a（）+…+d/nx"1—c/（）+•••+ci/nxn,++...+Ox"
所以当我们只看R［兀］的有限个多项式的时候，可以假定这些多项式的系数都是一样的。
因此，尺［兀］的两个元相加相乘适合以下公式：
（ao+…+y"）+（bo+・.・+加"）=（°0+%）+・..+（%+b“）x"
（ao+…+e”x"'）（bo+...+b”x"）=Co+…+c,”+“x"'+"
这里Ck=aobk+axbk_x+...+%2=
+j=k
这两个式子告诉我们，对于加法和乘法来说都是闭的。
山于我们也有
_（a（）+...+a”x）=—a（）—...—cinxgR所以R卜］是一个环。
人卜］显然是&）包括R和x的最小子环。
定义⑸R［x］叫做R上的X的多项式环。
2.3剩余类环的定义和模为2的剩余类环的证明
2.3.1剩余类环的定义
本小节给出了剩余类环的定义，为证明模2的剩余类Z?
为环提供了理论基础。
给了一个环/?
和/?
的一个理想〃［附剥若我们只就加法来看，R作成一个群，“作成/?
的一个不变子群。
这样“的陪集［r/］,［Z7］,［€•］,...作成R的一个分类。
我们现在把这些类叫做模“的剩余类。
这个分类相当于R的元间的一个等价关系这个等价关系现在我们用符号“三〃（“）来表示⑼。
定理1⑼假定/?
是一个环，〃是它的一个理想，&是所有模〃的剩余类
做成的集合。
那么豆本身也是一个环，并且/?
与斤同态。
定义切臣叫做环R的模“的剩余类环。
这个环我们用R/"来表示。
2.3.2证明模2的剩余类乙是环
证明：
已知模2的剩余类山Z2={0,T}构成的一个集合.Z2对加法和乘法满足
下列运算表：
为方便记：
0=0,1=T,
㊉
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
（1）对X/a.b.ce乙
a+b=ceZ2成立
（对加法是封闭的）
⑵对X/a.b.ce乙
（a+b）+c=a+（b+c）成立（对加法满足结合律）
⑶对eZ2
d+"=0wZ2成立（存在零元）
⑷对Xfa.b.ceZ2
a+b=b+a（对加法满足交换律）
山⑴⑵⑶⑷可知Z?
对加法满足交环群.
⑸对\/a^b.ceZ2
ci-b=ceZ2（对乘法的代数运算是封闭的）
⑹对Xfa.b.ceN?
a（bc）={ab）c
（对乘法满足结合律）
（7）对\fa.b^ceZ2
（对乘法满足两个结合律）
a{b+c）=ab+ac（b+c）a=ba+ca
山⑴⑵⑶⑷⑸⑹（7）可知Z2是环。
2.4剩余类环上的多项式环
我们已得出Z2是环而且是交换环。
定义②R为交换环,交换环
%={仏）,q,••,••Jd（）,d],…W&且只右限个^北。
}正是
7?
[H={q/"+务_1+•••+"（）I0斤为非负数，V（2/f,...67oGR},称为/?
上的多项式环。
所以可知，模为2的剩余类环Z2上的多项式环的形式为：
Z[x]={勺兀"+...+。
（）|V/1为非负数，V6f,f,...6F0GZ2},Z,={0,1}.
3剩余类环上的因式分解及可约性
3.1模为2的剩余类环上多项式环的的因式分解和可约性
设/（x）eF[x],Vc€F,c^0,有c\f（x）,cf（x）\f（x）,
所以我们有以下面定义.
定义2.5.1⑷设f（x）eF[x]ycwF,c工0,我们称c与cf（x）为多项式7*（x）的平凡因式.
定义2.5.2⑷设/（x）eF[x],如果/（x）在F[x]中有非平凡因式，则称/（X）在Fk]中可约，否则称/（x）在F[x]中不可约.
定理2.4.3二X/f（x）eF[x],5°（/（x））=n>0,/（x）在尸卜]中都可以分解为不可约多项式的乘积.
证若/G）在尸卜]中不可约，则结论成立。
若/G）在F[x]中可约，则3/；（4.AWe尸卜归/心）•九G）且0<^0（/1（x））<5°（/2（x）r
此时迹有0<罗伉⑴）<5°（/⑴）.
若久（兀），乙（兀）都不可约，则结论成立.
若力（兀）或％（x）都不可约，则继续分解。
因为分解后的因式的次数降低，而一次多项式不可约，所以分解必会终止。
即
/（x）=Pl（x）p2（x）...pk（x）,Vre{1,2,...,k},pt\x）不可约.
故结论成立.
上节我们已给出模为2的剩余类环Z?
上的多项式环的形式
Z2[^]={f（X）=anX，1++-+6/0|V/1为非负数，
\/a“,...a（）eZ2},Z2={0,1}，模为2。
接下来我们讨论它的因式分解及可约性。
1.当X的最高次方为0时，f（x）=0,f（x）=i为常数多项式。
它为不可约多项
式C10]o
2•当X的最高次方为1时：
f（x）二X,f（x）=X+l最高次方为一时，
该多项式不可约。
3.当X的最高次方为2时，共有4个多项式：
（1）f（x）=x2=x-x
为可约多项式。
（2）f（x）=x2+1=x2—1=（x—lX-^+1）
为可约多项式。
（3）
f（x）=x2+x=x（x+1）
为可约多项式。
（4）
f（x）=x2+X+1
为不可约多项式。
.当X的最高次方为3时，共有8个多项式：
（1）
f（x）=X3=X•X•X
为可约多项式。
（2）
f（x）=x3+1=X5-1=（x-1）（x2+X+1）
为可约多项式。
（3）
f（x）=x3+x=x（x-1X^+1）
为可约多项式
（4）
f（x）=x3+X4-1
为不可约多项式
（5）
f（x）=X3+X2=X•x（x+1）
为可约多项式。
（6）
f（x）=兀'+x~+1
为不可约多项式。
（7）
f（x）=X3+X2+X=+X+1）
为可约多项式。
（8）
f（X）二X++X+1=（x++1X*+1）
为可约多项式。
为可约多项式。
（1）
4
5•当X的最高次方为4时，总有16个多项式:
A
f（x）二x
（2）
（3）
f（x）=x4+x=x（x+l）（x2+X+1）
为可约多项式。
（4）
f（X）二X4+X+1
为不可约多项式。
（5）
f（X）=+X"=x・x（x+l）（x—1）
为可约多项式。
f（x）=x4+l=x4—i=（x—l）（x+l^X—+1）为可约多项式。
（6）
（7）
f（x）=X4+X2+X=x（x3+X+
为可约多项式。
（8）
f（x）=+X~+X+1二（X+1+X+1）
为可约多项式。
（9）
f（x）=A*4+=X•X•X（X+1）
为可约多项式。
为不可约多项式。
为不可约多项式。
（10）f（x）=x4+%3+1
（11）f（x）=X4+X3+X=x（x3+X2+1）为可约多项式。
（12）f（x）二x4+/+x+l=（尢一1X尢一iX^+x+l）为可约多项式。
（13）f（x）=x4+x3+x2=x-x（x2+X+1）为可约多项式。
（14）f（x）=x4+X?
+X2+1=（x-l）（x3+X+1）为可约多项式。
（15）f（x）=x4+^3+x2+x=x（x+1Xx+1X-^+1）为可约多项式。
（16）f（x）=x44-X34-X2+X+1为不可约多项式。
6.当X的最高次方为5时，总有32个多项式：
（1）f（x）=X5=x-X-X'X*X为可约多项式。
（2）f（X）=%"+1=（X-l）（x4+X3+X2+X+1）为可约多项式。
（3）f（x）=x5+x=X（X一1）0一1）0+l）（x+1）为可约多项式。
（4）f（x）=%5+X+1为不可约多项式。
（5）f（x）=x5+x2=X-X（X-1）（X2+X+1）为可约多项式。
59
（6）f（x）=x+x~+l为不可约多项式。
（7）f（x）=x"+x2+x=x（x4+X+1）为可约多项式。
（8）f（x）=x5+x~+x+\=（x—l）（x—l）（x3+x+1）为可约多项式。
（9）f（^）=%?
+X3=x-x-x（x+l）（x-l）为可约多项式。
（10）f（x）=F+"'+l为不可约多项式。
（11）f（X）=X5+x3+X=x（x4+x2+1）为可约多项式。
（12）f（x）=X5+X3+X+1=（X+1）（X4+r+1）为可约多项式。
（13）f（x）=r+x+x^=x^x（x+x+l）为可约多项式。
（14）f（x）=x5+x3+x2+1=（X+1）（X+1）（X-1X-X2+^+1）为可约多项式。
（15）f（兀）=X5+X3+X2+X=X（X+1）（X3+对+1）为可约多项式。
（16）
为不可约多项式。
为可约多项式。
为不可约多项式。
为可约多项式。
f（X）=%?
+X3+X2+X+1
（17）
（18）f（%）=X5+X4+l
f（X）=X5+X4=X•X•X•X（X+1）
（19）f（-V）=X5+X4+X=X（X4+X3+1）
（20）f（X）二X’+X4+兀+1二（X+1）（%+1）（X+1）（X-1）（X-1）为可
约多项式。
（21）f（X）=X5+X4+X2=X•+X2+1）为可约多项式。
（22）f（%）=X5+X4+X2+1=（X+1）（X4+X+1）为可约多项式。
（23）f（x）=r+x4+x2+x=x（x+l）（x-l）（x2+x+l）为可约多项式。
（24）f（X）=X5+X4+F+X+1为不可约多项式。
532
（25）f（X）=%+X+X+X+1）为可约多项式。
（26）f（X）=兀'+兀4+X?
+1=（x+l）（x—l）（x'+x~—1）为可约多项式。
（27）f（X）=X5+X44-X3+X=X（X+1）（X3+X+1）为可约多项式。
（28）f（^）=+X4+X3+%+1为不可约多项式。
532
（29）f（X）=%+X+X_=X-X（X+1）（X+1）（X-1）为可约多项
式。
（30）f（兀）=牙5+牙4+兀3+兀2+]不可约多项式。
（31）f（兀）=X’+兀4+X’+兀？
+X=X（X4+X’+X，+兀+1）为可约多项式。
（32）f（X）=X5+X4+%3+X2+X+1=（X+1）（X4+X2+1）为可约多项式。
4结论
我们已给出了剩余类环和模为2的剩余类环的证明，模为2的剩余类环上多项式环的的因式分解和可约性，显然，我们可发现，模为2的剩余类环上多项式环因式分解后，它的可约不可约性有以下的儿个规律：
（1）多项式的最高次数低于二次（不包含二次）的多项式一律不可约。
（2）多项式的最高次数高于二次方（包含二次）时，当多项式的项的个数为奇数且含有常数项时，该多项式不可约。
（3）多项式的最高次数高于二次方（包含二次）时，在多项式的最高次方为奇数的，包含常数项的情况下，多项式缺项（项的系数为零）时，该多项式不可约,反而不缺项时，该多项式都可约。
（4）多项式的最高次方为斤时，多项式的最多项数为/l+lo
我们有了以上的规律后，以后碰到模为2的剩余类环上多项式环中的高次多项式
的时候都可以判断各种多项式的可约不可约性。
附录
定义何
环R的一个非空自己〃叫做一个理想子环，简称理想，假若
0）
up已口=>a—be//
（;7）
ciwwwRdYa.aye//
参考文献：
[1]近世代数研传:
科学出版社2010年9月第一版，前言（ii）.
[2]近世代数初步（第二版）石生明：
高等教冇出版社，2002年7月第一版，第4页.
[3]近世代数基础（修订本）张禾瑞:
高等教冇出版社，2012年5月第49出版，第82页.
[4]高等代数高孝忠:
淸华大学出版社，2013年4月第一版，第30页.
[5]近世代数基础（修订本）张禾瑞:
高等教冇出版社，2012年5月第49出版，第102页.
[6]近世代数赵淼淸：
浙江大学出版社2005年8月第一版，第131页.
[7]高等代数张志让，刘启宽：
高等教冇出版社2008年1月第一版，第129页.
[8]抽象代数I陈良云：
科学出版社，2010年1月第一版，第49页.
[9]近世代数初步石生明：
高等教冇出版社，2006年3月第一版，第93页.
[10]高等代数熊全淹主审：
高等教冇出版社，2000年7月第14版，第21页.
大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实。
当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多。
首先我非常感谢我的论文导师曾吉文老师。
导师润博专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，宽以待人的崇高风范，朴实无华，平易近人的人格魅力对我影响深远。
不仅使我树立了远大的学术U标，掌握了基本研究方法，还使我明口了许多待人接物与为人处世的道理。
本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师的大量心血。
在此向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！
感谢四年中陪伴在我身边的老师，同学，宿友，朋友们，感谢他们为我提出的有益的建议和意见，有了他们的支持，鼓励和帮助，我才能度过了四年的学习生活。
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