—
因导体板上总电量保持不变
活-S「二2=2匚
解得；「i=；：
.-=8c•匚
ii+%5
c.板间电场强度为
e^e2
-22
Eo
二Eid
_2
Eod
_2
300=i20V
=Pin
6oEo
5
/5
面面
表表
T-上
§9-4电容和电容器
1.孤立导体的电容
1.设孤立导体带电量为q,电势为U
2.定义：
C=q/U----孤立导体的电容
3.单位:
法拉（F）,1F=1C/V
2.电容器
1.电容器：
两个带有等值异号电荷的导体组成的系统
2.
两个导体A和B放在真空中，所带电量分别为+q和-q组成电容器
设极板所带电荷为_q
（2）.圆柱形电容器---两同轴圆柱面构成设内外柱面带有电荷分别为+q和-q
两柱面间、距轴线为r处的场强大小为
二Ua-Ub=）AEdl=JR：
Edr=监•丸=ln-Rb-
2號o®r2號°%RA
2二；0；rl
inRb
in电
2,o；rRa
Ra
U：
-Ub
（3）.球形电容器---两同心球壳构成设内外球壳分别带有电荷+q和-q，则
q
2
4二；0；rr
Ua—Ub
-：
edl
-RbEdr
ra
1
Rb
cq45皿
Ua-UBRb-RA
讨论：
1.电容器的电容与极板所带电量无关，只与电容器的几何结构有关
2.充满介质的电容器，其电容比真空时的电容大
3.计算电容器电容的步骤：
a.设极板带有电荷_q
b.由电荷分布求出两极板间的场强分布
c.由场强分布求出两极板间的电势差
d.由电容的定义求得电容器的电容
3.电容器的串并联
1.并联：
各电容器上的电压相等
电容器组总电量q为各电容所带电量之和
□
U:
■■---■■
v
C=_q二q72qn
_u_U
n
二GC2Cn八Ci
i二
2.串联：
总电压为各电容器电压之和
各电容器的电量相等，即为电容器组的总电量q
q
q/&q/C27/Cn
1111
-p—=——+——+…+——
CC1C2Cn
讨论：
1并联时等效电容等于各电容器电容之和，利用并联可获得较大的电容
2.串联时等效电容的倒数等于各电容器电容的倒数之和，因而它比每一电容器的电容小，但
电容器组的耐力能力提高
［例6］电容为C的空气平板电容器，两极板间距离为d,若在此电容器中插入一相对介电系
数为r的纸片，这时电容器的电容变为C,试证纸片厚度为
C-C
证:
设极板面积为
C1=
；0；rS
d1
C3
d3
C'C1C2C3
C1C2C3
c=
GC2+C2C3+C3G
123
ccc
丄工工T
di；「d2d3
d2d3=d-di
务名0S%〔C\
”"”dr=（1—）d=1——d
辭一1cdsrC'1
irC-CZB、十
=—d得证
；r-1C
*另证
aaer
U=Eid2■E2diE3d3=—d2di—d3
名0名r^0
£S
WASdi；rd2d3
同样可证
§9-5电场的能量
1.带电体的能量
a设物体带有电量q时，相应电势为U
将电荷元dq从无限远处移到该带电体上，外力需作功
dA二dq（U-U：
：
）二Udq
b带电体具有的电势能
W=A=QUdq
2.带电电容器的能量
a.将dq由B板移到A板，外力需作功
dA=dq（Ua-Ub^^dq
C
b带电电容器的能量为
qq1Q2121
W「。
严dqC（Ua-Ub）Q（Ua-Ub）
0C2C22
3.电场的能量
；的电介质
1.以平板电容器为例：
设极板面积为S,两极板间距离为d,板间充满介电常数为
121於212
WC（Ua-Ub）2（Ed）2E2V
22d2
2单位体积的能量（电场能量密度）为
3.任意电场中所储存的能量为
1
-V—DEdV
2
讨论:
电场具有能量是电场物质性的一种表现
［例7］真空中一个半径为R的薄球壳，其上带有均匀分布的电荷Q求静电场的总能量
解：
电场分布在球壳的外部空间
4二；o
Q
~2r
静电场的总能量为
［例8］空气平板电容器的极板面积为S,极板间距为d,其中插入一块厚度为d'的平行铜板。
现在将电容器充电到电势差为U,切断电源后再将铜板抽出。
求抽出铜板时外力所作的功
解：
法1:
电容储存能量的观点：
外力的功等于抽出铜板前后该电容器电能的增量
1.抽出铜板前电容器电容为c0S-.
d—d
*极板上的电荷不变
W'M
2C'
iq2
2C''
-竺u
2（d-d）2
.AuW'-W，1；°Sd2U2
2（d-d）
法2:
电场是能量携带者的观点：
铜板抽出前后，空气中场强不变，即电场能量密度不变，但电场存在的空间体积增大
A二W''-W'=e（V''-V'）
=1；°E2Sd_S（d_d）1
1；0E2Sd
2
1；oSd||2
2U
2（d-d）
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