初中数学三角函数难题.docx
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初中数学三角函数难题
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1．已知等边△ABC内接于⊙O，点D是⊙O上任意一点，则sin∠ADB的值为（）
A．1B．C．D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折
叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是．
3．观察下列等式
①sin30°=cos60°=
②sin45°=cos45°=
③sin60°=cos30°=
⋯
根据上述规律，计算sin
2a+sin2（90°﹣a）=．
4．有四个命题：
①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；
2+px+p+1=0的两根，则x
③已知x1，x2是关于x的方程2x1+x2+x1x2的值是负数；
④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为
16个．
其中正确命题的序号是（注：
把所有正确命题的序号都填上）．
5．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），
则光线从点A到点B经过的路径长为．
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6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：
AC=3：
4，则cosA=．
7．如果α是锐角，且sin
2α十cos235°=1，那么α=度．
8．因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=co（s180°+30°）=﹣cos30°=
﹣；
因为cos45°=，cos225°=﹣，所以cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°=
﹣；
猜想：
一般地，当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知cos240°
的值等于．
9．在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C=．
10．在△ABC中，（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，则∠A=．
11．若α、β均为锐角，则以下有4个命题：
①若sinα＜sinβ，则α＜β；
②若α+β=90°，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=
．其中正确命题的序号是．（多填或错填得0分，少填的酌情给
分）
12．附加题：
如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则
sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：
sin
260°+cos260°=1，⋯试探求sinA、
cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
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13．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：
1：
4，A，B是这个三角形的两个顶点，
2
sinA，cosB是方程4x﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B
的大小．
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M
从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从
C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t
秒．
（1）求BC的长；
（2）当MN∥AB时，求t的值；
（3）试探究：
t为何值时，△MNC为等腰三角形．
15．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如
果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间
的距离．
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16．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海
监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛
附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保
持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°
方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号
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1．已知等边△ABC内接于⊙O，点D是⊙O上任意一点，则sin∠ADB的值为（）
A．1B．C．D．
【解答】解：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=6°0．
∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角，
∴∠ADB=6°0．
∴sin∠ADB=sin60°=．
故选C．
2．（2013?
崇明县一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将
△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1
的值是．
【解答】解：
∵∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，
∵将△BCD沿着直线BD折叠，
∴C1点恰好在斜边AB上，
∴∠DC1A=90°，
∴∠ADC1=∠ABC，
∵AB=5，AC=4，
∴sin∠ADC1=．
故答案为：
．
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3．（2012?
衡阳）观察下列等式
①sin30°=cos60°=
②sin45°=cos45°=
③sin60°=cos30°=
⋯
根据上述规律，计算sin
2a+sin2（90°﹣a）=1．
【解答】解：
由题意得，sin
230°+sin2（90°﹣30°）=1；
sin
245°+sin2（90°﹣45°）=1；
sin
260°+sin2（90°﹣60°）=1；
故可得sin
2a+sin2（90°﹣a）=1．
故答案为：
1．
4．（2010?
防城港）有四个命题：
①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；
2+px+p+1=0的两根，则x
③已知x1，x2是关于x的方程2x1+x2+x1x2的值是负数；
④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为
16个．
其中正确命题的序号是①④（注：
把所有正确命题的序号都填上）．
【解答】解：
①因为sin45°=cos45°=，再结合锐角三角函数的变化规律，故
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此选项正确；
②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；
③根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣，x1x2=．
∴x1+x2+x1x2=，是正数．
故此选项错误；
4
④根据题意，得2小时它由1个分裂2
个，即16个，故此选项正确．
故正确的有①④．
5．（2011?
莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后
经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为5．
【解答】解：
如图所示，
延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=C′B．
作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．
∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．
即光线从点A到点B经过的路径长为5．
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6．（2007?
眉山）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：
AC=3：
4，则cosA=．
【解答】解：
∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC：
AC=3：
4，
∴设BC=3x，则AC=4x，
∴AB=5x，
∴cosA===．
7．（2002?
西城区）如果α是锐角，且sin
2
235°=1，那么α=35度．
α十cos
【解答】解：
∵sin
2α十cos235°=1，
∴α=35°．
8（．2010?
湛江）因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=co（s180°+30°）
=﹣cos30°=﹣；
因为cos45°=，cos225°=﹣，所以cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°=
﹣；
猜想：
一般地，当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知cos240°
的值等于﹣．
【解答】解：
∵当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，
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∴cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．
9．（2013?
邵阳模拟）在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C=105°．
【解答】解：
∵sinA=，cosB=，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．
故答案为：
105°．
10．（2012?
海南模拟）在△ABC中，（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，则∠A=105°．
【解答】解：
∵（tanC﹣1）
2+|﹣2cosB|=0，
∴tanC﹣1=0，﹣2cosB=0，
即tanC=1，cosB=，
又∵B、C在同一个三角形中，
∴B=30°，C=45°，
∴A=180°﹣30°﹣45°=105°．
故答案是105°．
11．（2011?
九江模拟）若α、β均为锐角，则以下有4个命题：
①若sinα＜
sinβ，则α＜β；②若α+β=90°，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使
sinα=1.02；④tanα=．其中正确命题的序号是①②④．（多填或错
填得0分，少填的酌情给分）
【解答】解：
∵sinα＜sinβ，则α＜β；
故此选项正确；
②若α+β=90°，则sinα=cos（90°﹣α）=cosβ，
∴故此选项正确；
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③存在一个角α，sinα=，
∴sinα≤1，
∴sinα=1.02，故此选项错误；
④tanα=．根据对应边之间关系得出，
故此选项正确．
故答案为：
①②④．
12．（2008?
庆阳）附加题：
如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为
a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：
sin
260°+cos260°=1，⋯
试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
【解答】解：
存在的一般关系有：
（1）sin
2A+cos2A=1；
（2）tanA=．
证明：
（1）∵sinA=，cosA=，
a2+b2=c2，
∴sin
2A+cos2A==1．
（2）∵sinA=，cosA=，
∴tanA==，
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=．
13．（2013?
大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：
1：
4，A，B是这个三角形的两个顶点，
2
sinA，cosB是方程4x﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B
的大小．
【解答】解：
（1）由题意得，
sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，
cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=﹣，
sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°；=
（2）∵三角形的三个内角的比是1：
1：
4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣，
将代入方程得：
4×（）
2
﹣m×﹣1=0，
解得：
m=0，
2
经检验﹣是方程4x﹣1=0的根，
∴m=0符合题意；
②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意；
③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，
将代入方程得：
4×（）
2
﹣m×﹣1=0，
解得：
m=0，
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2
经检验不是方程4x﹣1=0的根．
综上所述：
m=0，∠A=30°，∠B=120°．
14．（2010?
密云县）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，
∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；
动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设
运动的时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当MN∥AB时，求t的值；
（3）试探究：
t为何值时，△MNC为等腰三角形．
【解答】解：
（1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形
ADHK是矩形．
∴KH=AD=．3
在Rt△ABK中，AK=AB?
sin45°=4?
=4，BK=AB?
cos4°5=4=4．
在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3．
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3．=10
（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．
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∵MN∥AB，
∴MN∥DG．
∴BG=AD=．3
∴GC=10﹣3=7．
由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=1﹣02t．
∵DG∥MN，
∴∠NMC∠=DGC．
又∵∠C=∠C，
∴△MNC∽△GDC．
∴，
即．
解得，．
（3）分三种情况讨论：
①当NC=MC时，如图③，即t=10﹣2t，
∴．
②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E．
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得：
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EC=MC=（10﹣2t）=5﹣t．
在Rt△CEN中，cosC==，
又在Rt△DHC中，cosC=，
∴．
解得t=．
解法二：
∵∠C=∠C，∠DHC∠=NEC=9°0，
∴△NEC∽△DHC．
∴，
即．
∴t=．
③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC=NC=t．
解法一：
（方法同②中解法一），
解得．
解法二：
∵∠C=∠C，∠MFC∠=DHC=9°0，
∴△MFC∽△DHC．
∴，
即，
∴．
综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形．
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15．（2015?
甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为
30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求
建筑物A、B间的距离．
【解答】解：
由已知，得∠ECA=3°0，∠FCB=60°，CD=90，
EF∥AB，CD⊥AB于点D．
∴∠A=∠ECA=3°0，∠B=∠FCB=60°．
在Rt△ACD中，∠CDA=9°0，tanA=，
∴AD==90×=90．
在Rt△BCD中，∠CDB=9°0，tanB=，
∴DB==30．
∴AB=AD+BD=90+30=120．
答：
建筑物A、B间的距离为120米．
16．（2013?
遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海
洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某
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日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东
方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，
B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结
果保留根号）
【解答】解：
过点B作BD⊥AC于D．
由题意可知，∠BAC=4°5，∠ABC=9°0+15°=105°，
∴∠ACB=18°0﹣∠BAC﹣∠ABC=3°0，
在Rt△ABD中，BD=AB?
sin∠BAD=20×=10（海里），
在Rt△BCD中，BC===20（海里）．
答：
此时船C与船B的距离是20海里．
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