完整版平面向量基本定理及向量的坐标表示专题复习题doc.docx
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完整版平面向量基本定理及向量的坐标表示专题复习题doc
平面向量基本定理及向量的坐标表示
1.（文）（2011重·庆文）已知向量a
（1,k）,b
（2,2）,且a
b与a共线，那么ab的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
（理）在
ABC中,M为边
BC上任意一点,N为AM的中点,AN
AB
AC,则
（
）
A.
1
B.1
C.1
D．1
2
3
4
2．（2011嘉·兴模拟）已知a,b是不共线的向量
AB
a
b,,AC
a
b,,
R,那么A、B、C三点共
线的等价条件为（
）
A．
2
B．
1
C．
1
D．
1
3．（2012湖·北省孝感模拟
）在四边形ABCD
中,ABa
2b,,BC
4a
b,,CD
5a
3b,其中a,b不
共线，则四边形
ABCD为（
）
A．平行四边形
B．矩形
C．梯形
D．菱形
4．如图,
ABC
中,AD
DB,AE
EC,CD与BE交于F，设AB
a,AC
b,AF
xa
yb,则（x,y）为（
）
1
1
2
2
C.
11
2
1
A.（,）
B.（,）
（,）
D.（,）
2
2
3
3
33
3
2
5．已知向量a
（2cos
2sin
）,b（0,
2）,
（,
）,则a,b
（
）
2
A.
3
B．
C.
D．θ
2
2
2
6．（文）已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量
若向量c满足（a
c）
（bc）
0,则|c|的最大值是（
）
2
A．1
B．2
C.
2
D.2
（理）已知O为原点，点A、B的坐标分别为
→
A（a,0）、B（0，a），其中常数a>0，点P在线段AB上，且有AP＝
→
→→
）
tAB（0≤t≤1），则OA·OP的最大值为（
A．a
B．2a
C．3a
D．a2
7．在平行四边形
→＝1→→
＝
1→，CE与BF相交于G点．若AB
a,AD
b,
→＝（）
ABCD中,AE
AB,AF
4
AD
则AG
3
A.
2
1
b
B.
2
3
C.
3
a
1
4
2
a
7
a
b
7
b
D.a
b
7
7
7
7
7
7
→
→
→
→
→
）
8．（文）（2010深·圳模拟）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则（
2，y＝1
B．x＝1，y＝2
C．x＝1，y＝3
D．x＝3，y＝1
A．x＝3
3
3
3
4
4
4
4
1
→
→
（理）已知A（7,1），B（1,4）,直线y＝
ax与线段AB交于C,且AC＝
2CB,则实数a等于（）
2
4
5
A．2
B．1
C.5
D.3
9．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4
→
→→→
交于A、B两点，且|OA＋OB|＝|OA－OB|，其中O为坐标原点，则实
数a的值为（
）
A．2
B．－2C．2或－2
D.6或－6
10．（2010·河南许昌调研）在平面直角坐标系中，O
为原点，设向量OAa,OB
b,其中
a（3,1）,b
（1,3）．若OC
ab,且0≤λ≤μ≤1，C点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是
（）
[答案]
A
[解析]
→
OC＝λa＋μb＝（3λ＋μ，λ＋3μ），
11．（文）（2010重·庆诊断）称d（a,b）|ab|为两个向量a,b间的“距离”．若向量
a,b满足；①|b|
1；
②ab；③对任意的
t∈R，恒有d（a,b）≥d（a,tb），则（
）
A．abB．a（ab）
C．b（ab）
D．（ab）（ab）
（理）（2010山·东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：
对任意的a
（m,n）,b
（p,q）
．令
aebmq
np,下面说法错误的是（
）
A．若a与b共线，则aeb0
B．aeb
bea
C．对任意的λ∈R，有（
a）eb
（aeb）D．（aeb）2
（ab）2
|a|2|b|2
12.平面上有四个互异的点
A、B、C、D，满足（AB
BC）（ADCD）
0,则三角形ABC是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
13．如图,在四边形
ABCD中,AB
BCCD1,B
900,
BCD1350,记向量AB
a,ACb,则AD
（）
A.2a（1
2）bB．
2a（1
2）b
2
2
C．2a（1
2
D．2a（1
2
）b
）b
2
2
14．（文）（2011杭·州模拟）已知向量a（sinx,1）,b（cosx,3）,且a//b,则tanx_______.
（理）已知a（2,
3）,b
（sin
cos2
）,（
）,若a//b,则tanx_____.
2
2
15．（2012西·安五校第二次联考
）梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设
ABa,ADb,若MN
ma
nb,则
n
_______.
m
16．（文）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，F为AB上一点，且AB
4AF,若ADxAFyAE,
则x＝____，y＝___.
16题（理）
（理）（2011江·苏徐州市质检）在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交
AB、AC于M、N两点，
若AM
xAB,ANyAC,则（4xy）min___．
17
．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB
___，DEDC的最大值为________．
18
．已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E,F,AE
ABAFAC,则
1
1
_______.
19．（2012·西八校联考江
）如图所示,设P、Q为△ABC内的两点,且
AP2AB1AC,AQ2AB1AC,则S
5534S
ABP
______．
ABQ
20．（文）已知O（0,0）,A（2,1）,B（1,3）,OPOAtOB,求：
（1）t为何值时，点P在x轴上？
点P在y轴上？
点P在第四象限？
（2）四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．
（理）（2011
杭·州市质检）已知向量a
（1,2）,b
（cos,sin）,设m
a
tb（t为实数）．
（1）
若α＝
π
t的值；
，求当|m|取最小值时实数
4
（2）
若a
b,问：
是否存在实数t,使得向量a
b和向量m的夹角为
π
4
若存在,请求出t,若不存在,请说明理由．
21．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c＝2b，向量m
（sinA,3）,n（1,sinA3cosA）,
2
且m与n共线．
（1）求角A的大小；
（2）求ac的值．
22．设a,b是不共线的两个非零向量，
（1）若OA2ab,OB3ab,OCa3b,求证：
A、B、C三点共线；
（2）若8akb与ka2b共线，求实数k的值；
23．（2011衡·阳期末）平面内给定三个向量
a（3,2）,b（1,2）,c（4,1）,请解答下列问题：
（1）
求满足ambnc的实数m、n；
（2）
若（akc）//（2b
a）,求实数k；
（3）
若d满足（dc）/
/（ab）,且|dc|
5,求d.
24．（文）已知圆C：
（x－3）2＋（y－3）2＝4及定点A（1,1），M为圆C上任意一点，点
→
N在线段MA上，且MA＝
→
，求动点N的轨迹方程．
2AN
（理）已知θ是△ABC的最大的内角．设向量a（cos,sin）,b（sin2,1cos2）,c（0,1）．
定义f（）（ab）c|b|,求f（）的最大值．
平面向量基本定理及向量的坐标表示
1.（文）D（理）A
→
→→→
→→
1
[解析]本题考查向量的线性运算．
据已知N为AM的中点，可得AN＝
2AM＝λAB＋μAC，整理得AM＝2λAB
→
1
＋2μAC，由于点M在直线BC上，故有
2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝
2.
2．D3．C
4．C
→→
5题
[解析]设CF＝λCD，∵E、D分别为AC、AB的中点，
→→→
1
∴BE＝BA＋AE＝－a＋2b，
→
→→
1
1
BF＝BC＋CF＝（b－a）＋λ（2a－b）＝
2λ－1a＋（1－λ）b，
→
→
1
2λ－1
1－λ
2
∵BE与BF共线，∴－1
＝
1，∴λ＝3，
2
→→
→
→
1
1
1
1
2
21
∴AF＝AC＋CF＝b＋3CD＝b＋32a－b＝3a＋3b，故x＝3，y＝3.
5．A[解析]
解法一：
由三角函数定义知
a的起点在原点时，终点落在圆
x2＋y2＝4位于第二象限的部分上
π
（∵2<θ<π），设其终点为P，则∠xOP＝θ，
3π
∴a与b的夹角为
2－θ.
解法二：
cos〈a，b〉＝
a·b
＝
－4sinθ
3π
|a||b|·
2×2
＝－sinθ＝cos
2
－θ，
π
3π
π
∵θ∈2，π，∴
2－θ∈
2，π，
3π
又〈a，b〉∈（0，π），∴〈a，b〉＝2－θ.
6．（文）C[解析]由（a－c）（b－c）＝0得a·b－（a＋b）·c＋c2＝0，即c2＝（a＋b）c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，
即|c|≤|a＋b|＝2，故选C.
（理）D[解析]
→
→
∵AP＝tAB，
→
→
→
→
→→
→
→
∴OP＝OA＋AP＝OA＋t（OB－OA）＝（1－t）OA＋tOB＝（a－at，at）
→→
→→
∴OA·OP＝a2（1－t），∵0≤t≤1，∴OA·OP≤a2.
7．C8．（文）A（理）A
9．C[解析]
以OA、OB为边作平行四边形
OACB，则由
→→→→
OACB为矩
|OA＋OB|＝|OA－OB|得，平行四边形
→
→
y＝－x＋a在y轴上的截距为±2，所以选C.
形，OA⊥OB.由图形易知直线
10．A
[答案]
A
[解析]
→
OC＝λa＋μb＝（3λ＋μ，λ＋3μ），
→
y＝x的上方，故选A.
令OC＝（x，y），则x－y＝（3λ＋μ）－（λ＋3μ）＝2（λ－μ）≤0，∴点C对应区域在直线
11．（文）C（理）B12B
→
→
→
→
→→
→
→
[解析]
（AB
－BC
）·（AD
－CD
）＝
（AB
－BC
）·（AD
＋DC
）
→
→
→
→
→
→
→
→
→
＝（AB－BC）·AC＝（AB－BC）·（AB＋BC）＝|AB|2－|BC|2＝0，
→→
故|AB|＝|BC|，即△ABC是等腰三角形．
13．B根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B为原点，
AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，
并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰
2
2
→
→
2
直角三角形，由
CD＝1，得
CE＝ED＝2
，则A（1,0）,B（0,0），C（0,1），D（2
，1＋
2），∴AB＝（－1,0）
，AC＝（－
→
2
→→
→
2
1,1），AD＝（2－1,1＋2
），令AD＝λAB＋μAC，
2
1，
λ＝－
2，
→
－λ－μ＝2－
2
∴AD＝－2a＋（1＋
则有
2
得
2
2）b.
μ＝1＋
2
，
μ＝1＋
2.
1
3
15．（文）－4
14．（文）－3（理）－
3
16．（文）2
1
9题（理）
（理）（2011
江·苏徐州市质检
）在△ABC
中，过中线
AD
的中点
E任作一条直线分别交
AB、AC
于M、N
两点，
→→→
→
若AM＝xAB，AN＝yAC，则
4x＋y的最小值为
___．9
4
→→
→
→
→
如图所示，由题意知
11
AD＝2（AB＋AC），AE＝2AD，
→→→
又M，E，N三点共线，所以AE＝λAM＋（1－λ）AN（其中0<λ<1），
→
→→→
→
→
→
→
又AM＝xAB，AN＝yAC，所以
1
（AB＋AC）＝λxAB＋（1－λ）yAC，
4
因此有
4λx＝1，
解得x＝1
，y＝
1
，
41－λy＝1，
4λ
41－λ
1
1
1
＝t＋
t
1
59
，
令＝t，∴t>1，则4x＋y＝＋
＝（t－1）＋
＋≥
λ
λ
41－λ4t－1
4t－1
44
3
2
当且仅当
t＝2，即λ＝
3时取得等号．
17．1
1
[解析]
本题考查平面向量的数量积，建立平面直角坐标系如图，则
B（1,0），C（1,1），D（0,1），设E（x0,0），则
→→→
CB＝（0，－1），DC＝（1,0），DE＝（x0，－1），
19题
17题
→→
∴DE·CB＝（x0，－1）（0，－1）＝1，
→→
∴DE·DC＝x0，而0≤x0≤1，
→→
∴DE·DC的最大值为1.
[点评]
将问题转化为坐标运算使问题迎刃而解．
→
→
→
→
→→
2
1
＋AC），设EG＝λGF，
18．3[解析]
连结AG并延长交
BC于D，∵G是△ABC的重心，∴AG＝
3AD＝3（AB
→
→
→
→
→
1
→
→
∴AG－AE＝λ（AF－AG），∴AG＝
AE＋
λ
AF，
1＋λ
1＋λ
→
1
→
→
→
1
α
λβ
，
∴AB＋
AC＝
AB＋
AC
3
3
1＋λ
1＋λ
α
1
，
1
3
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