高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题04函数与导数的综合应用练习理.docx

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高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题04函数与导数的综合应用练习理

04　函数与导数的综合应用

1.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2,2]恒成立,则m的取值范围是（）.

A.（-∞,7]B.（-∞,-20]

C.（-∞,0]D.[-12,7]

解析▶令f（x）=x3-3x2-9x+2,

则f'（x）=3x2-6x-9,

令f'（x）=0得x=-1或x=3（舍去）.

∵f（-1）=7,f（-2）=0,f

（2）=-20,

∴f（x）的最小值为f

（2）=-20,

故m≤-20.

答案▶B

2.已知函数f（x）=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f（x1）-f（x2）|≤t,则实数t的最小值是（）.

A.20B.18C.3D.0

解析▶对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f（x1）-f（x2）|≤t,等价于在区间[-3,2]上,f（x）max-f（x）min≤t.

∵f（x）=x3-3x-1,

∴f'（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）.

∵x∈[-3,2],∴函数f（x）在[-3,-1],[1,2]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,

又∵f（-3）=-19,f

（1）=-3,f（-1）=1,f

（2）=1,

∴f（x）max=f

（2）=f（-1）=1,f（x）min=f（-3）=-19,

∴f（x）max-f（x）min=20,

∴t≥20,即实数t的最小值是20.

答案▶A

3.已知y=f（x）为R上的连续可导函数,且xf'（x）+f（x）>0,则函数g（x）=xf（x）+1（x>0）的零点个数为（）.

A.0B.1

C.0或1D.无数个

解析▶因为g'（x）=f（x）+xf'（x）>0,

所以函数g（x）在（0,+∞）上为增函数.

因为g（0）>0,所以g（x）>0,

故函数g（x）=xf（x）+1（x>0）的零点个数为0.

答案▶A

4.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27πdm3,且用料最省,则圆柱的底面半径为dm. 

解析▶设圆柱的底面半径为Rdm,母线长为ldm,

则V=πR2l=27π,所以l=,

要使用料最省,只需使圆柱形水桶的表面积最小.

S表=πR2+2πRl=πR2+2π·,

所以S'表=2πR-.

令S'表=0,得R=3,则当R=3时,S表最小.

答案▶3

能力1

▶会利用导数研究函数的零点问题

【例1】已知函数f（x）=-2lnx（a∈R,a≠0）.

（1）讨论函数f（x）的单调性;

（2）若函数f（x）有最小值,记为g（a）,关于a的方程g（a）+a--1=m有三个不同的实数根,求实数m的取值范围.

解析▶

（1）f'（x）=-（x>0）,

当a<0时,f'（x）<0,则f（x）在（0,+∞）上单调递减;

当a>0时,f'（x）=,所以f（x）在（0,）上单调递减,在（,+∞）上单调递增.

（2）由

（1）知a>0,f（x）min=f（）=1-lna,即g（a）=1-lna,

故方程g（a）+a--1=m为m=a-lna-（a>0）,

令F（a）=a-lna-（a>0）,

则F'（a）=1-+=,

所以F（a）在和上是单调递增的,在上是单调递减的,

所以F（a）极大值=F=-+ln3,F（a）极小值=F=-ln2+ln3,

依题意得-ln2+ln3

已知函数有零点求参数的常用方法和思路:

（1）直接法:

直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.

（2）分离参数法:

将参数分离,转化成函数的值域问题解决.（3）数形结合法:

先对解析式变形,在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后通过数形结合求解.

1.如果函数f（x）=ax2+bx+clnx（a,b,c为常数,a>0）在区间（0,1）和（2,+∞）上均单调递增,在（1,2）上单调递减,则函数f（x）的零点个数为（）.

A.0B.1C.2D.3

解析▶由题意可得f'（x）=2ax+b+,

则解得

所以f（x）=a（x2-6x+4lnx）,

则极大值f

（1）=-5a<0,极小值f

（2）=a（4ln2-8）<0,

又f（10）=a（40+4ln10）>0,结合函数图象可得该函数只有1个零点.故选B.

答案▶B

2.（广西2018届高三第二次联合调研）已知函数f（x）=ln（x+a）-x（a∈R）,直线l:

y=-x+ln3-是曲线y=f（x）的一条切线.

（1）求a的值.

（2）设函数g（x）=xex-2x-f（x-a）-a+2,证明:

函数g（x）无零点.

解析▶

（1）由题意得f'（x）=-1.

设切点为P（x0,y0）,

则

解得∴a=1.

（2）由

（1）知g（x）=xex-2x-f（x-1）-1+2=xex-lnx-x.

则g'（x）=（x+1）ex--1=（xex-1）.

令G（x）=xex-1,则G'（x）=（x+1）ex.

∵当x>0时,G'（x）>0,

∴G（x）在（0,+∞）上单调递增.

又G（0）=-1<0,G

（1）=e-1>0,

∴G（x）存在唯一零点c∈（0,1）,

且当x∈（0,c）时,G（x）<0,当x∈（c,+∞）时,G（x）>0,

∴当x∈（0,c）时,g'（x）<0,当x∈（c,+∞）时,g'（x）>0,

∴g（x）在（0,c）上单调递减,在（c,+∞）上单调递增,∴g（x）≥g（c）.

∵G（c）=cec-1=0,0

∴g（c）=cec-lnc-c=1-lnc-c>0,

∴g（x）≥g（c）>0,

∴函数g（x）无零点.

能力2

▶会利用导数证明不等式

【例2】（2018年天津市南开中学高三模拟考试）已知f（x）=ex-alnx-a,其中常数a>0.

（1）当a=e时,求函数f（x）的极值.

（2）当0

f（x）≥0.

（3）求证:

e2x-2-ex-1lnx-x≥0.

解析▶函数f（x）的定义域为（0,+∞）,

（1）当a=e时,f（x）=ex-elnx-e,f'（x）=ex-.

又f'（x）=ex-在（0,+∞）上单调递增,f'

（1）=0,

所以当0

当x>1时,f'（x）>0,f（x）在（1,+∞）上单调递增.

所以f（x）有极小值,极小值为f

（1）=0,没有极大值.

（2）若0

若x>,由f（x）≥0恒成立,得a≤恒成立,令φ（x）=,

则φ'（x）=.

令g（x）=lnx+1-,

则g'（x）=+,

由g'（x）>0,得g（x）在上单调递增.

又因为g

（1）=0,所以φ'（x）在上为负,在（1,+∞）上为正,

所以φ（x）在上单调递减,在（1,+∞）上单调递增.所以φ（x）min=φ

（1）=e.

所以当0时,a≤恒成立.

综上所述,当0

（3）由

（2）知,当a=e时,f（x）≥0恒成立,

所以f（x）=ex-elnx-e≥0,

即f（x）=ex-elnx≥e.

设h（x）=（x>0）,则h'（x）=.

当00,所以h（x）在（0,1）上单调递增;

当x>1时,h'（x）<0,所以h（x）在（1,+∞）上单调递减.

所以h（x）=（x>0）的最大值为h

（1）=,即≤,所以≤e,

所以f（x）=ex-elnx≥,即e2x-2-ex-1lnx-x≥0.

利用导数证明不等式f（x）>g（x）在区间D上恒成立的基本方法是先构造函数h（x）=f（x）-g（x）,然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h（x）>0,其中找到函数h（x）=f（x）-g（x）的零点是解题的突破口.

已知函数f（x）=.

（1）若曲线y=f（x）在x=2处的切线过原点,求实数a的值;

（2）若1

当x∈（a,a+1）时,f（x）>x3+x2.

参考数据:

e≈2.7.

解析▶

（1）因为f（x）=,

所以f'（x）=

=,

由题意知,曲线y=f（x）在x=2处的切线过原点,

则切线斜率k=f'

（2）=,

即=,整理得=,

所以a=1.

（2）由10,

所以f（x）>x3+x2⇔-x2-x>0.

设g（x）=-x2-x,

则g'（x）=-2x-1,

由x>0且a

所以g（x）在（a,a+1）上单调递减,

所以当x∈（a,a+1）时,g（x）>ea+1-（a+1）（a+2）.

设t=a+1,则t∈（2,3）,

设h（t）=et-t（t+1）,则h'（t）=et-2t-1,

令φ（t）=et-2t-1,则φ'（t）=et-2,易知当t∈（2,3）时,φ'（t）>0,

所以h'（t）在（2,3）上单调递増,

所以h'（t）=et-2t-1>e2-2×2-1>0,

所以h（t）在（2,3）上单调递増,

所以h（t）>e2-6>0,

所以et-t（t+1）>0,即ea+1-（a+1）（a+2）>0,

所以当x∈（a,a+1）时,g（x）>0,

即当x∈（a,a+1）时,f（x）>x3+x2.

能力3

▶会利用导数解决不等式的恒成立（存在性）问题

【例3】（2018年河南省巩义市高中毕业班模拟考试试卷）已知函数f（x）=xlnx,g（x）=（-x2+ax-3）ex（a为实数）.

（1）当a=5时,求函数g（x）的图象在x=1处的切线方程;

（2）求f（x）在区间[t,t+2]（t>0）上的最小值;

（3）若存在两个不等实数x1,x2∈,使方程g（x）=2exf（x）成立,求实数a的取值范围.

解析▶

（1）当a=5时,g（x）=（-x2+5x-3）e·x,所以g

（1）=e,g'（x）=（-x2+3x+2e）x,故切线的斜率为g'

（1）=4e,所以切线方程为y-e=4e（x-1）,

即y=4ex-3e.

（2）因为f'（x）=lnx+1,令f'（x）=0,得x=,

所以f'（x）,f（x）的变化情况如下表:

x

f'（x）

-

0

+

f（x）

↘

极小值

↗

当t≥时,在区间[t,t+2]上,f（x）为增函数,所以f（x）min=f（t）=tlnt;

当0

所以f（x）min=f=-.

（3）由g（x）=2exf（x）,可得2xlnx=-x2+ax-3,则a=x+2lnx+,令h（x）=x+2lnx+,

则h'（x）=1+-=.

当x∈时,h'（x）,h（x）的变化情况如下表:

x

1

（1,e）

h'（x）

-

0

+

h（x）

↘

极小值

↗

因为h=+3e-2,h（e）=+e+2,h

（1）=4,所以h（e）-h=4-2e+<0,

所以h（e）

（1）

即实数a的取值范围为.

【例4】已知函数f（x）=a2lnx+ax-x2+a.

（1）讨论f（x）在（1,+∞）上的单调性;

（2）若∃x0∈（0,+∞）,f（x0）>a-,求正数a的取值范围.

解析▶

（1）f'（x）=+a-2x=-（x>1）,

当-2≤a≤0时,f'（x）<0,f（x）在（1,+∞）上单调递减.

当a<-2时,若x>-,则f'（x）<0;若10.

∴f（x）在上单调递减,在上单调递增.

当0

当a>1时,若x>a,则f'（x）<0,若10.

∴f（x）在（a,+∞）上单调递减,在（1,a）上单调递增.

综上可知,当-2≤a≤1时,f（x）在（1,+∞）上单调递减;

当a<-2时,f（x）在上单调递减,在上单调递增;

当a>1时,f（x）在（a,+∞）上单调递减,在（1,a）上单调递增.

（2）∵a>0,

∴当x>a时,f'（x）<0;当00.

∴f（x）max=f（a）=a2lna+a.

∵∃x0∈（0,+∞）,f（x0）>a-,

∴a2lna+a>a-,即a2lna+>0,

设g（x）=x2lnx+,

则g'（x）=2xlnx+x=x（2lnx+1）,

当x>时,g'（x）>0;当0

∴g（x）min=g=0,∴正数a的取值范围是0,∪,+∞.

1.对于恒成立和存在性的问题,常用的解法是分离参数,将问题转化为求函数最值的问题处理.解题时常用的结论:

若a>f（x）有解,则a>f（x）min;若a

2.对于含参数的不等式,如果易分离参数,那么可先分离参数,构造函数,将问题直接转化为求函数的最值,否则应进行分类讨论.在解题过程中,必要时,可画出函数图象的草图,借助几何图形直观分析.

1.已知函数f（x）=axex（x∈R）,g（x）=lnx+kx+1（k∈R）.

（1）若k=-1,求函数g（x）的单调区间;

（2）当k=1时,f（x）≥g（x）恒成立,求a的取值范围.

解析▶

（1）当k=-1时,g（x）=lnx-x+1,则g'（x）=-1.

令g'（x）=-1>0,得0

令g'（x）=-1<0,得x>1.

所以g（x）在（0,1）上单调递增,在（1,+∞）上单调递减.

（2）当k=1时,f（x）≥g（x）恒成立,即axex≥lnx+x+1恒成立.

因为x>0,所以a≥.

令h（x）=,

则h'（x）=.

令p（x）=-lnx-x,

则p'（x）=--1<0,

故p（x）在（0,+∞）上单调递减,且p=1->0,p

（1）=-1<0,

则存在x0∈,使得p（x0）=-lnx0-x0=0,

故lnx0+x0=0,即x0=.

当x∈（0,x0）时,p（x）>0,h'（x）>0;

当x∈（x0,+∞）时,p（x）<0,h'（x）<0.

所以h（x）在（0,x0）上单调递增,在（x0,+∞）上单调递减,所以h（x）max=h（x0）==1,

故a的取值范围是[1,+∞）.

2.（广西2018届高三下学期第二次模拟）已知函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）-k（x3-3x）（k∈R）.

（1）当k=3时,求曲线y=f（x）在原点O处的切线方程;

（2）若f（x）>0对x∈（0,1）恒成立,求k的取值范围.

解析▶

（1）当k=3时,f'（x）=+-9（x2-1）,∴f'（0）=11,又f（0）=0,

∴曲线y=f（x）在原点O处的切线方程为y=11x.

（2）由题意得f'（x）=,

当x∈（0,1）时,（1-x2）2∈（0,1）.

若k≥-,则2+3k（1-x2）2>0,即f'（x）>0.

∴f（x）在（0,1）上单调递增,从而f（x）>f（0）=0.

若k<-,令f'（x）=0,得x=∈（0,1）.

当x∈时,f'（x）<0;

当x∈时,f'（x）>0.

∴f（x）min=f

综上所述,k的取值范围为.

能力4

▶会利用导数解决函数的实际问题

【例5】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y（单位:

千克）与销售价格x（单位:

元/千克）满足关系式y=+10（x-6）2,其中3

（1）求a的值;

（2）若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

解析▶

（1）因为当x=5时,y=11,所以+10=11,解得a=2.

（2）由

（1）可知,该商品每日的销售量为y=+10（x-6）2,

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

f（x）=（x-3）=2+10（x-3）（x-6）2,3

从而,f'（x）=30（x-4）（x-6）,

于是,当x变化时,f'（x）,f（x）的变化情况如下表:

x

（3,4）

4

（4,6）

f'（x）

+

0

-

f（x）

单调递增

极大值42

单调递减

由上表可得,当x=4时,函数f（x）取得极大值,也是最大值,

所以,当x=4时,函数f（x）取得最大值,且最大值等于42.

故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.

利用导数解决生活中优化问题的一般步骤:

（1）建模:

分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f（x）.

（2）求导:

求函数的导数f'（x）,解方程f'（x）=0.（3）求最值:

比较函数在区间端点和使f'（x）=0的点的函数值的大小,最大（小）者为最大（小）值.（4）结论:

回归实际问题作答.

统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）,关于行驶速度x（千米/时）的函数解析式可以表示为y=x3-x+8（0

（1）当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?

最少为多少升?

解析▶

（1）当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5（小时）,

要耗油×2.5=17.5（升）.

所以,当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.

（2）当速度为x千米/时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h（x）升,

依题意得h（x）==x2+-（0

则h'（x）=-=（0

令h'（x）=0,得x=80,

当x∈（0,80）时,h'（x）<0,h（x）是减函数;

当x∈（80,120]时,h'（x）>0,h（x）是增函数;

当x=80时,h（x）取得极小值h（80）=11.25.

由题意知该极值是最小值.

故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.

一、选择题

1.已知a=log32,b=log23,c=log47,则a,b,c的大小关系为（）.

A.a

C.c

解析▶　alog=32<1,blog=23>1,clog=47>1log,2log<23,故a

答案▶D

2.已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x>0时,f（x）=2x+2x-4,则f（x）的零点个数是（）.

A.2B.3C.4D.5

解析▶因为函数f（x）是定义在R上的奇函数,所以f（0）=0.

因为f·f

（2）<0,且函数f（x）在（0,+∞）上单调递增,

所以当x>0时,f（x）有1个零点.

根据奇函数的对称性可知,当x<0时,f（x）也有1个零点,故f（x）有3个零点.故选B.

答案▶B

3.若对任意的x∈（0,+∞）,不等式2xlnx≥-x2+ax-3恒成立,则实数a的取值范围为（）.

A.（-∞,0）B.（-∞,4]

C.（0,+∞）D.[4,+∞）

解析▶条件可转化为a≤2lnx+x+恒成立.

设f（x）=2lnx+x+,

则f'（x）=（x>0）.

当x∈（0,1）时,f'（x）<0,函数f（x）单调递减;

当x∈（1,+∞）时,f'（x）>0,函数f（x）单调递增.

所以f（x）min=f

（1）=4.所以a≤4.故选B.

答案▶B

4.已知函数f（x）=xcosx-sinx-x3,则不等式f（2x+3）+f

（1）<0的解集为（）.

A.（-2,+∞）B.（-∞,-2）

C.（-1,+∞）D.（-∞,-1）

解析▶由题意得f（-x）=-xcosx+sinx+x3=-f（x）,

所以函数f（x）是奇函数.

由题意得f'（x）=cosx-xsinx-cosx-x2

=-xsinx-x2=-x（sinx+x）.

所以当x>0时,f'（x）<0,函数f（x）在（0,+∞）上单调递减.

因为函数f（x）是奇函数,所以函数f（x）在（-∞,0）上单调递减.

因为f（2x+3）+f

（1）<0,所以f（2x+3）<-f

（1）=f（-1）,所以2x+3>-1,所以x>-2.故选A.

答案▶A

二、填空题

5.已知函数f（x）=4lnx+ax2-6x+b（a,b为常数）,且x=2为f（x）的一个极值点,则实数a的值为. 

解析▶由题意知,函数f（x）的定义域为（0,+∞）.∵f'（x）=+2ax-6,∴f'

（2）=2+4a-6=0,即a=1.

答案▶1

6.函数y=x+2cosx在上的最大值是. 

解析▶由题意知y'=1-2sinx,

令y'=0,得x=,则当x∈时,y'>0;当x∈时,y'<0.

故函数在上单调递增,在上单调递减,

所以当x=时,函数取得最大值,最大值为+.

答案▶+

7.若函数f（x）=（其中e为自然对数的底数）有三个不同的零点,则m的取值范围是. 

解析▶当x>0时,f（x）有一个零点,故当x≤0时,f（x）有两个零点.

当x≤0时,f（x）=x3-3mx-2,则f'（x）=3x2-3m.

当m≤0时,f'（x）≥0,函数f（x）在（-∞,0]上单调递增,所以f（x）不会有两个零点,故舍去;

当m>0时,函数f（x）在上单调递增,在上单调递减,

又f（0）=-2<0,所以当f>0时,f（x）有两个零点,解得m>1,

故m的取值范围是（1,+∞）.

答案▶（1,+∞）

8.已知f（x）=-x2-6x-3,g（x）=2x3+3x2-12x+9,设m<-2,若∀x1∈[m,-2）,∃x2∈（0,+∞）,使得f（x1）=g（x2）成立,则实数m的最小值为. 

解析▶　∵g（x）=2x3+3x2-12x+9,

∴g'（x）=6x2+6x-12=6（x+2）（x-1）.

∴当01时,g'（x）>0,函数g（x）单调递增.

∴g（x）min=g

（1）=2.

∵f（x）=-x2-6x-3=-（x+3）2+6≤6,

∴结合函数图象（图略）知,当f（x）=2时,方程两根分别为-5和-1,则m的最小值为-5.

答案▶　-5

三、解答题

9.已知函数f（x）=xlnx,g（x）=-x2+ax-3.

（1）对一切x∈（0,+∞）,2f（x）≥g（x）恒成立,求实数a的取值范围.

（2）探讨函数F（x）=lnx-+是否存在零点.若存在,求出函数F（x）的零点;若不存在,请说明理由.

解析▶

（1）因为对一切x∈（0,+∞）,2f（x）≥g（x）恒成立,

所以2xlnx≥-x2+ax-3恒成立,

即a≤2lnx+x+恒成立.

令h（x）=2lnx+x+,

则h'（x）=+1-==,

当x>1时,h'（x）>0,h（x）单调递增;

当0

所以a≤h（x）min=h

（1）=4.

即实数a的取值范围是（-∞,4].

（2）令F（x）=0,即lnx-+=0,

得xlnx=-,

令f（x）=xlnx,则f'（x）=1+lnx,

当x∈时,f'（x）