余角和补角.docx

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余角和补角

学大个性化辅导教案

课题

余角和补角

学生姓名

学生年级

××

学科

××

教师姓名

学管师姓名

咨询师姓名

上课时间

教案1（）教案2（）

教学目标

1、认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质

2、了解方位角，能确定具体物体的方位。

教学重点/难点

重点：

认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位

难点：

通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规

范的语言描述性质

教学过程

教师活动

学生活动

1、上节课作业检查及知识点回顾，解决上节课遗留的问题

2、本节课知识点讲解：

（1）余角和补角的概念

（2）余角和补角的性质

等角（同角）的补角相等。

等角（同角）的余角相等。

（3）方位角

3、本节课重点题型讲解分析

4、本节课常考知识点对应的题型及解题思路和方法总结，如余角和补角不是一个角，而是两个角之间的关系；余角和补角是指两个角的数量关系，与位置无关。

设一个角为

，则它的余角为900-

，补角为1800-

。

1、讲解上节课所留作业中典型试题的解题方法

2、回答上节课所讲相关知识点，找出遗漏部分

3、课堂笔记及教师补充知识点的记录

4、重点知识点对应典型试题训练，并且通过训练归纳总结常考题型的解题思路和方法

知识点总结

1、余角和补角的概念

如果两个角的和等于900（直角），就说这两个角互为余角。

类似地，如果两个角的和等于1800（平角）就说这两个角互为补角。

2、余角和补角的性质

等角（同角）的补角相等。

等角（同角）的余角相等。

3、角的平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

4、方位角

为了确定物体在地图上的位置，我们把地图分为八个方向，如图

（1）。

那么，在平面上怎样确定一个物体的具体方向呢？

这就要用到方位角。

例如点A在东偏北230或北偏东670，南偏西320或西偏南580。

西北

D

B

北偏东400

（1）

南偏西100

C

例题/课上习题

例题

例1．如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠FOB，

∠AOC=90°，求∠EOC的度数．

解法一：

因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB（已知），

所以∠FOB+3∠FOB=180°（等量代换），所以∠FOB=45°，

所以∠AOE=∠FOB=45°（对顶角相等），因为∠AOC=90°，

所以∠EOC=∠AOC-∠AOE=90°-45°=45°．

解法二：

因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB，

所以∠FOB+3∠FOB=180°，所以∠FOB=45°，

所以∠AOF=3∠FOB=3×45°=135°，

所以∠BOE=∠AOF=135°．又因为∠AOC=90°，

所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-90°=90°，

所以∠EOC=∠BOE-∠BOC=135°-90°=45°．

例2．一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．

解：

设这个角为x，则其补角为180°-x，余角为90°-x，

根据题意，得（180°-x）+（90°-x）=180°-10°，解得x=50°，

所以这个角的度数为50°．

点拨：

本题是互余，互补及平角的概念的一个交叉综合题，要理清各种关系，才能正确列出方程．

例3．如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了______度．

解.点拨：

本题是对顶角的性质在物理学中的应用．

例4．如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？

在图上画出被击的球所走路程．

解：

落入2号球袋，如图所示．

点拨：

此题应与实际相联系，球被击中后在桌面上走的路线与台球桌面的边缘构成的角等于反弹后走的路线与台球桌面的边缘构成的角．

例5.已知：

如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）

A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角

解.B点拨：

因为AB⊥CD于点O，所以∠BOC=90°．

又CD与EF相交于点O，所以∠COE=∠2，

所以∠1+∠2=∠1+∠COE=∠BOC=90°，即∠1与∠2互余，故选B．

例6.已知∠A=40°，则∠A的余角等于______．

解.50°点拨：

∠A的余角为90°-∠A=90°-40°=50°．

课上习题

1．已知∠α=50°，则∠α的补角等于______度．

2．已知∠1=40°，则∠1的余角为_____度．

3．已知∠α与∠β互余，且∠α=15°，则∠β的补角为______度．

4．如图1所示，∠AOC=90°，∠AOB=∠COD，则∠BOD=______度．

图1图2图3图4

5．下列说法不正确的是（）

A．任意两直角互补B．任意两锐角互余

C．同角或等角的补角相等D．同角或等角的余角相等

6．一个角的余角和它的补角的比是3：

7，则这个角为（）

A．30°B．22.5°C．45°D．60°

7．下列结论正确的个数为（）

①互余且相等的两个角是45°②锐角的补角是钝角③锐角没有余角，钝角没有补角④两个钝角不可能互补

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．如图2所示，∠AOE=∠EOB=∠DOC=90°，则下列说法不正确的是（）

A．∠1与∠2，∠3与∠4互为余角B．∠4=∠3，∠2=∠4

C．∠1与∠4，∠2与∠3互为余角D．∠1=∠3，∠2=∠4

9．如图3所示直线AB与CD相交于的点O，那么∠1=∠2吗？

试说明理由．

解答：

∵直线AB与CD交于一点O，

∴∠1+∠3=180°（补角定义），∠2+∠3=180°（补角定义），

∴∠1=180°-∠3（等式变形）．

∠2=180°-∠3（等式变形）．

∴∠1=∠2（）．

以上叙述中，∠1+∠3为什么是180°呢？

________，阅读后完成上述填空．

10．如图4所示，

（1）射线OA表示________的方向;

（2）OB表示______方向或________方向;（3）OC表示南_______方向．

11．如图5所示，下列说法中错误的是（）

图5

A．图

（1）的方位角是南偏西20°B．图

（2）的方位角是西偏北60°

C．图（3）的方位角是北偏东45°D．图（4）的方位角是南偏西45°

12．如图6所示，下列说法错误的是（）

A．OA的方向是北偏西22°B．OB方向是西南方向

C．OC的方向是南偏东60°D．OD的方向是北偏东60°

图6图7

13．如图7，由方位角画出方位射线．

（1）射线OA，南偏西10°;

（2）射线OB，北偏东75°;

（3）射线OC，东南方向（即南偏东45°）．

14．如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则∠ABC等于多少？

15．如图所示，某测装置有一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针方向旋转90°．

（1）现指针所指的方向为________．

（2）图中互余的角有几对？

并指出这些角？

答案

1.点拨：

∠α的补角为180°-50°=130°

2.点拨：

∠1的余角为90°-40°=50°

3.点拨：

∠β=75°，180°-75°=105°

4.点拨：

∠BOD=∠AOC

5．B6．B

7．C（点拨：

①②④正确）

8．B（点拨：

∠3不一定等于∠4）．

9．等量代换，∠1+∠3可以看成是以点O为顶点的OD，OC为边的平角．

10．

（1）北偏东60°

（2）北偏西45°，北偏西（3）南偏东10°

11．B12．D（点拨：

OD是北偏东30°）13．如图答-8所示．

14．∠ABC=60°

15．

（1）西偏北40°

（2）4对，∠EOA与∠AOD，∠AOD与∠BOD，∠BOD与∠BOC，∠BOC与∠AOE

课后习题

一、选择题

1．如图1所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是（）

A．∠AOC与∠COE互为余角B．∠BOD与∠COE互为余角

C．∠COE与∠BOE互为补角D．∠AOC与∠BOD是对顶角

2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（）图1

3．下列说法正确的是（）

A．锐角一定等于它的余角B．钝角大于它的补角

C．锐角不小于它的补角D．直角小于它的补角

4．如图2所示，AO⊥OC，BO⊥DO，则下列结论正确的是（）

A．∠1=∠2B．∠2=∠3C．∠1=∠3D．∠1=∠2=∠3

图2图3图4图5

二、填空题

5．已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为．

6．如图3所示，直线a⊥b，垂足为O，L是过点O的直线，∠1=40°，则∠2=．

7．如图4所示，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，若∠COB=135，则∠MOD=．

8．三条直线相交于一点，共有对对顶角．

9．如图5所示，AB⊥CD于点C，CE⊥CF，则图中共有对互余的角．

三、解答题

10．如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，若∠COE=55°，求∠BOD的度数．

11．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°.

求∠BOD，∠AOE的度数．

答案

一、

1．C点拨：

因为∠COE与∠DOE互为补角，所以C错误，故选C．

2．D3．B

4．C点拨：

因为AO⊥OC，BO⊥DO，

所以∠AOC=90°，∠BOD=90°，

即∠3+∠2=90°，∠2+∠1=90°，

根据同角的余角相等可得∠1=∠3，故选C．

二、

5．125°点拨：

因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°，

又因为∠1=35°，所以∠2=90°-35=55°，

所以180°-∠2=180°-55°=125°，即∠2的补角的度数是125°．

6．50°点拨：

由已知可得∠1+∠2=180°-90°=90°，

∠2=90°-∠1=90°-40°=50°．

7．45°点拨：

因为OM⊥AB，

所以∠MOD+∠BOD=90°，

所以∠MOD=90°-∠BOD，

又因为∠BOD=180°-∠COB=180°-135°=45°，

所以∠MOD=90°-45°=45°．

8．6点拨：

如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOD与∠BOC，∠AOE与∠BOF，∠DOE与∠COF，∠DOB与∠COA，∠EOB与∠FOA，∠EOC与∠FOD均分别构成对顶角，共有6对对顶角．

9．4点拨：

由AB⊥CD，可得∠ACE与∠ECD互余，∠DCF与∠FCB互余．

由CE⊥CF，可得∠ECD与∠DCF互余，又由于∠ACB为平角，

所以∠ACE与∠BCF互余，共有4对．

三、

10．解：

因为∠BOE与∠AOE互补，∠BOE=90°，

所以∠AOE=180°-∠BOE=180°-90°=90°，即∠COE+∠COA=90°，

又∠COE=55°，所以∠COA=90°-∠COE=90°-55°=35°，

因为直线AB，CD相交于点O，所以∠BOD=∠COA=35°．

11．解：

因为直线AB与CD相交于点O，所以∠BOD=∠AOC=120°，

因为∠AOC+∠AOD=180°，所以∠AOD=180°-120°=60°，

因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=

∠AOD=

×60°=30°．

点拨：

由∠BOD与∠AOC是对顶角，可得∠BOD的度数．由∠AOC与∠AOD互补，可得∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD，可得∠AOE的度数．