【解析】 利用特值法，令a＝－2，b＝2.
则
<
，A错；
<0，B错；a2＝b2，C错.
【答案】 D
2.一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有（ ）
A.a1＝－2，d＝3B.a1＝2，d＝－3
C.a1＝－3，d＝2D.a1＝3，d＝－2
【解析】 ∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，
∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.
【答案】 A
3.已知△ABC的三个内角之比为∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于（ ）
A.3∶2∶1B.
∶2∶1
C.
∶
∶1D.2∶
∶1
【解析】 ∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°.
∴a∶b∶c＝sin90°∶sin60°∶sin30°
＝1∶
∶
＝2∶
∶1.
【答案】 D
4.在坐标平面上，不等式组
所表示的平面区域的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.2
【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求.B，C两点横坐标分别为－1，
.
∴S△ABC＝
×2×
＝
.
【答案】 B
5.已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若∠A＝
，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】 由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，
故tanB＝2sinA＝2sin
＝
，又∠B∈（0，π），所以∠B＝
.
又∠A＝∠B＝
，则△ABC是正三角形，
所以S△ABC＝
bcsinA＝
×1×1×
＝
.
【答案】 B
6.等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为（ ）
A.3B.4C.5D.6
【解析】 设等差数列的首项为a1，公差为d，
则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，
又∵a2·a6＝a
，
∴（a1＋2d）2＝（a1＋d）（a1＋5d），
∴d＝－2a1，∴q＝
＝3.
【答案】 A
7.若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈
恒成立，则a的最小值为（ ）
A.0B.－2C.－
D.－3
【解析】 x2＋ax＋1≥0在x∈
上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥
max，∵x＋
≥
，
∴－
≤－
，∴a≥－
.
【答案】 C
8.已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（ ）
A.a1d>0，dS4>0B.a1d<0，dS4<0
C.a1d>0，dS4<0D.a1d<0，dS4>0
【解析】 ∵a3，a4，a8成等比数列，∴a
＝a3a8，∴（a1＋3d）2＝（a1＋2d）（a1＋7d），展开整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－
d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋
d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－
d2<0.
【答案】 B
9.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则a10等于（ ）
A.1024B.1023C.2048D.2046
【解析】 a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，a10－a9＝29，
上面各式相加，得a10＝1＋2＋22＋…＋29＝
＝210－1＝1023，故选B.
【答案】 B
10.设x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax＝by＝3，a＋b＝2
，则
＋
的最大值为（ ）
A.2 B.
C.1 D.
【解析】 ∵2
＝a＋b≥2
，∴ab≤3.
由ax＝by＝3得x＝loga3，y＝logb3，
∴
＋
＝
＋
＝log3a＋log3b＝log3ab≤log33＝1.故选C.
【答案】 C
11.△ABC的内角A，B，C所
对的边分别为a，b，c，若∠B＝2∠A，a＝1，b＝
，则c＝（ ）
A.2
B.2C.
D.1
【解析】 由正弦定理得：
＝
，
∵∠B＝2∠A，a＝1，b＝
，
∴
＝
.
∵A为三角形的内角，∴sinA≠0.
∴cosA＝
.
又0＜∠A＜π，∴∠A＝
，∴∠B＝2∠A＝
.
∴∠C＝π－∠A－∠B＝
，∴△ABC为直角三角形.
由勾股定理得c＝
＝2.
【答案】 B
12.一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（ ）
A.13项B.12项C.11项D.10项
【解析】 设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积a
q3＝2，后三项之积a
q3n－6＝4，两式相乘，得a
q3（n－1）＝8，即a
qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以a
·q
＝64，即（a
qn－1）n＝642，即2n＝642，所以n＝12.
【答案】 B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）
13.在△ABC中，BC＝2，∠B＝
，当△ABC的面积等于
时，sinC＝________.
【解析】 由三角形的面积公式，得S＝
AB·BCsin
＝
，易求得AB＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
，得AC＝
，再由三角形的面积公式，得S＝
AC·BCsinC＝
，即可得出sinC＝
.
【答案】
14.若变量x，y满足约束条件
则3x＋y的最大值是________.
【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z，平移直线y＝－3x知当直线y＝－3x＋z过点A时，z取得最大值.
由
可得A（3,1）.
故zmax＝3×3＋1＝10.
【答案】 10
15.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元（叫做税率k%），则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k的取值范围为________.
【解析】 设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70（100－10k）k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.
【答案】 [2,8]
16.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋，则a1＝________，S5＝________.
【解析】 ∵an＋1＝2Sn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，
∴Sn＋1＋
＝3
，
∴数列
是公比为3的等比数列，
∴
＝3.
又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋
＝
×34＝
×34＝
，
∴S5＝121.
【答案】 1 121
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m＝（a2＋c2－b2，－
a），n＝（tanB，c），且m⊥n，求∠B的值.
【解】 由m⊥n得
（a2＋c2－b2）·tanB－
a·c＝0，
即（a2＋c2－b2）tanB＝
ac，得a2＋c2－b2＝
，
所以cosB＝
＝
，
即tanBcosB＝
，即sinB＝
，
所以∠B＝
或∠B＝
.
18.（本小题满分12分）在等差数列{an}中，S9＝－36，S13＝－104，在等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7,求b6.
【解】 ∵S9＝－36＝9a5，∴a5＝－4，
∵S13＝－104＝13a7，∴a7＝－8.
∴b
＝b5·b7＝a5·a7＝32.
∴b6＝±4
.
19.（本小题满分12分）已知数列{log2（an－1）}为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
【解】
（1）设等差数列{log2（an－1）}的公差为d.由a1＝3，a3＝9，得2（log22＋d）＝log22＋log28，解得d＝1，∴log2（an－1）＝1＋（n－1）×1＝n，∴an＝2n＋1.
（2）∵an＝2n＋1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝（2＋1）＋（22＋1）＋…＋（2n＋1）＝（2＋22＋…＋2n）＋n＝
＋n＝2n＋1＋n－2.
20.（本小题满分12分）解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a∈R）.
【解】 原不等式可化为
ax2＋（a－2）x－2≥0⇒（ax－2）（x＋1）≥0.
（1）当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1；
（2）当a>0时，原不等式化为
（x＋1）≥0⇒x≥
或x≤－1；
（3）当a<0时，原不等式化为
（x＋1）≤0.
①当
>－1，即a<－2时，原不等式等价于－1≤x≤
；
②当
＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；
③当
<－1，即－2≤x≤－1.
综上所述：
当a<－2时，原不等式的解集为
；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2；
当a＝0时，原不等式的解集为（－∞，－1]；
当a>0时，原不等式的解集为（－∞，－1]∪
.
21.（本小题满分12分）如图1，在扇形AOB中，圆心角等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC的面积的最大值及此时θ的值.
图1
【解】 ∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°.
在△POC中，由正弦定理得：
＝
，即
＝
，∴CP＝
sinθ.
又∵
＝
，∴OC＝
sin（60°－θ）.
∴△POC的面积为S△POC＝
CP·OCsin120°
＝
×
sinθ·
sin（60°－θ）×
＝
sinθsin（60°－θ）＝
sinθ
＝
sin（2θ＋30°）－
，θ∈（0°，60°）.
∴当θ＝30°时，△POC的面积取得最大值
.
22.（本小题满分12分）某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1tA,1tB产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：
原料
每种产品所需原料（t）
现有原料数（t）
A
B
甲
2
1
14
乙
1
3
18
利润（万元/t）
5
3
—
（1）在现有原料条件下，生产A，B两种产品各多少时，才能使利润最大？
（2）每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？
当超出这个范围时，最优解有
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