第一章命题逻辑.docx

1、第一章命题逻辑第一章：命题逻辑1.1 命题符号化及联结词 教学重点 命题的概念和六个联结词的定义 教学目的1：使学生了解逻辑的框架，命题逻辑的基本要素是命题。 2：通过示例理解命题的概念。 3：通过示例理解合取、析取、异或、蕴涵、等价的含义，了解逻辑语言的精确性，为学习逻辑学打好基础。 4：学会命题符号化的方法。 教学准备 教学方法讲述法 课时安排二课时。 教学过程讲述：逻辑是解决推理方法的学科，中心是推理，基本要素是命题，称为命题逻辑。数理逻辑则是用数学方法研究推理； 首先要理解命题是什么，然后了解怎样用数学方法描述命题，甚至逻辑推理。后者是命题符号化的问题。板书：第一章 命题基本概念1.1

2、 命题及其符号化讲述： 首先讨论命题。板书：一 命题A) 概念：能判断真假的陈述句。判断要点：a 陈述句；b 或真或假，唯一真值；讲述：例：(1) 地球是圆的； 真的陈述句，是命题(2) 2+3=5； 真的陈述句，是命题(3) 你知道命题逻辑吗？ 非陈述句，故非命题(4) 3-x=5； 陈述句,但真假随x的变化而变化，非命题(5) 请安静！ 非陈述句，故非命题(6) 火星表面的温度是800C； 现时不知真假的陈述句，但只能要么真要 么假，故是命题(7) 明天是晴天； 尽管要到第二天才能得知其真假，但的确 是要么真要么假，故是命题 (8) 我正在说谎； 无法得知其真假，这是悖论注意到(4)不是命

3、题，后续章节中会提到，这被称为谓词，命题函数或命题变项。板书：B) 命题的真值表示： 真：1或T假：0或FC) 分类：a 简单命题，通常用p,q,r,等表示命题变项和命题常项； b 复合命题，由简单命题和联结词构成；讲述： 简单命题可以简单地用单个字母表示，但复合命题还包含了联结词，多个命题变项由联结词联结起来成为复合命题。所以还需要考虑联结词的问题。板书：二 逻辑联结词讲述： 首先最为简单的一种情况，就是日常语言中所说的“不”，这是对原有意思的的否定，所以称为否定式板书：1) 否定式和否定联结词：命题p的非或否定，称为p的否定式，表示为p；符号即为否定联结词。用表格表示：ppTFFT讲述：严

4、格说，不是复合命题。示例：p：今天天气好；p：今天天气不好p：25 1； p： 2+51；在此情形下，p为真，p为假。讲述： 问题：北京和上海都是中国的直辖市。显然这个句子可分成两个句子，中间由“和”、“且”之类的联结词联结。这类的联结词我们统称为“合取”。板书： 2）合取式和合取联结词 且称为的合取式，记为；符号即为合取联结词。pqpqTTTTFFFTFFFF逻辑“与”。讲述： 相应的日常用语还有一些。板书：“既又”，“不但(仅)而且”，“虽然但是”。讲述：例： 1) p: 今天大太阳，q: 今天热，pq: 今天大太阳且热； 2) p: 今天上课有人迟到，q:2+51, pq: 今天上课有人

5、迟到且2+51； 3)p: 李平聪明，q: 李平用功，pq: 李平虽然聪明，但不用功；讲述：注意到2)中的结果，我们可以用逻辑联结词来联结两个日常生活中无关的命题。另外也要注意日常语言中的“和”，不一定都能用表示。示例：“新闻和报纸不分家”，“我和你是同学”。讲述： “或”也是非常常用的联结词。例：(1) 文文或华华今天出差。(2) 他今天骑车或走路来上课。讲述：(1)一般情况下两个人可能同时去出差，即可以同时为真，是相容的，所以是“相容或”。板书： 相容或讲述：(2)在这两种情况下，或者发生一种，或者都不发生(如他今天是乘公共车来上课的)，但不可能二者同时发生，即不可能二者同时为真，所以是“

6、相斥或”。在自然语言中类似的“相斥或”是很多的，又如“刘苘或李兰是三班班长”。板书： 相斥或 我们可以看到在日常语言中，“或”具有多义性，但我们用符号表示时，却必须避免这种歧义性。通常把相容或称为“析取”，而相斥或则称为“异或”。板书： 3）析取式和析取联结词 p或者q称为p，q的析取式，记为pq；符号即为析取联结词。pqpqTTTTFTFTTFFF逻辑“或”讲述： “如果则”也是一类常见的联结词。这是有条件和结论的一类，称为“条件式”，也称为“蕴涵式”。板书： 4）蕴涵式和蕴涵联结词 如果则称作、的蕴涵式，记为。为蕴涵联结词，、分别为蕴涵式的前件和后件。讲述：示例:一位父亲对儿子说：“如果星

7、期天天气好，就一定带你去动物园。”问：在什么情况下父亲食言？父亲的可能情况有如下四种：(1) 星期天天气好，带儿子去了动物园；(2) 星期天天气好，却没带儿子去动物园；(3) 星期天天气不好，却带儿子去了动物园；(4) 星期天天气不好，也没带儿子去动物园。显然，(1), (4)两种情况父亲都没有食言；(3)这种情况和父亲原来的话没有相抵触的地方，当然也不算食言；只有(2)这种情况，答应的事却没有做，应该算是食言了。(2)对应着“前件真后件假”的情况，使得蕴涵式为假，而其它三种情况都使得蕴涵式为真。板书：pqpqTTTTFFFTTFFT讲述：这里注意到：在蕴涵式pq中，p是q的充分条件，q是p的

8、必要条件。这类的联结词还有：板书：pq：“只要p就q”，“p仅当q”，“只有q才p”等讲述：蕴涵式的一个应用：数学归纳法(1)证明P(n0)成立；(2)证明当kn0时P(k)P(k+1)总是成立。在(2)中，P(k)P(k+1)总是成立，意味着P(k)P(k+1)的真值为T，从而只可能是上述表中的第1, 2, 4种情形，而(1)中证明了前件为真，所以后件也一定为真。讲述： 前面讲述描述了充分条件或必要条件的表示，现在我们可以表示充要条件了： “p是q的充要条件”，“p是q的充分条件”且“p是q的必要条件”，可以用蕴涵和合取两者描述。板书：pqqp讲述：这个表达式较为复杂，所以用一个联结词“等价

9、”简单表示。自然语言中通常表述为“当且仅当”板书： 5）等价式和等价联结词 当且仅当称作、的等价式，记为。称为等价联结词。 TTTTFFFTFFFT讲述：以上介绍了五种常用的逻辑联结词以及与之相关的复合命题。这些联结词反映了复合命题及其支命题之间抽象的逻辑关系。复合命题的符号化一般可以根据上述定义进行，基本步骤如下：板书： 符号化基本步骤：1) 找出各个支命题，并逐个符号化；2) 找出各个连接词，符号成相应联结词；3) 用联结词将各支命题逐个联结起来；示例：将下列命题符号化： (1) 辱骂和恐吓决不是战斗；(2) 李瑞和李珊是姐妹； (3) 除非天气好，否则我是不会去公园的；(5) 李明是计算

10、机系的学生，他住在312室或313室讲述： 分析并符号化，强调在进行命题符号化以前，必须明确含义，删除歧义，这是命题翻译的关键之点。(1) p：辱骂是战斗；q：恐吓是战斗。符号化为pq。(2) p：李瑞和李珊是姐妹。符号化为p。(3) p：今天天气好；q：我去公园。符号化为qp。(4) p：李明是计算机系的学生；q：李明住在312室；r：李明住在313室。 因为李明不可能既住在312室又住在313室，符号化为p(qr) (qr)或者p(q r) 讲述：最后，复习一下本节所讲述的内容。作业：1.2 命题公式和真值赋值 教学重点 合式公式及层次，解释的含义，真值表的构成。 教学目的1：使学生了解合

11、式公式和公式层次的定义，理解递归定义法的方法。 2：学会描述公式的形成过程。 3：理解解释的含义，领会公式分类的要点。4：使学生了解并学会应用真值表的构成方法。 5：复习并进一步理解命题逻辑的基本概念。 教学准备 教学方法讲述法 课时安排二课时。 教学过程讲述： 复习并示例：判断是否式命题，如果是，则符号化。1) 922+97+1；2) x + 5 63) 理发师只给所有那些不给自己理发的人理发；（罗素悖论） 4) 李兰现在在宿舍或在图书馆里； 5) 蓝色和黄色可以调配成绿色；6) 如果晚上小王做完了做业并且没有其他事情，他就看电视或看电影。问题： 在6)中获得一个长串的字符串，这里当然表示了

12、一个命题，但是不是任何一个字符串能表示一个命题呢？或者称为命题公式呢？抽象地说，命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串，但并不是由这些符号任意组成的符号串都是命题公式。板书 1.2合式公式及其解释讲述： 首先自然先要了解什么公式。板书：一 合式公式1) 合式公式：(1) p, q, r, ,1 , 0 是合式公式；(2) 如果A是合式公式，则A也是；(3) 如果A和B是合式公式，则p、p q、p q、p q、p q也是；(4) 有限次应用(1)-(3)构成的符号串才是合式公式。讲述： 上述定义方法称为递归定义法（递归就是一个过程直接或间接地调用自己），递归法定义是离散数学中

13、常用的方法。其中，（1）是递归定义的基础，直接规定简单的内容；（2）, （3）是递归定义的归纳，规定了是由简单到复杂的过程；（4）是递归定义的界限，规定了满足前述（1）（3）条件的最小范围。（递归算法在计算机中容易实现，如C语言中的汉诺塔、n的阶乘、求两个数的最小公约数就是用递归的方法实现的）板书：递归定义法：递归基础、递归归纳、递归界限讲述在一个复杂的公式中，为了避免歧义需要引进许多的括号，但如果括号太多会使人眼花缭乱，如(p(qr)(pq)(rs)，共有6对括号，书写简单，可以省略括号板书：省略括号的约定：(1) 公式最外层的括号可以省略；(2) 规定联结词的运算优先级别由高到低是：、，若

14、无括号，优先级高的先运算；(3) 若同一个联结词连续多次出现且无括号，则按从左到右的顺序运算。讲述：按照上述约定，(p(qr)(pq)(rs)省略了三对括号简化为p(qr) (pq)(rs)。省略括号只是让公式书写简便，但并不能改变其复杂性。示例(1) (pq)(qr) (pr) p、q是公式，(pq)是公式；q、r是公式，(qr)是公式；(pq)(qr)是公式；p、r是公式，(pr )是公式；(pq)(qr) (pr)是公式。这样一个命题公式的形成过程简单表述为： p，q，(pq)；q，r，(qr)；(pq)(qr)；p，r，(pr)；(pq)(qr) (pr)。 (2) (pq)qr) p

15、，q，(pq)；q，r，qr不是；(pq)qr)不是。讲述： 显然，有些公式的字符串很长，有些很短，甚至只有单个字母，这样公式的复杂性必然有所不同，为了描述这种复杂性，引入公式层次来描述。板书：二 合式公式的层次：(1) 如果A是单个命题常项或命题变项p,q,r,s,0,1，则称A是0层公式；(2) 称A是n+1(n0)层公式，是指A符合下列情况之一： (a) A=B，B是n层公式； (b) A=(BC)，其中B、C分别是i层和j层公式，且n=max(i,j)； (c) A=(BC)，其中B、C的层次同(b)； (d) A=(BC) ，其中B、C的层次同(b)； (e) A=(BC)，其中B、

16、C的层次同(b)；示例：(1) (pq)(r(ps) (2) q(ps)(1) p, s是0层公式，ps是1层公式; r是0层公式, r(ps)是2层公式；p,q是0层公式，但pq是1层公式；(pq)(r(ps) 是3层公式。公式层次是3。(2) q是0层公式, q是1层公式；p, s是0层公式，ps是1层公式; (ps) 是2层公式；但q(ps)不是公式。讲述： 一般来说，一个含有命题变项的命题公式，其真值是不确定的。只有给其每个命题变项都指定确定的真值，命题公式才会有确定的真值。 给定一个真值，就是给命题变项一个赋值，相当于给定一个日常语言中某个具体的句子，即给定一个解释。板书：三 真值赋

17、值 令A是一命题公式，p1,p2,pn是出现在A中的所有命题变项，给p1,p2,pn指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。成真赋值：若指定的一组值使得A的值为真，称这组值为A的成真赋值；成假赋值：若指定的一组值使得A的值为假，称这组值为A的成假赋值。一个含有n个命题变项的命题公式，共有2n个赋值。示例例 已知A是含命题变项p,q,r的命题公式，其成真赋值为000,010,101，求A的成真赋值和成假赋值。A的成真赋值为：001,011,100,110,111；成假赋值为：000,010,101。例 已知A、B是含命题变项p,q,r的命题公式，A成真赋值为000, 011, 111，B成真赋值

18、为000, 010, 100，求AB、AB的成真赋值。AB：000,001,010, 100,101,110,111AB：000,001,101,110讲述： 上面是用具体的真值来指定，如果用另外的命题公式来指定，这时再不能称为赋值了，这称为替换。板书：替换实例：用命题形式B1,B2,Bn分别替换命题形式A中的命题变项p1, p2,pn得到的新的命题形式。示例：例如，p(pq)，以pq替换p，以r替换q，则得到原式的一个替换实例为(pq)( (pq )r)。讲述：我们知道一个公式有多个赋值，一般来说既有成真赋值，又有成假赋值，但完全可能只有成真赋值，或全是成假赋值，根据这种不同，我们将公式分成

19、不同类型。板书：命题公式的分类： 重言式：值总是为真的命题公式。讲述： 如果一个蕴涵式AB是重言式，则记作AB，表示由A可推导出B；同样如果一个等价式AB是重言式，则记作AB，表示A和B等值。 注意：和不是逻辑联结词，它们表示的分别是逻辑推理和逻辑等值运算，下面的章节将分别讨论。板书：矛盾式：值总是为假的命题公式。可满足式：至少存在一组赋值是成真赋值的命题公式。讲述：从定义看来，重言式也是可满足式，不过还是将命题公式分成三类：重言式、矛盾式、可满足式。这种分类主要是为了体现重言式的重要性，实际上在命题逻辑中公理、定理都是重言式，在自然推理的过程中，一个正确的推理也必须是重言式。板书：设A是命题

20、公式，则 (1) 若A是重言式，则A的任何替换实例都是重言式； (2) 若A是矛盾式，则A的任何替换实例都是矛盾式；示例： 例 合式公式(pq)(pq)、(pqr)(pqr)都是pp的一个替换实例，而pp是重言式，所以它们也是重言式。板书：四 真值表1) 定义：将命题公式A在所有赋值之下取值的情况列成表，称为A的真值表讲述：所有命题变项取一组值，即是命题公式的一个赋值，所以真值表包含了所有赋值情况下的公式所取得的值。而一个赋值使得公式为真，就称为成真赋值，为假就是成假赋值，所以从真值表可以直接获得一个命题公式的成真赋值、成假赋值。板书：2) 构造方法：找出给定命题公式中的所有命题变项，列出所有

21、可能的取值：prqTTTTTTTFFFFFFF由低到高列出命题公式的各层次；计算各层次的的值，直至最后计算命题公式的值。示例例 1.16 构造合式公式(p (pq) (pq)的真值表：真值表：p qpqp (pq)pq(pq)(p(pq) (pq)0 0000110 1001011 0011001 111100讲述：上述真值表的构成方法中，如果公式层次比较高，则表的宽度将变得很宽，甚至无法写下，因此可采用另一种形式，板书：按照公式形成过程，标出各层对应的联结词所对应的真值；直至最后计算命题公式的值。示例：p q(p(pq)(pq)0 0001100 1001011 0100011 111001

22、步骤讲述：最后，复习一下本节所讲述的内容。作业： 1.3等值演算&1.4联结词全功能集 教学重点 等值关系及演算的规则 教学目的1：使学生了解等值演算是逻辑理论的一个基本内容。 2：理解等值关系的含义，并理解等值式模式及其重要性。 3：理解并熟记等值演算的规则 4：理解全功能集的含义并应用。 教学准备 教学方法讲述法 课时安排二课时 教学过程讲述： 前面已经提到，等价式AB为重言式，记为AB，称为等值关系。并提到这是逻辑理论的一个基本内容。 本节将主要讨论等值关系的有关内容，阐述等值演算的各种规则，然后再谈谈联结词的有关问题。板书：1.3等值演算讲述：给定n个命题变项，按合式公式的形成规则可以

23、形成无数多个命题公式。但这些无穷尽的命题公式中，有些具有相同的真值表。例如：n=2时，pq 与pq的真值表相同。事实上，对于n个命题变项，可能的赋值有2n个。对于每个赋值，真值函数的取值又有真、假两种可能。因此，对于n个命题变项来说，只能生成个真值不同的命题公式。板书：真值函数：一个n元真值函数是指一个n（n1）维卡氏积0，1n 到0，1的函数，记为F：0，1n0，1，(n1)，即此函数以n个命题变项为变元，其定义域和值域均由真、假两值构成。示例：n=1,有四个一元真值函数, n=2时有16个，如下图：p qA0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A150 000

24、000000111111110 100001111000011111 000110011001100111 10101010101010101讲述：A13可取的命题公式有 pq 、pq、(pq)等，它们的真值相同，我们说这些公式是等值的。一 等值关系1 概念： 设A、B为两命题公式，若等价式AB为重言式，记为AB。 例如：pq pq(pq)讲述：两个命题公式是否等值可以通过真值表来判断或验证。下面给出一些常用的等值式，其中很多正是通常所说的的布尔代数或逻辑代数的主要组成部分。板书：2各种等值关系模式：（只列出部分）(1) 双重否定律：A A(2) 等幂律： (2a) A (AA) (2b) A

25、 (AA)(3) 交换律： (3a) (AB) (BA) (3b) (AB)(BA)(4) 结合律： (4a) (AB)CA(BC) (4b) (AB)CA(BC) (5) 分配律： (5a) A(BC)(AB)(AC) (5b) A(BC)(AB)(AC)(6) 德摩根律：(6a) (AB) (BA) (6b) (AB)(BA)(7) 吸收律： (7a) (A(AB)A (7b) (A(AB)A (7c) (A(AB)AB (7d) (A(AB)AB(8) 零律： (8a) (A1) 1 (8b) (A0) 0(9) 同一律： (9a) (A0) A (9b) (A1) A(10) 排中律：

26、 (AA) 1(11) 矛盾式： (AA) 0(12) 蕴涵等值式：(AB) (AB)(13) 等价等值式：(AB) (AB) (BA)(14) 假言易位： (AB) (BA)(15) 等价否定等值式：(AB) (AB)(16) 归谬律： (AB) (AB) A讲述：根据已知的等值式，可以推演出另外许多的等值式，这种推演过程称为等值演算。板书：3 等值演算讲述：在等值演算时，除了要用到上面给出的等值式外，通常还用到一些重要的演算规则板书：(1) 等值式模式(2) 重言式替换规则(3) 置换规则置换规则：设(A)是含有命题公式A的命题公式，(B)是用公式B置换中的公式A(不一定是每一处)而得到的命题公式，如果A B，则(A) (B)。示例 等值演算例 证明ABCABC讲述：证明的方法当然可以用真值表方法，但是直接应用等值式及替换和置换规则通常会简单的多。证明：ABC A (B C) 蕴涵等值式 (A B) C 结合律 (A B) C 德摩根律 (A B) C 置换规则和蕴涵等值式逻辑等值演算不仅仅停留在符号级，总要用来解决实际问题，如简化语句，确定一些命题的真值等等，可以首先符号化命题，然后由已知条件列出这些命题应该满足的方程组，从而达到要求。例 化简语句：“情况并非如此：如果他不来，那么我也不去”。解：设p:他来，q：我去；上述语句符号化为