第四章 专题强化 动力学连接体问题和临界问题.docx

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第四章专题强化动力学连接体问题和临界问题

专题强化　动力学连接体问题和临界问题

[学科素养与目标要求]　

科学思维：

1.会用整体法和隔离法分析动力学的连接体问题.2.掌握动力学临界问题的分析方法，会分析几种典型临界问题的临界条件．

一、动力学的连接体问题

1．连接体：

两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法．

2．整体法：

把整个连接体系统看作一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解．其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力．

3．隔离法：

把系统中某一物体（或一部分）隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解．其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体（或一部分）的受力情况或单个过程的运动情形．

4．整体法与隔离法的选用

求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法．求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交替运用．一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力．无论运用整体法还是隔离法，解题的关键还是在于对研究对象进行正确的受力分析．

如图1所示，物体A、B用不可伸长的轻绳连接，在竖直向上的恒力F作用下一起向上做匀加速运动，已知mA＝10kg，mB＝20kg，F＝600N，求此时轻绳对物体B的拉力大小（g取10m/s2）．

图1

答案　400N

解析　对A、B整体受力分析和单独对B受力分析，分别如图甲、乙所示：

对A、B整体，根据牛顿第二定律有：

F－（mA＋mB）g＝（mA＋mB）a

对物体B，根据牛顿第二定律有：

FT－mBg＝mBa，

联立解得：

FT＝400N.

针对训练　（多选）如图2所示，质量分别为mA、mB的A、B两物块用轻绳连接放在倾角为θ的固定斜面上，用平行于斜面向上的恒力F拉A，使它们沿斜面匀加速上升，A、B与斜面间的动摩擦因数均为μ，为了增大轻绳上的张力，可行的办法是（　　）

图2

A．减小A物块的质量

B．增大B物块的质量

C．增大倾角θ

D．增大动摩擦因数μ

答案　AB

解析　当用沿斜面向上的恒力拉A，两物块沿斜面向上匀加速运动时，对整体运用牛顿第二定律，

有F－（mA＋mB）gsinθ－μ（mA＋mB）gcosθ＝（mA＋mB）a，

得a＝

－gsinθ－μgcosθ.

隔离B研究，根据牛顿第二定律有FT－mBgsinθ－μmBgcosθ＝mBa，

则FT＝mBgsinθ＋μmBgcosθ＋mBa＝

，

要增大FT，可减小A物块的质量或增大B物块的质量，故A、B正确．

连接体的动力分配原理：

两个物体（系统的两部分）在外力（总动力）的作用下以共同的加速度运动时，单个物体分得的动力与自身的质量成正比，与系统的总质量成反比.相关性：

两物体间的内力与接触面是否光滑无关，与物体所在接触面倾角无关.

如图3所示，固定在水平面上的斜面的倾角θ＝37°，木块A的MN面上钉着一颗小钉子，质量m＝1.5kg的光滑小球B通过一细线与小钉子相连接，细线与斜面垂直．木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.现将木块由静止释放，木块与小球将一起沿斜面下滑．求在木块下滑的过程中：

（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10m/s2）

图3

（1）木块与小球的共同加速度的大小；

（2）小球对木块MN面的压力的大小和方向．

答案　

（1）2.0m/s2　

（2）6.0N　沿斜面向下

解析　

（1）选小球和木块组成的整体为研究对象，设木块的质量为M，共同加速度为a，根据牛顿第二定律有：

（M＋m）gsinθ－μ（M＋m）gcosθ＝（M＋m）a

代入数据得：

a＝2.0m/s2

（2）选小球为研究对象，设MN面对小球的作用力为FN，

根据牛顿第二定律有：

mgsinθ－FN＝ma，

代入数据得：

FN＝6.0N

根据牛顿第三定律，小球对木块MN面的压力大小为6.0N，方向沿斜面向下．

二、动力学的临界问题

1．临界问题：

某种物理现象（或物理状态）刚好要发生或刚好不发生的转折状态．

2．关键词语：

在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．

3．临界问题的常见类型及临界条件

（1）接触与脱离的临界条件：

两物体间的弹力恰好为零．

（2）相对静止或相对滑动的临界条件：

静摩擦力达到最大静摩擦力．

（3）绳子断裂与松弛的临界条件：

绳子所能承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是张力为零．

（4）加速度最大与速度最大的临界条件：

当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．

4．解答临界问题的三种方法

（1）极限法：

把问题推向极端，分析在极端情况下可能出现的状态，从而找出临界条件．

（2）假设法：

有些物理过程没有出现明显的临界线索，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况与题设是否相同，然后再根据实际情况处理．

（3）数学法：

将物理方程转化为数学表达式，如二次函数、不等式、三角函数等，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件．

如图4所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球（重力加速度为g）．

图4

（1）当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？

（2）当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？

（3）当滑块以2g的加速度向左运动时，线上的拉力为多大？

答案　

（1）g　

（2）g　（3）

mg

解析　

（1）当FT＝0时，小球受重力mg和斜面支持力FN作用，如图甲所示．由牛顿第二定律得

FNcos45°＝mg，FNsin45°＝ma，解得a＝g.故当向右运动的加速度至少为g时线上的拉力为0.

（2）假设滑块具有向左的加速度a1时，小球受重力mg、线的拉力FT1和斜面的支持力FN1作用，如图乙所示．由牛顿第二定律得

水平方向：

FT1cos45°－FN1sin45°＝ma1，

竖直方向：

FT1sin45°＋FN1cos45°－mg＝0.

由上述两式解得FN1＝

，FT1＝

.

由此可以看出，当加速度a1增大时，球所受的支持力FN1减小，线的拉力FT1增大．

当a1＝g时，FN1＝0，此时小球虽与斜面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为FT1＝

mg.所以滑块至少以a1＝g的加速度向左运动时小球对滑块的压力等于零．

（3）当滑块加速度大于g时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和球的重力的作用，如图丙所示，此时对小球由牛顿第二定律得FT′cosα＝ma′，FT′sinα＝mg，解得FT′＝m

＝

mg.

一个质量为m的小球B，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A、C两点，如图5所示，已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.重力加速度为g，试求：

图5

（1）当车以加速度a1＝

g向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小；

（2）当车以加速度a2＝2g向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小．

答案　

（1）

mg　0　

（2）

mg　

mg

解析　设当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度向左，大小为a0，由牛顿第二定律得，F1cos45°＝mg，F1sin45°＝ma0，可得：

a0＝g.

（1）因a1＝

g

F11cosθ＝mg，F11sinθ＝ma1，得F11＝

mg.

（2）因a2＝2g>a0，故细绳1、2均张紧，设拉力分别为F12、F22，由牛顿第二定律得

解得F12＝

mg，F22＝

mg.

1．（连接体问题）（多选）（2019·滨州市高一上学期期末）如图6所示，在光滑的水平面上有A、B两木块，质量分别为m和2m，中间用原长为l0、劲度系数为k的水平轻质弹簧连接起来，现用一水平恒力F向右拉木块B，当两木块一起向右做匀加速直线运动时（　　）

图6

A．两木块的加速度a的大小为

B．弹簧的形变量为

C．两木块之间弹簧的弹力的大小为F

D．A、B两木块之间的距离为l0＋

答案　AB

解析　对A、B整体：

F＝3ma

得a＝

，A正确；

对A：

F弹＝kx＝ma＝

得x＝

，A、B两木块之间的距离为l0＋

，B正确，C、D错误．

2．（连接体问题）（多选）（2019·六安一中第一学期期末）如图7所示，用力F拉着三个物体在光滑的水平面上一起运动，现在中间物体上加上一个小物体，在原拉力F不变的条件下四个物体仍一起运动，那么连接物体的绳子上的张力FTa、FTb和未放小物体前相比（　　）

图7

A．FTa增大B．FTa减小

C．FTb增大D．FTb减小

答案　AD

解析　原拉力F不变，放上小物体后，物体的总质量变大了，由F＝ma可知，整体的加速度a减小，以最右边物体为研究对象，受力分析知，F－FTa＝ma，因为a减小了，所以FTa变大了；再以最左边物体为研究对象，受力分析知，FTb＝ma，因为a减小了，所以FTb变小了．故选项A、D正确．

3.（临界问题）（2019·银川一中高一上学期期末）如图8所示，在光滑的水平面上叠放着两木块A、B，质量分别是m1和m2，A、B间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要把B从A下面拉出来，则拉力的大小必须满足（　　）

图8

A．F>μ（m1＋m2）gB．F>μ（m1－m2）g

C．F>μm1gD．F>μm2g

答案　A

解析　对A：

刚要滑动时，μm1g＝m1a

对A、B整体：

刚要滑动时，F0＝（m1＋m2）a

解得F0＝μ（m1＋m2）g

则拉力F必须满足F>μ（m1＋m2）g，故选A.

4．（临界问题）如图9所示，物体A叠放在物体B上，B置于足够大的光滑水平面上，A、B质量分别为mA＝6kg、mB＝2kg.A、B之间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2.若作用在A上的外力F由0增大到45N，则此过程中（　　）

图9

A．在拉力F＝12N之前，物体一直保持静止状态

B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12N时，开始发生相对运动

C．两物体从受力开始就有相对运动

D．两物体始终不发生相对运动

答案　D

解析　先分析两物体的运动情况，由于水平面光滑，所以只要有拉力，两物体就会运动．B运动是因为受到A对它的静摩擦力，但静摩擦力存在最大值，所以B的加速度存在最大值，可以求出此加速度下F的大小；如果F再增大，则两物体间会发生相对滑动，所以这里存在一个相对滑动的临界点，就是A、B间静摩擦力达到最大值时Ff的大小．以A为研究对象进行受力分析，A受水平向右的拉力、水平向左的静摩擦力，则有F－Ff＝mAa；再以B为研究对象，B受水平向右的静摩擦力Ff＝mBa，当Ff为最大静摩擦力时，解得a＝

＝

＝

m/s2＝6m/s2，此时F＝48N，由此可知此过程中A、B间的摩擦力达不到最大静摩擦力，A、B间不会发生相对运动，故选项D正确．

一、选择题

1.物块A、B（A、B用水平轻绳相连）放在光滑的水平地面上，其质量之比mA∶mB＝2∶1.现用大小为3N的水平拉力作用在物块A上，如图1所示，则绳对B的拉力等于（　　）

图1

A．1NB．1.5NC．2ND．3N

答案　A

解析　设物块B的质量为m，绳对B的拉力为F，对A、B整体，根据牛顿第二定律有a＝

，对B有F＝ma，所以F＝1N.

2.（多选）（2019·黄山市高一第一学期期末）如图2所示，材料相同，质量分别为M和m的两物体A和B靠在一起放在水平面上．用水平推力F向右推A使两物体一起向右加速运动时（图甲），A和B之间的作用力大小为F1，加速度大小为a1.用同样大小的水平推力F向左推B加速运动时（图乙），A和B之间的作用力大小为F2，加速度大小为a2，则（　　）

图2

A．F1∶F2＝1∶1B．F1∶F2＝m∶M

C．a1∶a2＝M∶mD．a1∶a2＝1∶1

答案　BD

3．（多选）（2019·长安一中高一第一学期期末）如图3所示，a、b两物体的质量分别为m1、m2，由轻质弹簧相连．当用恒力F竖直向上拉着a，使a、b一起向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x1，物体的加速度大小为a1；当用大小仍为F的恒力沿斜面向上拉着a，使a、b一起沿光滑斜面向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x2，物体的加速度大小为a2.已知斜面的倾角为θ，则有（　　）

图3

A．x1＝x2B．x1>x2

C．a1＝a2D．a1

答案　AD

4．（多选）（2019·菏泽市高一上学期期末）物块1、2放在光滑水平面上并用水平轻质弹簧测力计相连，如图4所示，现在1物块左侧施加水平拉力F，两物块保持相对静止一起向左做匀加速直线运动，弹簧测力计示数为5.0N；若将大小相等、方向相反的拉力施加在2的右侧，稳定后弹簧测力计的读数为2.0N．关于1、2两物块的质量，可能的是（　　）

图4

A．m1＝5.0kg，m2＝2.0kg

B．m1＝2.0kg，m2＝5.0kg

C．m1＝1.0kg，m2＝0.4kg

D．m1＝0.4kg，m2＝1.0kg

答案　BD

5.如图5所示，在光滑的水平桌面上有一物体A，通过绳子与物体B相连，假设绳子的质量以及绳子与轻质定滑轮之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长且与A相连的绳水平．如果mB＝3mA，则绳子对物体A的拉力大小为（　　）

图5

A．mBgB.

mAg

C．3mAgD.

mBg

答案　B

解析　对A、B整体进行受力分析，根据牛顿第二定律可得mBg＝（mA＋mB）a，对物体A，设绳的拉力为F，由牛顿第二定律得，F＝mAa，解得F＝

mAg，B正确．

6.如图6所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为（　　）

图6

A．μmgB．2μmg

C．3μmgD．4μmg

答案　C

解析　当A、B之间恰好不发生相对滑动时力F最大，此时，A物体所受的合力为μmg，由牛顿第二定律知aA＝

＝μg，对于A、B整体，加速度a＝aA＝μg.由牛顿第二定律得F＝3ma＝3μmg.

7.如图7所示，质量为M、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑槽内有一质量为m的小铁球，现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角．重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）

图7

A．小铁球受到的合外力方向水平向左

B．F＝（M＋m）gtanα

C．系统的加速度为a＝gsinα

D．F＝mgtanα

答案　B

解析　隔离小铁球受力分析得F合＝mgtanα＝ma且合外力方向水平向右，故小铁球加速度为gtanα，因为小铁球与凹槽相对静止，故系统的加速度也为gtanα，A、C错误．对整体受力分析得F＝（M＋m）a＝（M＋m）gtanα，故B正确，D错误．

8.（多选）如图8所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4kg、m2＝1kg，A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A与地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g取10m/s2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动且B不下滑，则力F的大小可能是（　　）

图8

A．50NB．100N

C．125ND．150N

答案　CD

解析　若B不下滑，对B有μ1FN≥m2g，由牛顿第二定律得FN＝m2a；对整体有F－μ2（m1＋m2）g＝（m1＋m2）a，得F≥（m1＋m2）

g＝125N，选项C、D正确．

9．（多选）如图9所示，水平地面上有三个靠在一起的物块P、Q和R，质量分别为m、2m和3m，物块与地面间的动摩擦因数都为μ.用大小为F的水平外力推动物块P，若记R、Q之间相互作用力与Q、P之间相互作用力大小之比为k.下列判断正确的是（　　）

图9

A．若μ≠0，则k＝

B．若μ≠0，则k＝

C．若μ＝0，则k＝

D．若μ＝0，则k＝

答案　BD

解析　三个物块靠在一起，将以相同加速度向右运动，根据牛顿第二定律有F－μ（m＋2m＋3m）g＝（m＋2m＋3m）a，解得加速度a＝

.隔离R进行受力分析，根据牛顿第二定律有F1－3μmg＝3ma，解得R和Q之间相互作用力大小F1＝

F；隔离P进行受力分析，根据牛顿第二定律有F－F2－μmg＝ma，解得Q与P之间相互作用力大小F2＝

F.所以k＝

＝

＝

，由于推导过程与μ是否为0无关，故选项B、D正确．

10．（多选）在小车车厢的顶部用轻质细线悬挂一质量为m的小球，在车厢水平底板上放着一个质量为M的木块．当小车沿水平地面向左匀减速运动时，木块和车厢保持相对静止，悬挂小球的细线与竖直方向的夹角是30°，如图10所示．已知当地的重力加速度为g，木块与车厢底板间的动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法正确的是（　　）

图10

A．此时小球的加速度大小为

g

B．此时小车的加速度方向水平向左

C．此时木块受到的摩擦力大小为

Mg，方向水平向右

D．若增大小车的加速度，当木块相对车厢底板即将滑动时，小球对细线的拉力大小为

mg

答案　CD

解析　小车沿水平地面向左匀减速运动时，加速度方向水平向右，选项B错误．因为小球和木块都相对车厢静止，则小球和木块的加速度与小车的加速度大小相等，设加速度大小为a，对小球进行受力分析，如图所示．

根据牛顿第二定律可得F合＝ma＝mgtan30°，a＝gtan30°＝

g，选项A错误．此时木块受到的摩擦力大小Ff＝Ma＝

Mg，方向水平向右，选项C正确．木块与车厢底板间的动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当木块相对车厢底板即将滑动时，木块的加速度大小为a1＝μg＝0.75g，此时细线对小球的拉力大小F1＝

＝

mg，由牛顿第三定律知小球对细线的拉力大小为

mg，选项D正确．

二、非选择题

11.（2019·湘西州高一第一学期期末）如图11所示，在光滑水平面上，A、B两物块在水平推力F＝6N的作用下一起做匀加速直线运动，运动过程中测出A和B在2.0s时间内的速度变化量是4m/s，已知A的质量为1kg，求：

图11

（1）B的质量；

（2）A、B之间的弹力大小．

答案　

（1）2kg　

（2）4N

解析　

（1）以A、B整体为研究对象，a＝

＝2m/s2

由牛顿第二定律得F＝（mA＋mB）a

解得mB＝2kg.

（2）以B为研究对象，由牛顿第二定律得

FAB＝mBa.

解得FAB＝4N.

12.（2019·攀枝花市高一上学期期末）如图12所示，光滑水平面上放有光滑直角斜面体，倾角θ＝30°，质量M＝2.5kg.平行于斜面的轻质弹簧上端固定，下端与质量m＝1.5kg的铁球相连，静止时弹簧的伸长量Δl0＝2cm.重力加速度g取10m/s2.现用向左的水平力F拉着斜面体向左运动，铁球与斜面体保持相对静止，当铁球对斜面体的压力为0时，求：

图12

（1）水平力F的大小；

（2）弹簧的伸长量Δl.

答案　

（1）40

N　

（2）8cm

解析　

（1）当铁球与斜面体一起向左加速运动，对斜面体压力为0时，设弹簧拉力为FT，铁球受力如图甲，由平衡条件、牛顿第二定律得：

FTsinθ＝mg

FTcosθ＝ma

对铁球与斜面体整体，由牛顿第二定律得：

F＝（M＋m）a

联立以上三式并代入数据得：

FT＝30N，F＝40

N

（2）铁球静止时，设弹簧拉力为FT0，铁球受力如图乙，由平衡条件得：

FT0＝mgsinθ

由胡克定律得：

FT0＝kΔl0

FT＝kΔl

联立以上三式并代入数据得：

Δl＝8cm.

13.（拓展提升）如图13所示，可视为质点的两物块A、B，质量分别为m、2m，A放在一倾角为30°并固定在水平面上的光滑斜面上，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮，两端分别与A、B相连接．托住B使两物块处于静止状态，此时B距地面高度为h，轻绳刚好拉紧，A和滑轮间的轻绳与斜面平行．现将B从静止释放，斜面足够长，B落地后静止，重力加速度为g.求：

图13

（1）B落地前绳上的张力的大小FT；

（2）整个过程中A沿斜面向上运动的最大距离L.

答案　

（1）mg　

（2）2h

解析　

（1）设B落地前两物块加速度大小为a，对于A，取沿斜面向上为正；对于B，取竖直向下为正，由牛顿第二定律得FT－mgsin30°＝ma,2mg－FT＝2ma，解得FT＝mg.

（2）由

（1）得a＝

.设B落地前瞬间两物块的速度为v，B自下落开始至落地前瞬间的过程中，A沿斜面运动距离为h，由运动学公式得v2＝2ah；设B落地后A沿斜面向上运动的过程中加速度为a′，沿斜面向上运动的最大距离为s，则a′＝－gsin30°，由运动学公式得－v2＝2a′s.由以上各式得s＝h，则整个过程中，A沿斜面向上运动的最大距离L＝s＋h＝2h.

14.（拓展提升）如图14所示，矩形盒内用两根细线固定一个质量为m＝1.0kg的均匀小球，a线与水平方向成53°角，b线水平．两根细线所能承受的最大拉力都是Fm＝15N．（cos53°＝0.6，sin53°＝0.8，g取10m/s2）求：

图14

（1）当该系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值；

（2）当该系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值．

答案　

（1）2m/s2　

（2）7.5m/s2

解析　

（1）竖直向上匀加速运动时，小球受力如图所示，当a线拉力为15N时，由牛顿第二定律得：

y轴方向有：

Fmsin53°－mg＝ma

x轴方向有：

Fmcos53°＝Fb

解得Fb＝9N，此时加速度最大值a＝2m/s2

（2）水平向右匀加速运动时，由牛顿第二定律得：

竖直方向有：

Fa′sin53°＝mg

水平方向有：

Fb′－Fa′cos53°＝ma′

解得Fa′＝12.5N

当Fb′＝15N时，加速度最大，此时a′＝7.5m/s2.