全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及解析.docx

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全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及解析

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

（1）设

，则

=.

（2）曲线

的斜渐近线方程为.

（3）

.

（4）微分方程

满足

的解为.

（5）当

时，

与

是等价无穷小，则k=.

（6）设

均为3维列向量，记矩阵

，

，

如果

，那么

.

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）设函数

，则f（x）在

内[]

（A）处处可导.（B）恰有一个不可导点.

（C）恰有两个不可导点.（D）至少有三个不可导点.

（8）设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，

表示“M的充分必要条件是N”，则必有[]

（D）F（x）是偶函数

f（x）是奇函数.

（B）F（x）是奇函数

f（x）是偶函数.

（C）F（x）是周期函数

f（x）是周期函数.

（D）F（x）是单调函数

f（x）是单调函数.

（9）设函数y=y（x）由参数方程

确定，则曲线y=y（x）在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是[]

（A）

.（B）

.

（C）

.（D）

.

（10）设区域

，f（x）为D上的正值连续函数，a,b为常数，则

[]

（A）

.（B）

.（C）

.（D）

.

（11）设函数

其中函数

具有二阶导数，

具有一阶导数，则必有[]

（A）

.（B）

.

（C）

.（D）

.

（12）设函数

则[]

（A）x=0,x=1都是f（x）的第一类间断点.

（B）x=0,x=1都是f（x）的第二类间断点.

（C）x=0是f（x）的第一类间断点，x=1是f（x）的第二类间断点.

（D）x=0是f（x）的第二类间断点，x=1是f（x）的第一类间断点.

（13）设

是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为

，则

，

线性无关的充分必要条件是[]

（A）

.（B）

.（C）

.（D）

.

（14）设A为n（

）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,

分别为A,B的伴随矩阵，则[]

（A）交换

的第1列与第2列得

.（B）交换

的第1行与第2行得

.

（C）交换

的第1列与第2列得

.（D）交换

的第1行与第2行得

.三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分11分）设函数f（x）连续，且

，求极限

（16）（本题满分11分）

如图，

和

分别是

和

的图象，过点（0,1）的曲线

是一单调增函数的图象.过

上任一点M（x,y）分别作垂直于x轴和y轴的直线

和

.记

与

所围图形的面积为

；

与

所围图形的面积为

如果总有

，求曲线

的方程

（17）（本题满分11分）

如图，曲线C的方程为y=f（x），点（3,2）是它的一个拐点，直线

与

分别是曲线C在点（0,0）与（3,2）处的切线，其交点为（2,4）.设函数f（x）具有三阶连续导数，计算定积分

（18）（本题满分12分）

用变量代换

化简微分方程

，并求其满足

的特解.

（19）（本题满分12分）已知函数f（x）在[0，1]上连续，在（0,1）内可导，且f（0）=0,f

（1）=1.证明：

（I）存在

使得

；（II）存在两个不同的点

，使得

（20）（本题满分10分）

已知函数z=f（x,y）的全微分

，并且f（1,1,）=2.求f（x,y）在椭圆域

上的最大值和最小值.

（21）（本题满分9分）

计算二重积分

，其中

.

（22）（本题满分9分）

确定常数a,使向量组

可由向量组

线性表示，但向量组

不能由向量组

线性表示.

（23）（本题满分9分）

已知3阶矩阵A的第一行是

不全为零，矩阵

（k为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.