椭圆经典解题思路.docx
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椭圆经典解题思路
椭圆标准方程典型例题
例1已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为（0,2）求m的值.
又c2，所以2m622,m5适合.
分析：
因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法,
分析：
（1）由已知可得GCGB20，再利用椭圆定义求解.
A的轨迹方程.
（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求
例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为―5和——，过P点作焦点所在轴
33
的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.
解：
设两焦点为F1、F2，且PF1
从PFiPF?
知［PF?
可求出
PF1F2
4.5
3
PF2
晋.从椭圆定义知2a
垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt
2；5
2cPF1cos—，从而b
6
PF2F1中,
PF1|PF22J5.即aJ5.
sinPF|F2
PF21
PF12,
10
3
c22
1或竺乂1.
105
2
例5已知椭圆方程笃
a
2y_b2
，长轴端点为A1,A2，焦点为
Fi,F?
P是
椭圆上一点,
APA2
F1PF2
.求：
F1PF2的面积（用a、
分析：
求面积要结合余弦定理及定义求角
1
的两邻边，从而利用S-absinC求面积.
2
表示）.
解:
如图，设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设Px,y,由椭圆的对称性，不妨设P
在第一象限.由余弦定理知:
由椭圆定义知:
FiPF2
例6已知动圆
PF1
P过定点
FiF』2|PFi
PF222PF|-PF2
PF22a②，则②2—①得
PF2sin
12b2
sin
21cos
A3,0，且在定圆B:
x32
PF1
b2%.
PF2
cos4c2.①
2b2
1cos
2
y64的内部与其相内切,
分析：
关键是根据题意，列出点P满足的关系式.解：
如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到两定点,
即定点A3,0和定圆圆心
B3,0距离之和恰好等于定圆半径,
即PA
PB
PM
PB
BM
8.•点P的轨迹是以A,
B为两焦点,
_2
半长轴为4,半短轴长为b
4232.7的椭圆的方程：
—
16
说明：
本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.
例7已知椭圆
X2ii
Xy2i,（i）求过点P丄，丄且被P平分的弦所在直线的方程;
222
（2）
求斜率为
2的平行弦的中点轨迹方程;
（3）
过A2,
引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;
（4）
椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ
分析:
解:
2
Xi
2
（i）
求线段PQ中点M的轨迹方程.
此题中四问都跟弦中点有关,
因此可考虑设弦端坐标的方法.
设弦两端点分别为
2y22
2y；
y2
Mxb
yi
NX2,
①一②得
y2
Xi
，线段MN的中点Rx,y，则
X2XiX22yiy2yiy?
2
2x,
2y,
由题意知
Xi
X2
，则上式两端同除以XiX2，有Xi
X22yi
y2
yiy2
X-IX2
将③④代入得
2y30.⑤
XiX2
丄代入⑤，得业上
2XiX2
1
丄，故所求直线方程为:
2
2x4y
将⑥代入椭圆方程
x22y22得6y26y
36
0符合题意，2x4y
30为所求.
（2）
将
X-IX2
2代入⑤得所求轨迹方程为:
4y
0.（椭圆内部分）
（3）
将
XiX2
y丄代入⑤得所求轨迹方程为:
2
（4）
由①+②得
X2x；4x2
2y2
2x
2y0.（椭圆内部分）
将⑧⑨代入⑦得:
再将yiy2
2xiX2,
⑧,
4x22x-|X2
⑦,
2yi
2
y2
将③④平方并整理得
4y22yiy2,
4y2
2yiy2
XiX2代入⑩式得:
2
2x2
X-|X24y
1
XiX2
2
X2
2
丄i.
1
2
此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决.
例8已知椭圆4x2y2i及直线yxm.
（i）当m为何值时，直线与椭圆有公共点?
（2）若直线被椭圆截得的弦长为210，求直线的方程.
5
解：
（1）把直线方程yxm代入椭圆方程4x2y21得4x2xm21,
即5x22mxm210.2m2
45
2
m1
16m2200,解得-
m
_5
2
2
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为
X1,
X2，由
2m
（1）得为X2,X1X2-
2m
1
5
5
J
2根据弦长公式得：
.112
2
2m
2
4m
i
12、10.解得m0.方程为
y
X.
5
5
5
说明：
处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式.
用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程.
22
要使所作椭圆的长轴最短,
例9以椭圆—仝1的焦点为焦点，过直线丨：
xy90上一点M作椭圆，
123
z
0FlJC
点M应在何处？
并求出此时的椭圆方程.
分析：
椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决.
22
解:
如图所示，椭圆-y1的焦点为F13,0,F23,0.
123
点F1关于直线丨：
xy90的对称点F的坐标为（一9,6）,直线FF?
的方程为x2y30.
x2y30
解方程组y得交点M的坐标为（—5,4）.此时MRMF2最小.
xy90
所求椭圆的长轴：
2a|MF1MF2|FF26J5,.••a3聶，又c3,
222
…bac
3.523236•因此，所求椭圆的方程为
22
互壬1
4536
2
2
例10已知方程—
y
1表示椭圆，求k的取值范围.
k50,
例11
解：
由3k0,得3
k
5，且k4.
k53k,
•••满足条件的k的取值范围是
3
k5,且k
4.
说明：
k
本题易出现如下错解：
由
5
0,
得3k
5，故k的取值范围是3k5
3
k
0,
分析：
由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见,
可设其方程为mx2ny21（m0,n
0）,且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.
轨迹上的点的坐标为（x0,y0），然后根据题目要求，使x,y与x0,y0建立等式关系,
从而由这些等式关系求出x0和y0代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x,y的方程，
化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握.
例14已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为的直线交椭圆于A,
3
B两点，求弦AB的长.
分析：
可以利用弦长公式|AB訥k2|x1x2|V（1k2）[（x1x2）24x1x2]求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.
解：
（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.
AB<1k2\x1x2J（1k2）[（x!
x2）24x1x2].因为a6,b3，所以c3/3.因为焦点在x轴上,
22
左焦点F（33,0），从而直线方程为y、3x9.
所以椭圆方程为-y1,
369
（法3）利用焦半径求解.
x2V2
例15椭圆——L1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点，贝yON（O为坐标原点）的值为
259
3
A.4B.2C.8D.-
2
解：
如图所示，设椭圆的另一个焦点为F2,由椭圆第一定义得
MF」|mF2|2a10，所以|mF2|10〔MF』1028,
1
又因为ON为MF/2的中位线，所以|on|-ImfJ4，故答案为A.
2
说明：
（1）椭圆定义：
平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.
⑵椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF」|MF22a，禾U用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有
关距离.
x2y2
例16已知椭圆C:
-1，试确定m的取值范围，使得对于直线丨：
y4xm，椭圆C上有不同的两点
43
关于该直线对称.
分析：
若设椭圆上A,B两点关于直线I对称，则已知条件等价于：
（1）直线ABl;
（2）弦AB的中点M在I上.
利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围.
解：
（法1）设椭圆上A（xi,yj,B（X2,y2）两点关于直线I对称，直线AB与I交于M（x。
，y。
）点.
将式②代入式①得13x226mx169m2480
13
4
13
（法2）同解法1得出n
m,
•-X0
（
m）
m,
4
13
4
113
1’
13
y0x0m
-（
m）
m
3m,
即M点坐标为（m,3m）
44
4
4
点的椭圆方程.
¥
\!
.
W0
VI
则
解：
以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设P（x,y）.
2,
cy1.
254
12a23b2
2,23
ab
4
1,
得
b2
15
4
3.
422
•••所求椭圆方程为坐y1
153
I的方程.
x2
例18已知P（4,2）是直线l被椭圆—
36
2
仝1所截得的线段的中点，求直线
9
分析：
本题考查直线与椭圆的位置关系问题•通常将直线方程与椭圆方程联立消去y（或x），得到关于x（或y）
的一兀一次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1x2,x-|x2（或y1y2,y-iy2）的值代入计算即得.
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的.
解：
方法一：
设所求直线方程为y2k（x4）•代入椭圆方程，整理得
222
（4k1）x8k（4k2）x4（4k2）360①
设直线与椭圆的交点为A（X1,yj,B（X2,y2），则人、x?
是①的两根，•洛x?
4k1
•••P（4,2）为AB中点，•
X1X2
4
4k（4k2）
2，
1
k—.•••所求直线方程为
x2y8
0.
2
4k1
2
方法二：
设直线与椭圆交点
A（X1,yj
B（X2,y2）.•••
P（4,2）为AB中点，•x
X28,y1
y24.
又•••A,B在椭圆上，•
22
X14力
36,x224y22
22
36两式相减得（X1X2）
22
4（y1y2）
0,
即&1X2）（X1X2）4（y1
y2）（y1
y2）0.•」
y2（X1X2）1.•直线方程为X
2y80
X1
X24（y1y2）2
方法二：
设所求直线与椭圆的一个交点为
A（x,y），另
个交点B（8x,4y）.
•••A、B在椭圆上，•x24y236①。
（8x）24（4y）236②
从而A,B在方程①—②的图形x2y80上，而过A、B的直线只有一条，.••直线方程为x2y80.
说明：
直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法.
若已知焦点是（3-、3,0）、（3.3,0）的椭圆截直线x2y80所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程?
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