材料力学第四章.docx
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材料力学第四章
4-1（4-1） 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。
解：
（a）
（b）
（c）
（d）
=
（e）
（f）
（g）
（h）
=
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4-2（4-2） 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：
（a）
（b）时
时
（c）
时
时
（d）
（e）时，
时，
（f）AB段：
BC段：
（g）AB段内：
BC段内：
（h）AB段内：
BC段内：
CD段内：
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4-3（4-3） 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
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4-4（4-4） 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。
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4-5（4-6） 已知简支梁的剪力图如图所示。
试作梁的弯矩图和荷载图。
已知梁上没有集中力偶作用。
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4-6（4-7） 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。
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4-7（4-15） 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。
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4-8（4-18） 圆弧形曲杆受力如图所示。
已知曲杆轴线的半径为R，试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式（表示成角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。
解：
（a）
（b）
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4-9（4-19） 图示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F，试问：
（1）吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大最大弯矩等于多少
（2）吊车在什么位置时，梁的支座反力最大最大支反力和最大剪力各等于多少
解：
梁的弯矩最大值发生在某一集中荷载作用处。
，得：
当时，
当M极大时：
，
则 ，故，
故为梁内发生最大弯矩的截面
故：
=
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4-10（4-21） 长度为250mm、截面尺寸为的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为的圆弧。
已知弹性模量。
试求钢尺横截面上的最大正应力。
解：
由中性层的曲率公式及横截面上最大弯曲正应力公式
得：
由几何关系得：
于是钢尺横截面上的最大正应力为：
4-11（4-25） 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力偶作用，如图所示。
试求截面m-m和固定端截面n-n上A，B，C，D四点处的正应力。
解：
对m-m及n-n截面，都给以坐标系如图所示。
于是有：
m-m截面及n-n截面的弯矩分别是：
横截面对z轴的惯性矩为：
因此，各点的正应力分别是：
，
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4-12（4-30） 图示一由16号工字钢制成的简支梁承受集中荷载F。
在梁的截面C-C处下边缘上，用标距mm的应变仪量得纵向伸长mm。
已知梁的跨长m，m，弹性模量。
试求F力的大小。
解：
16号工字钢的弯曲截面系数是。
易知：
。
；
；
由上得到：
=
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4-13（4-31） 由两根28a号槽钢组成的简支梁受三个集中力作用，如图所示。
已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力。
试求梁的许可荷载F。
解：
由已知结构载荷对称，得图（a）。
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4-14（4-39） 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。
已知，，。
试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比，以及梁所需木料的最小直径。
解：
由圆木锯成的矩形截面的抗弯截面模量为：
将对求导，并令，有：
因此当，时，弯曲截面系数将取得极大值。
此时截面的高为：
所以截面的高宽比为：
当时，求得：
为：
由题知梁AB的CD段处于纯弯曲状态，其
由弯曲正应力的强度条件，有：
于是，
由此可见，所需木材的最小直径为：
mm。
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4-15（4-47） 一悬臂梁长为900mm，在自由端受一集中力F的作用。
梁由三块50mm×100mm的木板胶合而成，如图所示，图中z轴为中性轴。
胶合缝的许用切应力。
试按胶合缝的切应力强度求许可荷载F，并求在此荷载作用下，梁的最大弯曲正应力。
解：
横截面对z轴的惯性矩，为：
接缝处以外部分截面对z轴的静矩为：
对自由端受一集中力的悬臂梁，其任一横截面上剪力都等于外力。
据切应力计算公式，与切应力互等定理，得粘接面的纵向切应力计算式：
并由弯曲切应力的强度条件式：
。
得自由端允许荷载为：
对悬臂梁，其最大弯曲正应力
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4-16（4-48） 一矩形截面木梁，其截面尺寸及荷载如图，。
已知。
试校核梁的正应力和切应力强度。
解：
首先求梁的约束力。
作梁的剪力图，弯矩图如图所示。
由剪力图中相似三角形，有：
则
截面D，截面C的弯矩值分别是：
由上可知：
；
正应力强度校核：
=
切应力强度校核：
=
由此可见，梁的正应力强度与切应力强度都得到满足。
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4-17（4-51） 由工字钢制成的简支梁受力如图所示。
已知材料的许用弯曲正应力，许用切应力。
试选择工字钢号码。
解：
首先求支座反力：
绘梁的剪力图，弯矩图。
由剪力图中三角形相似关系，有式：
解得：
=
=
于是，得：
；
应用弯曲正应力的强度条件：
得：
28a号工字钢的弯曲截面系数为，又28a号工字钢的，因此梁的最大弯曲切应力为：
由上可知，选用28a号工字钢，能满足梁的弯曲正应力及弯曲切应力的要求。
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4-18（4-52） 图示木梁受一可移动的荷载作用。
已知，。
木梁的横截面为矩形，其高度比。
试选择梁的截面尺寸。
解：
当荷载F移至跨中时，在跨中截面得梁的最大弯矩值为：
当荷载无限接近A支座（或B支座时）在A端（或B端）截面，得梁的最大剪力值：
由正应力强度条件：
得：
相应：
若用切应力强度条件选择截面尺寸，有：
两者相比较，截面尺寸取为宽139mm，高208mm。
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4-19（4-53） 外伸梁AC承受荷载如图所示，。
材料的许用弯曲正应力，许用切应力。
试选择工字钢的号码。
解：
首先求支座反力：
绘剪力图，弯矩图。
从剪力图、弯矩图中得
，
用弯曲正应力强度条件：
得：
20a号工字钢的弯曲截面系数满足正应力强度条件。
进而校核它是否满足切应力强度条件，其。
由此可知，20a号工字钢亦能满足切应力强度条件。
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