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第一章命题逻辑

第一章：

命题逻辑

1.1命题符号化及联结词

[教学重点]命题的概念和六个联结词的定义

[教学目的]1：

使学生了解逻辑的框架，命题逻辑的基本要素是命题。

2：

通过示例理解命题的概念。

3：

通过示例理解合取、析取、异或、蕴涵、等价的含义，了解逻辑语言的精确性，为学习逻辑学打好基础。

4：

学会命题符号化的方法。

[教学准备]

[教学方法]讲述法

[课时安排]二课时。

[教学过程]

讲述：

逻辑是解决推理方法的学科，中心是推理，基本要素是命题，称为命题逻辑。

数理逻辑则是用数学方法研究推理；

首先要理解命题是什么，然后了解怎样用数学方法描述命题，甚至逻辑推理。

后者是命题符号化的问题。

板书：

第一章命题基本概念

1.1命题及其符号化

讲述：

首先讨论命题。

板书：

一命题

A）概念：

能判断真假的陈述句。

判断要点：

a陈述句；b或真或假，唯一真值；

讲述：

例：

（1）地球是圆的；真的陈述句，是命题

（2）2+3=5；真的陈述句，是命题

（3）你知道命题逻辑吗？

非陈述句，故非命题

（4）3-x=5；陈述句,但真假随x的变化而变化，非命题

（5）请安静！

非陈述句，故非命题

（6）火星表面的温度是800︒C；现时不知真假的陈述句，但只能要么真要

么假，故是命题

（7）明天是晴天；尽管要到第二天才能得知其真假，但的确

是要么真要么假，故是命题

（8）我正在说谎；无法得知其真假，这是悖论

注意到（4）不是命题，后续章节中会提到，这被称为谓词，命题函数或命题变项。

板书：

B）命题的真值表示：

真：

1或T

假：

0或F

C）分类：

a简单命题，通常用p,q,r,…,等表示命题变项和命题常项；

b复合命题，由简单命题和联结词构成；

讲述：

简单命题可以简单地用单个字母表示，但复合命题还包含了联结词，多个命题变项由联结词联结起来成为复合命题。

所以还需要考虑联结词的问题。

板书：

二逻辑联结词

讲述：

首先最为简单的一种情况，就是日常语言中所说的“不”，这是对原有意思的的否定，所以称为否定式

板书：

1）否定式和否定联结词：

命题p的非或否定，称为p的否定式，表示为⌝p；符号⌝即为否定联结词。

用表格表示：

⌝p

讲述：

严格说，

不是复合命题。

示例：

p：

今天天气好；⌝p：

今天天气不好

p：

2＋5>1；⌝p：

2+5≤1；在此情形下，p为真，⌝p为假。

讲述：

问题：

北京和上海都是中国的直辖市。

显然这个句子可分成两个句子，中间由“和”、“且”之类的联结词联结。

这类的联结词我们统称为“合取”。

板书：

2）合取式和合取联结词

且

称为

的合取式，记为

；符号∧即为合取联结词。

p∧q

逻辑“与”。

讲述：

相应的日常用语还有一些。

板书：

“既…又…”，“不但（仅）…而且…”，“虽然…但是…”。

讲述：

例：

1）p:

今天大太阳，q:

今天热，p∧q:

今天大太阳且热；

2）p:

今天上课有人迟到，q:

2+5>1,p∧q:

今天上课有人迟到且2+5>1；

3）p:

李平聪明，q:

李平用功，p∧⌝q:

李平虽然聪明，但不用功；

讲述：

注意到2）中的结果，我们可以用逻辑联结词来联结两个日常生活中无关的命题。

另外也要注意日常语言中的“和”，不一定都能用∧表示。

示例：

“新闻和报纸不分家”，“我和你是同学”。

讲述：

“或”也是非常常用的联结词。

例：

（1）文文或华华今天出差。

（2）他今天骑车或走路来上课。

讲述：

（1）一般情况下两个人可能同时去出差，即可以同时为真，是相容的，所以是“相容或”。

板书：

相容或

讲述：

（2）在这两种情况下，或者发生一种，或者都不发生（如他今天是乘公共车来上课的），但不可能二者同时发生，即不可能二者同时为真，所以是“相斥或”。

在自然语言中类似的“相斥或”是很多的，又如“刘苘或李兰是三班班长”。

板书：

相斥或

我们可以看到在日常语言中，“或”具有多义性，但我们用符号表示时，却必须避免这种歧义性。

通常把相容或称为“析取”，而相斥或则称为“异或”。

板书：

3）析取式和析取联结词

p或者q称为p，q的析取式，记为p∨q；符号∨即为析取联结词。

p∨q

逻辑“或”

讲述：

“如果…则…”也是一类常见的联结词。

这是有条件和结论的一类，称为“条件式”，也称为“蕴涵式”。

板书：

4）蕴涵式和蕴涵联结词

如果

则

称作

、

的蕴涵式，记为

。

→为蕴涵联结词，

、

分别为蕴涵式的前件和后件。

讲述：

示例:

一位父亲对儿子说：

“如果星期天天气好，就一定带你去动物园。

”问：

在什么情况下父亲食言？

父亲的可能情况有如下四种：

（1）星期天天气好，带儿子去了动物园；

（2）星期天天气好，却没带儿子去动物园；

（3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园；

（4）星期天天气不好，也没带儿子去动物园。

显然，

（1）,（4）两种情况父亲都没有食言；（3）这种情况和父亲原来的话没有相抵触的地方，当然也不算食言；只有

（2）这种情况，答应的事却没有做，应该算是食言了。

（2）对应着“前件真后件假”的情况，使得蕴涵式为假，而其它三种情况都使得蕴涵式为真。

板书：

p→q

讲述：

这里注意到：

在蕴涵式p→q中，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

这类的联结词还有：

板书：

p→q：

“只要p就q”，“p仅当q”，“只有q才p”等

讲述：

蕴涵式的一个应用：

数学归纳法

（1）证明P（n0）成立；

（2）证明当k≥n0时P（k）→P（k+1）总是成立。

在

（2）中，P（k）→P（k+1）总是成立，意味着P（k）→P（k+1）的真值为T，从而只可能是上述表中的第1,2,4种情形，而

（1）中证明了前件为真，所以后件也一定为真。

讲述：

前面讲述描述了充分条件或必要条件的表示，现在我们可以表示充要条件了：

“p是q的充要条件”，“p是q的充分条件”且“p是q的必要条件”，可以用蕴涵和合取两者描述。

板书：

p→q∧q→p

讲述：

这个表达式较为复杂，所以用一个联结词“等价”简单表示。

自然语言中通常表述为“当且仅当”

板书：

5）等价式和等价联结词

当且仅当

称作

、

的等价式，记为

。

↔称为等价联结词。

讲述：

以上介绍了五种常用的逻辑联结词以及与之相关的复合命题。

这些联结词反映了复合命题及其支命题之间抽象的逻辑关系。

复合命题的符号化一般可以根据上述定义进行，基本步骤如下：

板书：

符号化基本步骤：

1）找出各个支命题，并逐个符号化；

2）找出各个连接词，符号成相应联结词；

3）用联结词将各支命题逐个联结起来；

示例：

将下列命题符号化：

（1）辱骂和恐吓决不是战斗；

（2）李瑞和李珊是姐妹；

（3）除非天气好，否则我是不会去公园的；

（5）李明是计算机系的学生，他住在312室或313室．

讲述：

分析并符号化，强调在进行命题符号化以前，必须明确含义，删除歧义，这是命题翻译的关键之点。

（1）p：

辱骂是战斗；

q：

恐吓是战斗。

符号化为⌝p∧⌝q。

（2）p：

李瑞和李珊是姐妹。

符号化为p。

（3）p：

今天天气好；

q：

我去公园。

符号化为q→p。

（4）p：

李明是计算机系的学生；

q：

李明住在312室；

r：

李明住在313室。

因为李明不可能既住在312室又住在313室，符号化为p∧（（q∧⌝r）∨（⌝q∧r））或者p∧（q∨r）

讲述：

最后，复习一下本节所讲述的内容。

作业：

1.2命题公式和真值赋值

[教学重点]合式公式及层次，解释的含义，真值表的构成。

[教学目的]1：

使学生了解合式公式和公式层次的定义，理解递归定义法的方法。

2：

学会描述公式的形成过程。

3：

理解解释的含义，领会公式分类的要点。

4：

使学生了解并学会应用真值表的构成方法。

5：

复习并进一步理解命题逻辑的基本概念。

[教学准备]

[教学方法]讲述法

[课时安排]二课时。

[教学过程]

讲述：

复习并示例：

判断是否式命题，如果是，则符号化。

1）922+97+1；

2）x+5>6

3）理发师只给所有那些不给自己理发的人理发；（罗素悖论）

4）李兰现在在宿舍或在图书馆里；

5）蓝色和黄色可以调配成绿色；

6）如果晚上小王做完了做业并且没有其他事情，他就看电视或看电影。

问题：

在6）中获得一个长串的字符串，这里当然表示了一个命题，但是不是任何一个字符串能表示一个命题呢？

或者称为命题公式呢？

抽象地说，命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串，但并不是由这些符号任意组成的符号串都是命题公式。

板书

1.2合式公式及其解释

讲述：

首先自然先要了解什么公式。

板书：

一合式公式

1）合式公式：

（1）p,q,r,…,1,0是合式公式；

（2）如果A是合式公式，则⌝A也是；

（3）如果A和B是合式公式，则⌝p、p∧q、p∨q、p→q、p↔q也是；

（4）有限次应用

（1）-（3）构成的符号串才是合式公式。

讲述：

上述定义方法称为递归定义法（递归就是一个过程直接或间接地调用自己），递归法定义是离散数学中常用的方法。

其中，

（1）是递归定义的基础，直接规定简单的内容；

（2）,（3）是递归定义的归纳，规定了是由简单到复杂的过程；（4）是递归定义的界限，规定了满足前述

（1）~（3）条件的最小范围。

（递归算法在计算机中容易实现，如C语言中的汉诺塔、n的阶乘、求两个数的最小公约数就是用递归的方法实现的）

板书：

递归定义法：

递归基础、递归归纳、递归界限

讲述

在一个复杂的公式中，为了避免歧义需要引进许多的括号，但如果括号太多会使人眼花缭乱，如（（p∧（q∨r））→（（p∨q）∧（r∨s））），共有6对括号，书写简单，可以省略括号

板书：

省略括号的约定：

（1）公式最外层的括号可以省略；

（2）规定联结词的运算优先级别由高到低是：

⌝、∧、∨、→、↔，若无括号，优先级高的先运算；

（3）若同一个联结词连续多次出现且无括号，则按从左到右的顺序运算。

讲述：

按照上述约定，（（p∧（q∨r））→（（p∨q）∧（r∨s）））省略了三对括号简化为p∧（q∨r）→（p∨q）∧（r∨s）。

省略括号只是让公式书写简便，但并不能改变其复杂性。

示例

（1）（（（p→q）∧（q→r））→（p∨r））

p、q是公式，（p→q）是公式；q、r是公式，（q→r）是公式；（（p→q）∧（q→r））是公式；p、r是公式，（p∨r）是公式；（（（p→q）∧（q→r））→（p∨r））是公式。

这样一个命题公式的形成过程简单表述为：

p，q，（p→q）；q，r，（q→r）；（（p→q）∧（q→r））；p，r，（p∨r）；（（（p→q）∧（q→r））→（p∨r））。

（2）（（p∧q）→qr）

p，q，（p∧q）；q，r，qr不是；（（p∧q）→qr）不是。

讲述：

显然，有些公式的字符串很长，有些很短，甚至只有单个字母，这样公式的复杂性必然有所不同，为了描述这种复杂性，引入公式层次来描述。

板书：

二合式公式的层次：

（1）如果A是单个命题常项或命题变项p,q,r,s,…,0,1，则称A是0层公式；

（2）称A是n+1（n≥0）层公式，是指A符合下列情况之一：

（a）A=⌝B，B是n层公式；

（b）A=（B∧C），其中B、C分别是i层和j层公式，且n=max（i,j）；

（c）A=（B∨C），其中B、C的层次同（b）；

（d）A=（B→C），其中B、C的层次同（b）；

（e）A=（B↔C），其中B、C的层次同（b）；

示例：

（1）（p→q）∨（r∧（p∨s））

（2）⌝q⌝（p∨s）

（1）p,s是0层公式，p∨s是1层公式;r是0层公式,r∧（p∨s）是2层公式；p,q是0层公式，但p→q是1层公式；（p→q）∨（r∧（p∨s））是3层公式。

公式层次是3。

（2）q是0层公式,⌝q是1层公式；p,s是0层公式，p∨s是1层公式;⌝（p∨s）是2层公式；但⌝q⌝（p∨s）不是公式。

讲述：

一般来说，一个含有命题变项的命题公式，其真值是不确定的。

只有给其每个命题变项都指定确定的真值，命题公式才会有确定的真值。

给定一个真值，就是给命题变项一个赋值，相当于给定一个日常语言中某个具体的句子，即给定一个解释。

板书：

三真值赋值

令A是一命题公式，p1,p2,…pn是出现在A中的所有命题变项，给p1,p2,…pn指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。

成真赋值：

若指定的一组值使得A的值为真，称这组值为A的成真赋值；

成假赋值：

若指定的一组值使得A的值为假，称这组值为A的成假赋值。

一个含有n个命题变项的命题公式，共有2n个赋值。

示例

例已知A是含命题变项p,q,r的命题公式，其成真赋值为000,010,101，求⌝A的成真赋值和成假赋值。

⌝A的成真赋值为：

001,011,100,110,111；成假赋值为：

000,010,101。

例已知A、B是含命题变项p,q,r的命题公式，A成真赋值为000,011,111，B成真赋值为000,010,100，求A→B、A↔B的成真赋值。

A→B：

000,001,010,100,101,110,111

A↔B：

000,001,101,110

讲述：

上面是用具体的真值来指定，如果用另外的命题公式来指定，这时再不能称为赋值了，这称为替换。

板书：

替换实例：

用命题形式B1,B2,…Bn分别替换命题形式A中的命题变项p1,p2,…pn得到的新的命题形式。

示例：

例如，p→（⌝p→q），以p→q替换p，以r替换q，则得到原式的一个替换实例为（p→q）→（⌝（p→q）→r）。

讲述：

我们知道一个公式有多个赋值，一般来说既有成真赋值，又有成假赋值，但完全可能只有成真赋值，或全是成假赋值，

根据这种不同，我们将公式分成不同类型。

板书：

命题公式的分类：

重言式：

值总是为真的命题公式。

讲述：

如果一个蕴涵式A→B是重言式，则记作A⇒B，表示由A可推导出B；同样如果一个等价式A↔B是重言式，则记作A⇔B，表示A和B等值。

注意：

⇒和⇔不是逻辑联结词，它们表示的分别是逻辑推理和逻辑等值运算，下面的章节将分别讨论。

板书：

矛盾式：

值总是为假的命题公式。

可满足式：

至少存在一组赋值是成真赋值的命题公式。

讲述：

从定义看来，重言式也是可满足式，不过还是将命题公式分成三类：

重言式、矛盾式、可满足式。

这种分类主要是为了体现重言式的重要性，实际上在命题逻辑中公理、定理都是重言式，在自然推理的过程中，一个正确的推理也必须是重言式。

板书：

设A是命题公式，则

（1）若A是重言式，则A的任何替换实例都是重言式；

（2）若A是矛盾式，则A的任何替换实例都是矛盾式；

示例：

例合式公式（p∧q）∨⌝（p∧q）、（p∧q→r）∨⌝（p∧q→r）都是p∨⌝p的一个替换实例，而p∨⌝p是重言式，所以它们也是重言式。

板书：

四真值表

1）定义：

将命题公式A在所有赋值之下取值的情况列成表，称为A的真值表

讲述：

所有命题变项取一组值，即是命题公式的一个赋值，所以真值表包含了所有赋值情况下的公式所取得的值。

而一个赋值使得公式为真，就称为成真赋值，为假就是成假赋值，所以从真值表可以直接获得一个命题公式的成真赋值、成假赋值。

板书：

2）构造方法：

找出给定命题公式中的所有命题变项，列出所有可能的取值：

由低到高列出命题公式的各层次；

计算各层次的的值，直至最后计算命题公式的值。

示例

例1.16构造合式公式（p∨（p∧q））→⌝（p∨q）的真值表：

真值表：

p∧q

p∨（p∧q）

p∨q

⌝（p∨q）

（p∨（p∧q））→⌝（p∨q）

讲述：

上述真值表的构成方法中，如果公式层次比较高，则表的宽度将变得很宽，甚至无法写下，因此可采用另一种形式，

板书：

按照公式形成过程，标出各层对应的联结词所对应的真值；

直至最后计算命题公式的值。

示例：

（p

∨

（p∧q））

→

⌝

（p∨q）

步骤

②

①

③

②

①

讲述：

最后，复习一下本节所讲述的内容。

作业：

1.3等值演算&1.4联结词全功能集

[教学重点]等值关系及演算的规则

[教学目的]1：

使学生了解等值演算是逻辑理论的一个基本内容。

2：

理解等值关系的含义，并理解等值式模式及其重要性。

3：

理解并熟记等值演算的规则

4：

理解全功能集的含义并应用。

[教学准备]

[教学方法]讲述法

[课时安排]二课时

[教学过程]

讲述：

前面已经提到，等价式A↔B为重言式，记为A⇔B，称为等值关系。

并提到这是逻辑理论的一个基本内容。

本节将主要讨论等值关系的有关内容，阐述等值演算的各种规则，然后再谈谈联结词的有关问题。

板书：

1.3等值演算

讲述：

给定n个命题变项，按合式公式的形成规则可以形成无数多个命题公式。

但这些无穷尽的命题公式中，有些具有相同的真值表。

例如：

n=2时，p→q与⌝p∨q的真值表相同。

事实上，对于n个命题变项，可能的赋值有2n个。

对于每个赋值，真值函数的取值又有真、假两种可能。

因此，对于n个命题变项来说，只能生成

个真值不同的命题公式。

板书：

真值函数：

一个n元真值函数是指一个n（n≥1）维卡氏积{0，1}n到{0，1}的函数，记为F：

{0，1}n→{0，1}，（n≥1），即此函数以n个命题变项为变元，其定义域和值域均由真、假两值构成。

示例：

n=1,有四个一元真值函数,n=2时有16个，如下图：

A10

A11

A12

A13

A14

A15

讲述：

A13可取的命题公式有p→q、⌝p∨q、⌝（p∧⌝q）等，它们的真值相同，我们说这些公式是等值的。

一等值关系

1概念：

设A、B为两命题公式，若等价式A↔B为重言式，记为A⇔B。

例如：

p→q⇔⌝p∨q⇔⌝（p∧⌝q）

讲述：

两个命题公式是否等值可以通过真值表来判断或验证。

下面给出一些常用的等值式，其中很多正是通常所说的的布尔代数或逻辑代数的主要组成部分。

板书：

2各种等值关系模式：

（只列出部分）

（1）双重否定律：

A⇔⌝⌝A

（2）等幂律：

（2a）A⇔（A∧A）（2b）A⇔（A∨A）

（3）交换律：

（3a）（A∧B）⇔（B∧A）（3b）（A∨B）⇔（B∨A）

（4）结合律：

（4a）（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）（4b）（A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）

（5）分配律：

（5a）A∨（B∧C）⇔（A∨B）∧（A∨C）（5b）A∧（B∨C）⇔（A∧B）∨（A∧C）

（6）德∙摩根律：

（6a）⌝（A∧B）⇔（⌝B∨⌝A）（6b）⌝（A∨B）⇔（⌝B∧⌝A）

（7）吸收律：

（7a）（A∨（A∧B））⇔A（7b）（A∧（A∨B））⇔A

（7c）（A∨（⌝A∧B））⇔A∨B（7d）（A∧（⌝A∨B））⇔A∧B

（8）零律：

（8a）（A∨1）⇔1（8b）（A∧0）⇔0

（9）同一律：

（9a）（A∨0）⇔A（9b）（A∧1）⇔A

（10）排中律：

（A∨⌝A）⇔1

（11）矛盾式：

（A∧⌝A）⇔0

（12）蕴涵等值式：

（A→B）⇔（⌝A∨B）

（13）等价等值式：

（A↔B）⇔（（A→B）∧（B→A））

（14）假言易位：

（A↔B）⇔（⌝B→⌝A）

（15）等价否定等值式：

（A↔B）⇔（⌝A↔⌝B）

（16）归谬律：

（（A→B）∧（A→⌝B））⇔⌝A

讲述：

根据已知的等值式，可以推演出另外许多的等值式，这种推演过程称为等值演算。

板书：

3等值演算

讲述：

在等值演算时，除了要用到上面给出的等值式外，通常还用到一些重要的演算规则

板书：

（1）等值式模式

（2）重言式替换规则

（3）置换规则

置换规则：

设Φ（A）是含有命题公式A的命题公式，Φ（B）是用公式B置换Φ中的公式A（不一定是每一处）而得到的命题公式，如果A⇔B，则Φ（A）⇔Φ（B）。

示例等值演算

例证明A→B∨C⇔A∧⌝B→C

讲述：

证明的方法当然可以用真值表方法，但是直接应用等值式及替换和置换规则通常会简单的多。

证明：

A→B∨C⇔⌝A∨（B∨C）蕴涵等值式

⇔（⌝A∨B）∨C结合律

⇔⌝（A∧⌝B）∨C德∙摩根律

⇔（A∧⌝B）→C置换规则和蕴涵等值式

逻辑等值演算不仅仅停留在符号级，总要用来解决实际问题，如简化语句，确定一些命题的真值等等，可以首先符号化命题，然后由已知条件列出这些命题应该满足的方程组，从而达到要求。

例化简语句：

“情况并非如此：

如果他不来，那么我也不去”。

解：

设p:

他来，q：

我去；上述语句符号化为

⌝

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