（3）属于同一个单调区间．
知识点二 单调性与单调区间
如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接.如函数y＝
在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，却不能表述为：
函数y＝
在（－∞，0）∪（0，＋∞）上单调递减．
[小试身手]
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数y＝x2在R上是增函数．（ ）
（2）所有的函数在其定义域上都具有单调性．（ ）
（3）在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）×
2．函数y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数，则（ ）
A．m>
B．m<
C．m>－
D．m<－
解析：
使y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<
.
答案：
B
3．函数y＝－2x2＋3x的单调减区间是（ ）
A．[0，＋∞）B．（－∞，0）
C.
D.
解析：
借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是
，故选D.
答案：
D
4．若f（x）在R上是增函数，且f（x1）>f（x2），则x1，x2的大小关系为________．
解析：
∵f（x）在R上是增函数，且f（x1）>f（x2），∴x1>x2.
答案：
x1>x2
类型一 利用函数图象求单调区间
例1 已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ）
A．（－3,1）∪（1,4）B．（－5，－3）∪（－1,1）
C．（－3，－1），（1,4）D．（－5，－3），（－1,1）
【解析】 在某个区间上，若函数y＝f（x）的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为（－3，－1），（1,4）．
【答案】 C
观察图象，若图象呈上升（下降）趋势时为增（减）函数，对应的区间是增（减）区间．
跟踪训练1 函数f（x）的图象如图所示，则（ ）
A．函数f（x）在[－1,2]上是增函数B．函数f（x）在[－1,2]上是减函数
C．函数f（x）在[－1,4]上是减函数D．函数f（x）在[2,4]上是增函数
解析：
函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.
答案：
A
图象上升或下降趋势判断．
类型二 函数单调性的判定与证明
例2 判断函数f（x）＝
在区间（1，＋∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．
【解析】 函数f（x）＝
在区间（1，＋∞）上单调递减．
证明：
任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1－
＝
＝
.
∵x10.
∵x1，x2∈（1，＋∞），
∴x2＋x1>0，x
－1>0，x
－1>0，
∴
>0，即f（x1）>f（x2），
由单调性的定义可知函数f（x）＝
在区间（1，＋∞）上单调递减．
先根据单调性的定义任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y＝
在（－1，＋∞）上是减函数．
证明：
设x1，x2是区间（－1，＋∞）上任意两个实数且x1f（x1）－f（x2）＝
－
＝
，
∵－10，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴
>0.即f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）．
∴y＝
在（－1，＋∞）上是减函数．
利用四步证明函数的单调性．
类型三 由函数的单调性求参数的取值范围
例3 已知函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
【解析】 ∵f（x）＝x2－2（1－a）x＋2
＝[x－（1－a）]2＋2－（1－a）2，
∴f（x）的减区间是（－∞，1－a]．
∵f（x）在（－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
故a的取值范围为（－∞，－3].
首先求出f（x）的单调减区间，求出f（x）的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．
方法归纳
“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别
单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间（－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为（－∞，4]”，则a为何值？
解析：
由例3知函数f（x）的单调递减区间为（－∞，1－a]，
∴1－a＝4，a＝－3.
求出函数的减区间，用端点值相等求出a.
[基础巩固]（25分钟，60分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等的实数a，b，总有
>0，则必有（ ）
A．函数f（x）先增后减 B．f（x）是R上的增函数
C．函数f（x）先减后增D．函数f（x）是R上的减函数
解析：
由
>0知，当a>b时，f（a）>f（b）；当a答案：
B
2．下列函数中，在（0,2）上为增函数的是（ ）
A．y＝－3x＋2B．y＝
C．y＝x2－4x＋5D．y＝3x2＋8x－10
解析：
显然A、B两项在（0,2）上为减函数，排除；对C项，函数在（－∞，2）上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在
上为增函数，所以在（0,2）上也为增函数，故选D.
答案：
D
3．在下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1f（x2）的是（ ）
A．f（x）＝x2B．f（x）＝
C．f（x）＝|x|D．f（x）＝2x＋1
解析：
因为对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1f（x2），所以函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，A，C，D在（0，＋∞）上都为增函数，B在（0，＋∞）上为减函数．
答案：
B
4．函数f（x）＝x|x－2|的增区间是（ ）
A．（－∞，1]B．[2，＋∞）
C．（－∞，1]，[2，＋∞）D．（－∞，＋∞）
解析：
f（x）＝x|x－2|＝
作出f（x）简图如下：
由图象可知f（x）的增区间是（－∞，1]，[2，＋∞）．
答案：
C
5．函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）>f（－m＋9），则实数m的取值范围是（ ）
A．（－∞，－3）
B．（0，＋∞）
C．（3，＋∞）
D．（－∞，－3）∪（3，＋∞）
解析：
因为函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）>f（－m＋9），所以2m>－m＋9，即m>3.
答案：
C
二、填空题（每小题5分，共15分）
6．函数f（x）＝－（x＋2）2＋1的单调递减区间为________．
解析：
函数f（x）＝－（x＋2）2＋1的图象开口向下，对称轴为直线x＝－2，在对称轴右侧函数单调递减，所以函数f（x）＝－（x＋2）2＋1的单调递减区间为[－2，＋∞）．
答案：
[－2，＋∞）
7．若f（x）在R上是单调递减的，且f（x－2）解析：
函数的定义域为R.由条件可知，x－2>3，解得x>5.
答案：
（5，＋∞）
8．函数y＝|x2－4x|的单调减区间为________．
解析：
画出函数y＝|x2－4x|的图象，由图象得单调减区间为：
（－∞，0]，[2,4]．
答案：
（－∞，0]，[2,4]
三、解答题（每小题10分，共20分）
9．判断并证明函数f（x）＝－
＋1在（0，＋∞）上的单调性．
解析：
函数f（x）＝－
＋1在（0，＋∞）上是增函数．证明如下：
设x1，x2是（0，＋∞）上的任意两个实数，且x1－
＝
，
由x1，x2∈（0，＋∞），得x1x2>0，
又由x1于是f（x1）－f（x2）<0，
即f（x1）∴f（x）＝－
＋1在（0，＋∞）上是增函数．
10．作出函数f（x）＝
的图象，并指出函数的单调区间．
解析：
f（x）＝
的图象如图所示．
由图象可知：
函数的单调减区间为（－∞，1]和（1,2]；单调递增区间为（2，＋∞）．
[能力提升]（20分钟，40分）
11．若函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且满足f
（1）（2）A．是增函数B．是减函数
C．先增后减D．单调性不能确定
解析：
函数单调性的定义突出了x1，x2的任意性，仅凭区间内有限个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，A，B，C错误，D正确．
答案：
D
12．如果二次函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5在区间
上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：
∵函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5的对称轴为x＝
且在区间
上是增函数，
∴
≤
，即a≤2.
答案：
（－∞，2]
13．画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
解析：
y＝
即y＝
函数的大致图象如图所示，单调增区间为（－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞）．
14．已知f（x）是定义在[－1,1]上的增函数，且f（x－2）解析：
∵f（x）是定义在[－1,1]上的增函数，
且f（x－2）∴
解得1≤x<
，
所以x的取值范围为
.
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