【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．（ √ ）
（2）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．（ √ ）
（3）正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．（ √ ）
（4）一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．（ √ ）
（5）均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．（ × ）
1．（教材改编）某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E（ξ）＝8.9，则y的值为（ ）
A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9
答案 A
解析 由
可得y＝0.4.
2．设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝
（k＝2,4,6,8,10），则D（ξ）等于（ ）
A．8B．5
C．10D．12
答案 A
解析 E（ξ）＝
（2＋4＋6＋8＋10）＝6，
D（ξ）＝
[（－4）2＋（－2）2＋02＋22＋42]＝8.
3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B（10,0.6），则随机变量η的均值E（η）及方差D（η）分别是（ ）
A．6和2.4B．2和2.4
C．2和5.6D．6和5.6
答案 B
解析 设随机变量X的均值及方差分别为E（X），D（X），
因为X～B（10,0.6），所以E（X）＝10×0.6＝6，
D（X）＝10×0.6×（1－0.6）＝2.4，
故E（η）＝E（8－X）＝8－E（X）＝2，
D（η）＝D（8－X）＝D（X）＝2.4.
4．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a（a为非零常数，i＝1,2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为________．
答案 1＋a,4
解析
＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.
5．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N（100,102），已知P（90≤ξ≤100）＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．
答案 10
解析 由题意知，P（ξ>110）＝
＝0.2，
∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.
题型一 离散型随机变量的均值、方差
命题点1 求离散型随机变量的均值、方差
例1 （2016·山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是
，乙每轮猜对的概率是
，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（2）“星队”两轮得分之和X的分布列和均值E（Χ）．
解
（1）记事件A：
“甲第一轮猜对”，记事件B：
“乙第一轮猜对”，
记事件C：
“甲第二轮猜对”，记事件D：
“乙第二轮猜对”，
记事件E：
“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，得E＝ABCD＋
BCD＋A
CD＋AB
D＋ABC
，
由事件的独立性与互斥性，
P（E）＝P（ABCD）＋P（
BCD）＋P（A
CD）＋P（AB
D）＋P（ABC
）
＝P（A）P（B）P（C）P（D）＋P（
）P（B）P（C）P（D）＋P（A）P（
）P（C）P（D）＋P（A）P（B）P（
）P（D）＋P（A）P（B）P（C）P（
）
＝
×
×
×
＋2×
＝
.
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为
.
（2）由题意，得随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
P（X＝0）＝
×
×
×
＝
，
P（X＝1）＝2×
＝
＝
，
P（X＝2）＝
×
×
×
＋
×
×
×
＋
×
×
×
＋
×
×
×
＝
，
P（X＝3）＝
×
×
×
＋
×
×
×
＝
＝
，
P（X＝4）＝2×
＝
＝
，
P（X＝6）＝
×
×
×
＝
＝
.
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
所以均值E（X）＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＋4×
＋6×
＝
.
命题点2 已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值
例2 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：
取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
（1）当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E（η）＝
，D（η）＝
，求a∶b∶c.
解
（1）由题意得ξ＝2,3,4,5,6，
故P（ξ＝2）＝
＝
，P（ξ＝3）＝
＝
，
P（ξ＝4）＝
＝
，P（ξ＝5）＝
＝
，
P（ξ＝6）＝
＝
.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
（2）由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P
所以E（η）＝
＋
＋
＝
，
D（η）＝
2·
＋
2·
＋
2·
＝
，化简得
解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.
思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略
（1）求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．
（2）由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程（组），解方程（组）即可求出参数值．
（3）由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．
（2015·四川）某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和均值．
解
（1）由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为
＝
.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
1－
＝
.
（2）根据题意，X的可能取值为1,2,3，
P（X＝1）＝
＝
，
P（X＝2）＝
＝
，
P（X＝3）＝
＝
，
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
因此，X的均值为E（X）＝1×P（X＝1）＋2×P（X＝2）＋3×P（X＝3）＝1×
＋2×
＋3×
＝2.
题型二 均值与方差在决策中的应用
例3 （2016·全国乙卷）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
解
（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而
P（X＝16）＝0.2×0.2＝0.04，
P（X＝17）＝2×0.2×0.4＝0.16，
P（X＝18）＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，
P（X＝19）＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，
P（X＝20）＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2，
P（X＝21）＝2×0.2×0.2＝0.08，
P（X＝22）＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
（2）由
（1）知P（X≤18）＝0.44，P（X≤19）＝0.68，故n的最小值为19.
（3）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：
元）．
当n＝19时，E（Y）＝1
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