用函数观点看方程和不等式.docx
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用函数观点看方程和不等式
八年数学上第1单元《用函数观点看方程（组）与不等式》练习5
一、探究交流
1如图11－39所示，l甲，l乙分另表示甲、乙两．弹簧的长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系的图像，设甲弹簧每挂1kg的物体，伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg的物体，伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的大小关系为（）
A．k甲＞k乙B．k甲=k乙
C．k甲﹤k乙D．不能确定
点拨从图像上观察到，l甲与横轴所夹锐角比l乙与横轴所夹锐角大，故k甲＞k乙，故选A项．
2如图11－41所示，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图像可知，快者的速度比慢者的速度每秒快（）
A．2．5MB．2MC．1．5MD．lM
点拨由图像可知，OA表示正比例函数，经过点A（8，64）和原点O（0，0），BA表示一次函数，经过点A（8，64）和B（0，12）求出函数表达式，就能判断两者的速度大小．
该直线OA的表达式为s=v1t．
直线BA的表达式为s＝12+v2t．
将点（8，64）分别代入，得64=8v1，64=8v2+12．
∴v1=8，v2=6．5．
∴v1-v2＝8-6．5＝1．5（M／秒）．
故正确答案为C项．
3A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往张村和李庄，从A城运往张村、李庄的运费分别是20元／吨与25元/吨，从B城运往张村、李庄的运费分别为15元，／吨和22元／吨，现已知张村需要220吨，李庄需要280吨，如果某个个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运运费最少？
点拨两城现有的化肥数量恰好等于两地所需的化肥数量．
设A城化肥运往张村x吨，则运往李庄（200-x）吨，B城化肥运往张村（220-x）吨，运往李庄［280-（200-x）］=80+x（吨）,总运费为y元，根据题意，得
y=20x+25（2O0-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060.
其中0≤x≤200，∴当x=0时，y最小值=10060．
此时200-x=200（吨），220-x=220（吨），80+x=80+0=80（吨）．
答：
最少运费的调运方案是从A城运往李庄200吨，从B城运往张村220吨，运往李庄80吨，此时最少运费为10060元．
4某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200吨成品，从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品．
（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（吨）与从乙开始投产后所用时间x（天）之间的函数关系式，并求出第几天结束后，甲、乙两生产线的总产量相同；
（2）在直角坐标系中做出上述两个函数在第一象限内的图像，观察图像分别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量高．
点拨
（1）由题意可知，甲生产线生产时对应的函数关系式为y=20x+100．
乙生产线生产时对应的函数关系式为y=30x．
令20x+200=30x，解得x=20．
∴当第20天结束时，两条生产线的总产量相同．
（2）由
（1）可知，甲生产线所对应的函数图像一定经过两点A（0，200），B（0，600），乙生产线所对应的函数图像一定经过两点O（0，0）和B（20，600），画出两个函数图像如图11－42所示．
由图像可知，第15天结束时，甲生产线的总产量高；
5（2003·黄冈）在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型性肺炎的抗生素．据临床观察：
如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（时）之间的关系近似地满足如图11-44所示的折线．
（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）据临床观察，每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的，如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？
这个有效时间有多长？
（3）假设某病人一天中第一次注射药液是早晨6点，问怎样安排此人从6：
00到20：
00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？
点拨
（1）此图像是由两条线段组成的，利用待定系数法可分别求出这两条线段的函数关系式；
（2）从图中发现，当y=4时，在这两条线段上都有对应的时间t，这两个时间的差就是有效时间，而正比例函数中的对应时间就是控制病情有效时间的开始；（3）利用函数图像及病人体内的药液含量求出时间．
解：
（1）当0≤t≤1时，设y=k1t，则6＝k1·1，
∴h1=6，∴y=6t.
当1﹤t≤10时，设y=k2t+b，
∴
∴
∴y=-
.
∴y与x之间的函数关系式是
y=
（2）当0≤t≤1时，令y=4，即6t=4，∴t=
；
当1﹤t≤10时，令y=4，即-
t+
=4,∴t=4.
∴注射药液
小时后开始有效，有效时间长为4-
（时）.
（3）设第二次注射药液的时间是t1小时后，
则-
t+
=4,∴t1=4（时）.
∴第二次注射药液的时间是10：
00.
设第三次注射药液的时间是在第一次注射药液t2小时后，此时体内的含药量是第一次注射药液的含药量与第二次注射药液的含药量之和,
∴-
t2+
（t2-4）+
=4,∴t2=9（时）.
∴第三次注射药液的时间是15：
00.
设第四次注射药液的时间是在第一次注射药液t3小时后，此时体内不再含有第一次注射的药液（∵t﹥10），体内的含药量是第二次注射药液的含药量与第三次注射药液的含药量之和，
∴-
（t3-4）+
（t3-9）+
=4,
∴t3=13
（时）.
∴第四次注射药液的时间是19：
30．
∴安排此人注射药液的时间分别是6：
00，10：
00，15：
00，19：
30．这样安排才能使病人的治疗效果最好．
6（中考预测题）如图11－45所示，弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间是一次函数关系，则该弹簧挂9km物体时的长度为cm．
[分析]设y＝kx+b，把点（5，4．5），（20，22）代入解读式可得
∴
∴y=
x-
.
∴当x=9时，y=
×9-
=
（cm）.
∴当弹簧挂9kg物体时，弹簧总长为
cm.
答案：
7（2004·南通）小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦（即0．009千瓦）的节能灯，售价49元／盏，另一种是40瓦（即0．04千瓦）的白炽灯，售价18元／盏，假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦·时0．5元．
（1）设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和一盏白炽灯的费用y（元）；（注：
费用=灯的售价+电费）
（2）小刚想在这两种灯中选购一盏；
①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？
②分别画出两个函数的图像，利用函数图像判断：
a.照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；
b．照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低．
（3）小刚想在这两种灯中选购两盏．
假定照明时间是3000小时，使用寿命就是2800小时，请你帮助他设计一种费用最低的选灯方案，并说明理由．
[分析]本题关键求出照明时间x（时）与费用y（元）之间的函数关系.
解：
（1）选用一种节能灯，费用y（元）与照明时间x（时）之间的函数关系式是
y=49+0．009×O．5x＝0.0045x+49（0≤x≤2800）；
选用一种白炽灯，费用y（元）与时间x（时）之间的函数关系式是
y=18+0．04×O．5x＝O．02x+18（0≤x≤2800）．
（2）①由题意可知，0．0045x+49=0．02x+18，∴x＝2000．
∴照明时间在2000小时时，两种灯任选其一即可．
②画出这两个一次函数的图像如图11－46所示．由图像可知，
a.当照明范围是0≤x≤2000时，使用白炽灯费用低．
b．当照明范围是2000﹤x﹤2800时，使用节能灯费用低．
（3）分下列三种情况讨论：
①如果选用两盏节能灯，则总费用是49×2+0．0045×3000=111．5（元）.
②如果选用两盏白炽灯，则总费用是18×2十O．O2×3000=96（元）
③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由
（2）可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比用白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时时，费用最低，总费用是49+18+O．O045×280O+0．02×（3000-280O）=83．6（元）．
综上所述，应各选用一盏灯，且节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时，费用最低．
【说明】（3）问中③也可设节能灯用t1小时，则白炽灯用（3000-t1）小时，总费用为y=49+0.0045t1+18+0.02（3000-t1）=127-0.0155t1（0≤t1≤2800）.
∵-0.0155﹤0，∴y随t1的增大而减小.
∴当t1=2800时，y最小值=127-0.0155×2800=83.6（元）.
此时，节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，所以，应采用③，两盏灯各买1盏，且节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，此时费用最低.
8（2004·四川）某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件，可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．
（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？
[分析]本题主要考查用函数观点来解决实际问题，关键是正确找出y与x之间的函数关系式．
解：
（1）此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式是
y=6x·150+5（20-x）·260=26000-400x（0≤x≤20）．
（2）当y≥24000时，有26000-400x≥24000，
∴x≤5，
∴20-x≥15．
∴要想使每天车间所获利润不低于24000元，至少要派15名工人去制造乙种零件才合适。
9（2004·河北）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表．
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800元
1600元
B地区
1600元
1200元
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．
[分析]先求出总租金y（元）与x（台）之间的函数关系式．
解：
租赁公司收割机总数等于A，B两地区所需收割机总和．
（1）派往A地区x台乙型联合收割机，则派往A地区（30-x）台甲型联合收割机，派往B地区（30-x）台乙型联合收割机，派往B地区20-（30-x）=x-10（台）甲型联合收割机．
∴y=1600x+120O（30-x）+180O（30-x）+1600（x-10）＝20Ox+74000．
自变量x的取值范围是10≤x≤30（x是正整数），
（2）由题意得20Ox+74000≥7960O，∴x≥28．
∴x＝28，29，30．
∴有3种不同分配方案．
①当x=28时，即派往A地区甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，派往B地区甲型联合收割机18台，乙型联合收割机2台．
②当x=29时，即派往A地区甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，派往B地区甲型联合收割机19台，乙型联合收割机1台．
③当x=30时，即30台乙型联合收割机全部派往A地区，20台甲型联合收割机全部派往B地区．
（3）由于一次函数y=200x+74000的y值是随着x的增大而增大的，所以，当x=30时，y取最大值，如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x=30时，y＝6000+74000=80000（元）．
建议农机公司将30台乙型联合收割机全部派往A地区，20台甲型联合收割机全部派往B地区，可使公司获得的租金最高．
10（2004·福州）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图像经过第二、四象限，则（）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的增大而增大
C．当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
D．不论x如何变化，y不变
[分析]本题主要考查正比例函数的性质，∵图像经过第二、四象限，∴k＜0，∴y随x增大而减小，因此，正确答案为A项．
11（2004·昆明）我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务．甲厂的优惠条件是：
按每份定价1．5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：
每份定价1．5元的价格不变，而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：
一次印刷数至少是500份．
（1）分别求两个印刷厂收费y（元）与印刷数量x（份）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？
如果这个中学要印制2000份录取通知书，那么应选择哪个厂？
需要多少费用？
解：
（1）y甲=1．5×80％·x+900=1．2x+900（x≥500）；
y乙=1．5x+900×60％=1．5x+540（x≥500）．
（2）①当y甲＝y乙时，两个印刷厂费用相等，有
1．2x+90O=1．5x+54O，
∴x=1200．
∴当印刷数量x=1200份时，两个印刷厂费用一样，二者任选其一.
②当y甲﹤y乙时，选择甲印刷厂费用少，比较合算，有
1．2x+900﹤1．5x+540，
∴x＞1200．
∴当印刷数量x＞1200份时，选择甲印刷厂费用少，合算．
③当y甲＞y乙时，选择乙印刷厂费用少，比较合算，有
1．2x+900＞1．5x+540，
∴500≤x﹤1200
∴当节刷数量500份≤x≤1200份时，选择乙印刷厂费用少，比较合算.
由②可知，当印制2000份时，选择甲印刷厂比较合算．
所需费用y甲=1．2×2000+900=3300（元）．
∴如果要印制2000份录取通知书，应选择甲印刷厂，需要3300元．
12（2004·福州）如图11－47所示，l1，l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用=灯的售价+电费，单位：
元）与照明时间x（时）的函数图像，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．
（1）根据图像分别求出l1，l2的函数关系式；
（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？
（3）小亮房间计划照明用2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法．（直接写出答案，不必写出解答过程）
[分析]首先求出l1，l2的函数关系式．
解：
（1）设直线l1的解读式为y1=k1x+2，
由图像可得17=500k1+2，∴k1=0．03．
∴y1=0.03x+2（0≤x≤2000）.
设直线l2的解读式为y2=k2x+20，
由图像可得26=500k2+20，∴k2=0.012.
∴y2=0.012x+20（0≤x﹤2000）
（2）当y1=y2时，两种灯的费用相等，即
0．03x+2＝O．012x+2O，∴x＝1000．
∴当照明时间为1000小时时，两种灯的费用相等．
（3）最省钱的设计方案是节能灯使用2000小时，白炽灯使用500小时，设计理由如下：
设白炽灯使用x1小时，则节能灯使用（250O-x1）小时，则费用
y=0．03x1+2+0．012（2500-x1）+20=0．018x1+52（500≤x1≤200O）．
∵0．018＞0，∴y随x1的增大而增大．
∴当x1=500时，y最小值=0．018×500+52＝61（元）．
因此，最省钱的设计方案是：
白炽灯使用500小时，节能灯使用2000小时．
13（2004·南宁）如图11－48所示，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司已经赢利（收入大于成本）时，销售量（）．
A．小于3吨B．大于3吨
C．小于4吨D．大于4吨
[分析]由图像可知，
l1的关系式为y1=1000x；
l2的关系式为y2=500x+2000．
当公司赢利时，有y1＞y2，
∴1000x＞500x+2000，∴x＞4．
∴当销售量大于4吨时，该公司赢利，故正确答案为D项．
14（2004·山东）已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见下表．
海拨高度/M
0
100
200
300
400
…
平均气温/℃
24
23．4
22．8
22．2
21．6
…
（1）若海拔高度用x（M）表示，平均气温用y（℃）表示，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若某种植物适宜生长在18～21℃（包括18℃，也包括21℃）的山区，请问该植物适宜种植在海拔为多少M的山区？
[分析]关键是找到y与x之间的函数关系式．由图表可以发现：
海拔每升高100M，平均气温下降0．6℃，即海拔每升高1M，平均气温下降0．006℃．
解：
（1）y＝24-
=24-0.006x（x≥0）
（2）∵y=24-0．006x中，k=-0．006＜0，
∴y随x的增大而减小．
∴当y=18时，24-0．006x=18，∴x=1000；
当y=21时，24-0．006x=21，∴x=500．
∴500≤x≤1000．
∴该植物适宜种植在海拔为500M至1000M（包括500M和1000M）的山区．
15（2004·贵阳）某影碟出租店开设两种租碟方式：
一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0．4元．小张经常来该店租碟，若每月租碟数量为x张．
（1）写出零星租碟方式应付金额y1（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式；
（2）写出会员卡租碟方式应付金额y2（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式；
（3）小张选取哪种租碟方式更合算？
［分析］首先写出y1，y2与x之间的函数关系式，再利用分类讨论方法来解决（3）题即可．
解：
（1）y1=x（x≥0）．
（2）y2=12+0．4x（x≥0）．
（3）分三种情况讨论：
①当y1=y2时，两种租碟方式应付金额相等，任选其一即可．
有x＝12+0．4x，
∴x＝20．
∴当租碟20张时，两种方式选一即可．
②当y1＜y2时，零星租碟合算．
有x＜12+0．4x，
∴x＜20．
∴当租碟少于20张时，零星租碟合算．
③当y1＞y2时，会员卡租碟合算．
有x＞12+0．4x，
∴x＞20．
∴当租碟多于20张时，会员卡租碟合算．
16（2004·西宁）我国很多城市风水资源缺乏．为了加强居民的节水意识，某市制定了每月用水4吨以内（包括4吨）和4吨以上两种收费标准（收费标准：
每吨水的价格），某用户应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图像如图11－49所示．
（1）观察图像，求出函数在不同范围内的解读式；
（2）说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准；
（3）若某用户该月交水费12．8元，求他用了多少吨水．
解：
（1）当0≤x≤4时，图像是正比例函数，设y＝k1x（k1≠0）．
由图像可知，当x=4时，y=4．8，
∴4．8=4k1,∴k1＝1．2，∴y＝1．2x．
当x＞4时，图像是一次函数，设y=k2x+b（k2≠0）
由图像可知，图像经过点（4，4．8）和（6，8）代入得
∴
∴y=1.6x-1.6.
∴函数解读式为
y=
（2）自来水公司的收费标准是：
不超过4吨（含4吨）时，每吨水1．2元；超过4吨时，每吨水1．6元．
（3）当y=12．8时，1．6x-1．6=12．8，∴x=9．
∴某用户该月交水费12．8元，他用了9吨水．
17（2004·宁夏）某拖拉机的油箱可储油40升，加满油并开始工作后，油箱中的余油量y（升）与工作时间x（时）之间的一次函数关系如图11－50所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？
解：
（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）.
由题意可知
∴
∴y与x之间的函数关系式为y=-5x+40（x≤x≤8）
（2）当y=0时，有-5x+40=0，
∴x＝8．
∴一箱油可供拖拉机工作8小时．
18（2004·大连）4×100M接力赛是学校运动会最精彩的工程之一，如图11－51所示，图中的实线和虚线分别是初三·一班、初三·二班代表队在比赛时运动员所跑的路程y（M）与所用时间x（秒）的函数图像（假设每名运动员跑步速度不变，交接棒时间忽略不计）．请回答下列问题．
（1）初三·二班跑得最快的是第接力棒的运动员；
（2）发令后多长时间两班运动员第一次并列？
[分析]
（1）由图像可知，初三·二班第一棒运动员1OOM用时12秒，第二棒运动员1OOM用时25-12=13（秒），第三棒、第四棒运动员10OM分别用时41-25=16（秒）55-41=14（秒），∴第一棒的运动员跑得最快．
（2）求出两个班的y与x之间的函数关系式即可．
解：
（1）一
（2）方法l：
由题意可知，一班第三棒运动员的运动图像经过（28，200），（40，300），设其解读式为y1=k1x＋b1；二班第三棒运动员的运动图像经过（25，200），（41，300），设其解读式为y2=k2x＋b2，得
解得
∴y1=
y2=
当y1=y2时，
∴x=37.
∴发令37秒后两班运动员第一次并列.
方法2：
观察分析图像可知，一班第三棒运动员的速度为
（M/秒），二班第三棒运动员的速度为
（M/秒），二班的第三棒运动员比一班的第三棒运动员早出发3秒.设一班第三棒运动员出发x秒时追上二班运动员，得
，解得x=9，∴28+9=37（秒）.∴发令37秒后两班运动员第一次并列.
二、测评及答案
1．幸福村村办工厂今年前5个月生产某种产品的月产量c（件）关于时间t（月）的函数图像如图11-52所示，则对于这种产品来说（）
A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产总量逐月减少
B．1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产总量与3月持平
C．1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月均停止生产
D．1月至3月每月生产总量不变，4，5两月均停止生产
2．函数y=-x+4（-2≤x≤5）的图像与x轴的交点坐标是，函数的最大值是.
3．若直线y=3x+k与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则k=.
4．如果直线y=k1x+4和直线y=k2x-1的交点在x轴上，那么k1：
k2=.
5.若点P（a,b）在第四象限，则y=ax+b不经过第象限.
6．若直线y=kx+b经过点A（m,-1），B（1，m）（其中m＜-1＝，则这条直线不经过第象限.
参考答案
1．B
2.（4，0），6
[提示：
令y=0，则有-x+4=0，∴x=4，∴它
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