《概率论与数理统计》课后习题答案.docx
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《概率论与数理统计》课后习题答案
1」解答
1•将•枚均匀的硬币抛两次，事件分别衣示“第-次出现正而”，“两次出现同•面”，“至少有•次岀现正面”O试写出样本空间及事件A.B.C中的样本点。
解：
G={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}
A={（正，正），（正，反）}；B={（正，正），（反，反）}
C={（正，正），（正，反），（反，正）}
2•在掷两颗骰子的试验中，事件A、BeD分别衣示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“冬数相等”，“至少有-颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件ΛB,Λ+B,AC,BC,A-B-C-D中的样本点。
解：
C={（1,1）,（1,2）,-∙-,（l,6）,（2,1）,（2,2）,∙∙∙,（2,6）,∙∙∙,（6,1）,（6,2）,-∙-,（6,6）}；AB={（1,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）}；
A+B={（1,1）,（1,3）,（1,5）,-∙-,（6,2）,（6,4）,（6,6）,（1,2）,（2,1）}；
AC=ΦiBC={（1,1）,（2,2）}；
A-B-C-D={（1,5）,（2,4）,（2,6）,（4,2）,（4,6）,（5,1）,（6,2）,（6,4）}
3•以A,B,C分别农示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用A,B,C2<示以下事件：
（1）只订阅日报；
（2）只订日报和晚报；
<3）只订一种报；（4）正好订两种报；
（5）至少订阅-种报：
（6）不订阅任何报：
（7）至多订阅•种报：
（8）三种报纸都订阅：
（9）三种报纸不全订阅。
解：
（1）ABCi
（2）ABC；（3）ΛBC+ABC+ABC；
（4）ABC+ABC+ABC;（5）A+B+Ci
（6）ABCt<7）ABC+ABC+ABC+ABCAB+AC+BC
（8）ABC；（9）A+B+C
4.甲、乙、丙三人各射击-次，事件A1M2M3分别农示甲、乙、丙射中。
试说明下列事件所衣示的结果：
A2,A2+A35瓦石，A1+A2,A1A2A3,
AlA2+A?
人3+Al£•
解：
甲未击中：
乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中：
甲和乙都未击中：
甲和乙击中而丙未击中：
甲、乙.丙三人至少有两人击中。
5.设事件A.B.C满足ABC≠Φ.试把下列事件衣示为-些互不相容的事件的和:
Λ+B+CfAB+C>B-AC•
解：
如图：
6.若事件&5C满足A+C=B+C,试问A=B是否成立？
举例说明。
解：
不一左成立。
例如：
A={3,4,5},B={3},C={4,5},
那么，A+C=B+Ct但A≠B.
7•对于事件A,5C,试问A-（B-C）=（A-B）+C是否成立？
举例说明。
解：
不一定成立。
例如：
A={3,4,5},B={4,5,6},C={6,7},那么A-（B-C）={3},但是（A-B）+C={3,6,7}β
8.设P（A）=1,P（B）=1,试就以下三种情况分别求P（BA）:
（1）A3=①，
（2）Ac∑β9（3）P（AB）=I
8
解：
_1
（1）P（BA）=P（B-AB）=P（B）-P（AB）=-S
2
_1
（2）P（BA）=P（B-A）=P（B）-P（A）=-J
6
一Il3
（3）P（BA）=P（B-AB）=P（B）一P（AB）=---=-o
288
9•已^lP（A）=P（B）=P（C）=E,P（AC）=P（BC）=P（AB）=0求事件4Io
A.B.C全不发生的概率。
解：
P（ABC）=p（λ+B+c）=1-P（A+B+C）
=I-[P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）J
IrIIlnl1J3
=I-—I100=—
.4441616」8
10•每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。
•个人骑车经过三个路口，试求下列事件的槪率：
A=α三个都是红灯”=“全红”；B=
“全绿”；C="全黄”；D=“无红JE="无绿”：
F=“三次颜色相
同”：
G="颜色全不相同'SH=“颜色不全相同”。
解:
Illl中2
P（F）=—+—+P（G）=—-—=-；
27272793×3×39
P（H）=I-P（F）=I--=-・
99
11•设•批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：
•次拿3件：
每次拿1件，取后放回拿3次：
每次拿1件，取后不放回拿3
次〉，试求：
<1）取出的3件中恰有1件是次品的概率:
<2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解.
W+W=0.0594；
一次仝3件：
（1）P=⅛Ξ1=0.0588；
（2）P
CiOo
每次拿一件，取后放回，拿3次：
P=—=0.0588；
IOO3
2×982
（1）P=__×3=0.0576；
IOO3
每次拿一件，取后不放回，拿3次：
（1）P=2x9SXe）Zχ3=0.0588;
100×99×98
98×97×96
（2）P=I=0.0594
100×99×98
12.从0,l,2√-,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
AI=｛三个数字中不含0与5｝,A2=｛三个数字中不含0或5｝。
解：
CO7
Ps）=3L竺或Pwq上
^∩3015丿⅛15
13•从0J2∙∙∙,9中任总选岀4个不同的数字，计算它们能组成•个4位偶数的概率。
90
14.•个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率:
（1）6人中至少有1人生日在10月份:
（2）6人中恰有4人生日在10月份;
（3）6人中恰有4人生日在同一月份:
解：
C4XIl2
（2）P=一÷0.00061；
126
H6
（1）P=I——÷0.41；
126
⑶P=C|2（?
611≡0.0073
126
15•从•副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的槪率。
习题1∙2解答
1•假设•批产品中•、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取•件，结果不是三等品，求取到的是•等品的槪率。
解：
令4=“取到的是i等品”」・=123
2•设IO件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另•件也是不合格品的槪率。
解：
令4=“两件中至少有一件不合格”，B=“两件都不合格”
3•为了防止总外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。
两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93,在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85,求
（1）两种报警系统I和II都有效的概率；
（2）系统II失灵而系统I有效的概率：
（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。
解：
令q=“系统（I）有效”LB=“系统（II）有效”则P（A）=0.92,P（B）=0.93,P（BlA）=0.85
（1）P（AB）=P（B-AB）=P（B）-P（AB）
=P（B）一P（A）P（BIA）=0.93-（I-0.92）X0.85=0.862
（2）P（BA）=P（A一AB）=P（A）-P（AB）=0.92一0.862=0.058
（3）P（AIB）=/>（AU}=（-）?
S≡0.8286
P（B）1-0.93
4•设0VP（A）Vl,证明事件A与B独立的充要条件是
证：
_
二>：
∙.∙A与B独立，.∙.瓦与B也独立。
.∙.P（BIA）=P（B）,P（BIA）=P（B）
：
.P（BIA）=P（BIA）
<=：
∙.β0又∙.∙P（BlA）=竺也,P（BIA）=彳凹
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.P（AB）=P（^g）
P（A）P（A）
即[1-P（A）IP（AB）=P（A）[P（B）-P（AB）]
:
.P（AB）=P（A）P（B）,故A与3独立。
5.设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是芥求P（A）和P（B）.
解：
∙.∙P（AB）=P（AP）=丄，又∙.∙A与B独立
4
一-1
•・・P（AB）=P（A）P（B）=[1一P（A）IP（B）=一
4
P（AB）=P（A）P（B）=P（A）[1-P（B）I=-
4
・・・P（A）=P（B）,P（A）-P2（A）=-
4
即P（A）=P（B）=-0
2
6.证明若P（A）>0,P（B）K）,则有
（1）当A与B独立时，A与8相容：
（2）当A与B不相容时，A与B不独立。
证明：
P（A）>0,P（B）>0
（1）因为A与B独立，所以
P（AB）=P（A）P（B）>0,A与B相容。
（2）因为P（AB）=Of而P（A）P（B）>0,
.∙.P（AB）≠P（A）P（B）,A与3不独立。
7•已知事件A,3,C相互独立，求证A{JB与C也独立。
证明：
因为A.B、C相互独立，
・・・P[（A∖JB）∏C]=P（AC∖JBC）
=P（AC）+P（BC）-P（ABC）
=P（A）P（C）+P（B）P（C）-P（A）P（B）P（C）
=IP（A）+P（B）-P（AB）IP（C）=P（AUB）P（C）AAUfi与C独立。
&甲、乙、丙三机床独立工作，在同•段时间内它们不需要工人照顾的槪率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内，最多只有•台机床需要工人照顾的概率。
解：
令A1M2M3分别表示甲.乙.丙三机床不需要工人照顾，
那么P（Al）=0.7,P（A2）=O.&P（A3）=0.9
令B表示最多有一台机床需要工人照顾，
那么P（B）=P（A}A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3）
=P（AA2A3）+P（A1A2A3）+P（AlA2A3）+P（AlA2Ai）
=0.7X0.8X0.9+0.3×0.8×0.9+0.7X0.2×0.8+0.7X0.8×0」
=0.902
9.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为/?
（0P（Ay）=ΛA1M2√-M2n相互独立。
那么
P（A）=P[（A,A2•■■Aλ）+（Aπ+1Aπ+2•■■A2n）]
=PlGM2…At）]+P[（V*…A2”）卜P（AA2…A2”）
Jl/1Il
=∏P（A）+∏^（A）-∏^（A）
ι=lι=∕ι+i/=!
=2P,t-Pln=Pn（2-Pw）
P（B）=P[（A1+Aπ+1XA2+Λλ+2）ו-×（Λn+A2n）]
=YIP（Ai+Aιι+i）
J=I
=h∣P（4）+P（仏）—P（4）P（仏）]
:
注：
利用第7题的方法可以证
=∩∣2P-P2]=Pm（2-P）H明（A+All+i）与（A-+A”+J）
/=,i≠j时独立。
10.10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1
（1）前三人中恰有•人中奖的概率：
（2）第二人中奖的概率。
解：
令含=“第j个人中奖”,i=1,2,3
（1）P（A}A2A3+AXA2A3+AlA2Ai）
=P（AlA2A3）+P（AlA2A3）+P（AlA2A3）
=P（Al）P（¾IAl）P（A3∖A1A2）+P（A1）P（AIAI）P（A3IA1¾）
+P（A1）P（A2IA1）P（A3IA1A2）
4656546451
=—×-×-+—×-×-+—X-X-=-
1098109810982
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（2）P（A2）=P（Ai）P（A2IAJ+P（AI）P（A2I瓦）
43642=—X-+—×—=—
1091095
11•在肝癌诊断中，有•种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查I1L95%的真实患
者，但也有可能将10%的人误诊。
根据以往的记录•每IOooO人中有4人患有肝癌,试求:
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的槪率:
（2）己知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
解：
令E=“被检验者患有肝癌”LA=“用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么,P（AIB）=0.95,P（AIB）=O.10,P（B）=0.0004
（1）P（A）=P（B）P（AIB）+P（B）P（AIB）
=0.∞04×0.95+0.9996×0.1=0.10034
（2）P（BIA）=
P（B）P（AIB）
P（B）P（A∖B）+P（B）P（AlB）
≡0.0038
0.0004x0.95
"0.0004×0.95+0.9996×0.1
12.•大批产品的优质品率为30%,每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的槪率:
（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品;
（2）在取到的5件产品中已发现有1件是优质品•这5件中恰有2件是优质品。
解：
令Bi=“5件中有i件优质品”，/=0丄2,3,4,5
（1）P（B2）=C^（0.3）2（0.7）3÷0.3087
⑵P（B1∖∖jBl）=P（B2∖B0）=
13•每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。
开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。
假设由于检验有误，I件正品被误检是次品的概率是2%,1件次品被误判是正品的概率是5%,试计算：
（1）抽取的1件产品为正品的概率:
（2）该箱产品通过验收的概率。
解：
令A=“抽取一件产品为正品”
4="箱中有i件次品”,i=0,1,2
B=“该箱产品通过验收”
22110—/
⑴P（A）=∑P（Ai）P（AIAr）=×=0.9
（2）P（B）=^A）P（BIA）+P（Aif（BIA）
=0.9X0.98+0.1×0.05=0.887
14.假设-厂家生产的仪器，以槪率0.70可以戊接出厂，以概率0.30需进-步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。
现该厂新生产了"G≥2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：
（1）全部能出厂的概率：
（2）其中恰有2件不能出厂的概率；
（3）其中至少有2件不能出厂的概率。
解：
令4=“仪器需进一步调试”：
B=“仪器能出厂”
Λ=“仪器能直接出厂”：
AB=“仪器经调试后能出厂”
显然B=A+ABt
那么P（A）=O.3,P（BIA）=0.8
P（AB）=PA）P（BIA）=0.3×0.8=0.24
所以P（B）=P（A）+P（AB）=0.7+0.24=0.94
令Bl=““件中恰有i件仪器能出厂”，i=0,l,…
（1）P（B"）=（0.94）"
（2）P（Bzr2）=C；-2（0.94）n_2（0.06）2=Cj（0.94）π^2（0.06）2
（3）P⅛BA）=I-P‰）-P（Bn）=I-C*0.06（0.94）n-'-（0.94）”
15•进行•&乘列独立试验，每次试验成功的概率均为/7,试求以下事件的概率：
（1）直到第r次才成功：
（2）第7■次成功之前恰失败k次：
（3）在"次中取得r（∖≤r≤n）次成功；
（4）直到第〃次才取得r（l≤r≤n）次成功。
解：
（1）P=P（I-P）Z
<2）P=C^Pr（∖-p）k
<3）P=C防（1-旷
⑷P=Cr^pr（∖-p）n-r
16.对飞机进行3次独立射击，第•次射击命中率为0.4,第二次为0.5,第三次
为0.7.击中飞机•次而飞机被击落的概率为0.2,击中飞机二次而飞机彼击落的概率
为0.6,若被击中三次，则飞机必被击落。
求射击三次飞机未被击落的概率。
解：
令A=“恰有i次击中飞机”，,=0丄2,3
B=“飞机被击落”
显然：
P（AO）=（1-0.4）（1-0.5）（1-0.7）=0.09
P（Λ1）=0.4×（l-0.5）×（1-0.7）+（1-0.4）X0.5X（I-0.7）+（1—0.4）×（1-0.5）X0.7
=0.36
P（A2）=0.4X0.5×（1-0.7）+0.4×（1-0.5）×0.7+（1-0.4）×0.5×0.7
=0.41
P（A3）=0.4×0.5×0.7=0.14
而P（BIA0）=O,P（BIAl）=O.2,P（BIA2）=0.6,P（BIA3）=I
所以^
3
P（B）=P（Ai）P（BIAf）=0.458JP（B）=1-P（B）=1-0.458=0.542
I-O
习题1・3解答
1.设X为随机变量,且P（X=灯=4伙=12…）,则
2
（1）判断上而的式（是否为X的概率分布：
（2）若是，试求P（X为偶数）和P（X≥5）.
解：
令P（X=k）=pk=J-Λ=1,2,∙∙∙
（1）显然OSPk<∖f且
OCXI丄
乞Pk=PT=I
1】Λ-lZ1~2
所以P（x=k）=^-,k=1,2,•••为一概率分布。
XX1丄1
（2）P（X为偶数科=7⅛={
⅛-ι2/1—了》
XXiX1
P（X≥5）=∑pt=∑F==-
2.设随机变量X的概率分布为P（X=灯=咯宀k=12…）,且2>0，求常数C・
3.设•次试验成功的槪率为"（Ovpvl）,不断进行重复试验，直到首次成功为止。
用随机变量X农示试验的次数，求X的槪率分布。
解：
P（X=Ar）=Xl-P）*-1,Λ=1,2,--
4•设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1.当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代衣在两次调整之间生产的合格品数，试求
（1）X的概率分布：
（2）P（X≥5）o
（1）P（X=A；）=（I-P）*/7=（0.9）A×0.1Λ=0J,2√∙・
X∞
（2）P（X25）=工P（X=灯=工（0»xO」=（0.9）5
A:
-5妇5
5.•张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。
求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？
解：
因为学生靠猜测答对每道题的概率为P=-,所以这是一个n=5.p=-44
的独立重复试验。
6.为了保证设备正常匸作，需要配备适当数量的维修人员。
根据经验每台设备发生故障的槪率为0.01,各台设备匸作情况相互独立。
（1）若由1人负资维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率：
（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的槪率不超过0.01?
解：
（1）1-（O.99）20-20X0.01×（0.99）19≈0.0175（按PoiSSon（泊松）分布近似）
（2）
U=100,n∕?
=I（X）XO.01=I=A（按POiSSon（泊松）分布近似）
P（XnN+1）=XC^（0.01）"（0.99）,0ft∙*«
査表得N=4
7.设随机变量X服从参数为几的POiSSon（泊松）分布，且P（X=O）=I,求
（1）2；
（2）P（X>1）.
2°1
解；•・・P（X=O）=—不人=一，.∙.Λ=In2
0!
2
P（X>1）=1-P（X≤1）=1-[P（X=0）+P（X=1）]
&设书籍上每页的印刷错谋的个数X服从PoiSSon（泊松）分布。
经统计发现在某本书上，有•个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任总检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。
彳122
解:
VP（X=D=P（X=2）,即〒=2
:
.P（X=O）=尸
.∖P=（e'2）4=e~s
9.在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的
POiSSon分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求
（1）某•天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率：
（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的槪率：
9.在长度为,的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为与的
POiSSon（泊松）分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）•求
（1）某•天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率：
（2）某•天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的槪率：
解：
（1）t=
=3,A=-
2
3
P（X=O）=门
（2）r=
=5,λ=-
5
P（Xnl）=I-P（X=O）=I-门
2
10.己知X的槪率分布为:
-2
-1
0
1
2
3
2a
3d
a
a
2a
试求
（1）
（2）Y=Xl-1的槪率分布。
解：
（1）・.•2α+丄+3“+a+α+2α=1
10
1
Cl=—o
10
（2）
IL设连续型随机变量X的概率密度曲线如图
图1.3.8
1文档来源"反本可编辑.
—XH—9X∈|—1,0）
（2）f（χ）=
22
—XH—9X∈[0,3）62
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