届高三数学一轮复习定积分与微积分的基本定理知识点归纳总结.docx
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届高三数学一轮复习定积分与微积分的基本定理知识点归纳总结
1．定积分
（1）定积分的相关概念
在
f（x）dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．
（2）定积分的几何意义
①当函数f（x）在区间[a，b]上恒为正时，定积分
f（x）dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积（左图中阴影部分）．
②一般情况下，定积分
f（x）dx的几何意义是介于x轴、曲线f（x）以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和（右上图中阴影所示），其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
（3）定积分的基本性质
①
kf（x）dx＝k
f（x）dx.
②
[f1（x）±f2（x）]dx＝
f1（x）dx±
f2（x）dx.
③
f（x）dx＝
f（x）dx＋
f（x）dx.
[探究] 1.若积分变量为t，则
f（x）dx与
f（t）dt是否相等？
提示：
相等．
2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？
提示：
一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．
3．定积分
[f（x）－g（x）]dx（f（x）>g（x））的几何意义是什么？
提示：
由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f（x），y＝g（x）所围成的曲边梯形的面积．
2．微积分基本定理
如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）＝f（x），那么
f（x）dx＝F（b）－F（a），这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
为了方便，常把F（b）－F（a）记成F（x）
，即
f（x）dx＝F（x）
＝F（b）－F（a）．
[自测·牛刀小试]
1.
dx等于（ ）
A．2ln2 B．－2ln2
C．－ln2D．ln2
解析：
选D
dx＝lnx
＝ln4－ln2＝ln2.
2．（教材习题改编）一质点运动时速度和时间的关系为V（t）＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选A S＝
（t2－t＋2）dt＝
＝
.
3．（教材习题改编）直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．
解析：
x2dx＝
x3
＝
.
答案：
4．（教材改编题）
dx＝________.
解析：
由定积分的几何意义可知，
dx表示单位圆x2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，所以
dx＝
π.
答案：
π
5．由曲线y＝
，直线y＝－x＋
所围成的封闭图形的面积为________．
解析：
作出图象如图所示．解方程组可得交点为A
，B
，所以阴影部分的面积，
dx＝
＝
－2ln2.
答案：
－2ln2
[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：
（1）
（x2＋2x＋1）dx；
（2）
（sinx－cosx）dx；
（3）
x（x＋1）dx；（4）
dx；
（5）
sin2
dx.
[自主解答]
（1）
（x2＋2x＋1）dx＝
x2dx＋
2xdx＋
1dx＝
＋x2
＋x
＝
.
（2）
（sinx－cosx）dx
＝
sinxdx－
cosxdx
＝（－cosx）
－sinx
＝2.
（3）
x（x＋1）dx＝
（x2＋x）dx
＝
x2dx＋
xdx＝
x3
＋
x2
＝
＋
＝
.
（4）
dx＝
e2xdx＋
dx
＝
e2x
＋lnx
＝
e4－
e2＋ln2－ln1
＝
e4－
e2＋ln2.
（5）
sin2
dx＝
dx
＝
dx－
cosxdx
＝
x
－
sinx
＝
－
＝
.
—————
——————————————
求定积分的一般步骤
计算一些简单的定积分，解题的步骤是：
（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；
（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；
（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；
（4）利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；
（5）计算原始定积分的值．
1．求下列定积分：
（1）
|x－1|dx；
（2）
dx.
解：
（1）|x－1|＝
故
|x－1|dx＝
（1－x）dx＋
（x－1）dx
＝
＋
＝
＋
＝1.
（2）
dx
＝
|sinx－cosx|dx＝
（cosx－sinx）dx＋
（sinx－cosx）dx
＝（sinx＋cosx）
＋（－cosx－sinx）
＝
－1＋（－1＋
）＝2
－2.
利用定积分的几何意义求定积分
[例2]
dx＝________.
[自主解答]
dx表示y＝
与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．
由y＝
得（x－1）2＋y2＝1（y≥0），
又∵0≤x≤1，
∴y＝
与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为
个圆，其面积为
.
∴
dx＝
.
在本例中，改变积分上限，求
dx的值．
解：
dx表示圆（x－1）2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以
dx＝
.
—————
——————————————
利用几何意义求定积分的方法
（1）当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．
（2）利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．
2．（2013·福建模拟）已知函数f（x）＝
（cost－sint）dt（x>0），则f（x）的最大值为________．
解析：
因为f（x）＝
sin
dt
＝
cos
＝
cos
－
cos
＝sinx＋cosx－1＝
sin
－1≤
－1，
当且仅当sin
＝1时，等号成立．
答案：
－1
利用定积分求平面图形的面积
[例3] （2012·山东高考）由曲线y＝
，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为（ ）
A.
B．4
C.
D．6
[自主解答] 由y＝
及y＝x－2可得，x＝4，即两曲线交于点（4,2）．由定积分的几何意义可知，由y＝
及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为
（
－x＋2）dx＝
＝
.
[答案] C
若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？
解：
如图所示，由y＝
及y＝－x＋2可得x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝
，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为
f（x）dx＝
dx＋
（－x＋2）dx＝
x
＋
＝
.
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利用定积分求曲边梯形面积的步骤
（1）画出曲线的草图．
（2）借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．
（3）将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．
（4）计算定积分，写出答案．
3．（2013·郑州模拟）如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝
所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选D 由
⇒x＝
或
x＝－
（舍），所以阴影部分面积
S＝
dx＋
dx
＝
＋
＝
.
定积分在物理中的应用
[例4] 列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？
[自主解答] a＝－0.4m/s2，v0＝72km/h＝20m/s.
设ts后的速度为v，则v＝20－0.4t.
令v＝0，即20－0.4t＝0得t＝50（s）．
设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，
则s＝
vdt＝
（20－0.4t）dt
＝（20t－0.2t2）
＝20×50－0.2×502＝500（m），
即列车应在进站前50s和进站前500m处开始制动．
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1．变速直线运动问题
如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v（t）（v（t）≥0），那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为
v（t）dt；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v（t）（v（t）≤0），那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－
v（t）dt.
2．变力做功问题
物体在变力F（x）的作用下，沿与力F（x）相同方向从x＝a到x＝b所做的功为
F（x）dx.
4．一物体在力F（x）＝
（单位：
N）的作用下沿与力F（x）相同的方向运动了4米，力F（x）做功为（ ）
A．44J B．46J
C．48JD．50J
解析：
选B 力F（x）做功为
10dx＋
（3x＋4）dx
＝10x
＋
＝20＋26＝46.
1个定理——微积分基本定理
由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．
3条性质——定积分的性质
（1）常数可提到积分号外；
（2）和差的积分等于积分的和差；
（3）积分可分段进行．
3个注意——定积分的计算应注意的问题
（1）若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；
（2）定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；
（3）面积非负，而定积分的结果可以为负.
易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点
[典例] （2012·上海高考）已知函数y＝f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0,0），B
，C（1,0）．函数y＝xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为________．
[解析] 由题意可得
f（x）＝
所以y＝xf（x）＝
与x轴围成图形的面积为
10x2dx＋
错误！
未找到引用源。
（10x－10x2）dx＝
x3
＋
错误！
未找到引用源。
＝
.
[答案]
1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．
2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．
3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：
（1）熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；
（2）准确
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