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平面一般力系平衡方程的其他形式
第九讲内容
一、平面一般力系平衡方程的其他形式
前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。
1．二力矩形式的平衡方程
在力系作用面内任取两点A、B及X轴，如图4—13所示，可以证明平
面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即
X0
MA0（4—6）
MB0
式中X轴不与AB两点的连线垂直。
证明：
首先将平面一般力系向A点简化，一般可得到过A点的一个力和一个力偶。
若Ma0成立，则力系只能简化为通过A点的合力R或成平衡状态。
如果Mb0又成立，说明R必通过B。
可见合力R的作用线必为AB连线。
又因X0成立，则RxX0，即合力R在X轴上的投影为
零，因AB连线不垂直X轴，合力R亦不垂直于X轴，由Rx0可推得R0。
可见满足方程（4-6）的平面一般力系，若将其向A点简化，其主矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。
2．三力矩形式的平衡方程
ABC,如图4—14所
4—7）
在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即
MA0
MB0
MC0
式中，AB、C三点不在同一直线上。
同上面讨论一样，若Ma0和Mb0成立，则力系合成结果只能
是通过A、B两点的一个力（图4—14）或者平衡。
如果MC0也成立，
则合力必然通过C点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除非
合力为零，Me0才能成立。
因此，力系必然是平衡力系。
综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（4-5）、
式（4—6）、式（4—7）,在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。
无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。
任何第
四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。
【例4—7】某屋架如图4—15（a）所示，设左屋架及盖瓦共重
P3kN，右屋架受到风力及荷载作用，其合力P27kN,P2与BC夹角
为80，试求A、B支座的反力。
【解】取整个屋架为研究对象，画其受力图，并选取坐标轴X轴和Y
轴，如图4—15（b）所示，列出三个平衡方程
X0
Xa
P2cos70
0
Xa
P2cos70
70.3422.39kN
ma0
YB
164P
F2sin7012P2cos704tan300
Y4R12P2sin704P2cos70tan30
B16
431270.94470.3420.577
16
5.34kN
MB016Ya12PP2sin704P2cos704tan300
Ya
12R4P2sin704Bcos70tan30
16
4.24kN
校核
YYAYBP1P2sin70
4.245.34370.94
说明计算无误。
【例4—8】梁AC用三根支座链杆连接，受一力P50kN作用，如
图4-16（a）所示。
不计梁及链杆的自重，试求每根支座链杆的反力。
【解】取AC梁为研究对象，画其受力图，如图4—16（b）所示。
列平衡方程时，为避免解联立方程组，最好所列的方程中只有一个未知力，因此，取Ra和RB的交点01为矩心列平衡方程
Mo0RC6Pcos602Psin6040
37.2kN
取RB与Rc的交点Q为矩心列平衡方程
Ra
（4Pcos602Psin60）（4500.52500.866）0.707
66
21.99kN
X0Racos45RBcos45Pcos600
13.37kN
RB氐边45皿602「99°.70750°5
cos450.707
校核
YRasin45RBsin45RCPsin60
21.990.70713.370.70737.2500.866
0
说明计算无误。
3．平面力系的特殊情况
平面一般力系是平面力系的一般情况。
除前面讲的平面汇交力系，平面力偶系外，还有平面平行力系都可以看为平面一般力系的特殊情况，它们的平衡方程都可以从平面一般力系的平衡方程得到，现讨论如下。
（1）平面汇交力系
对于平面汇交力系，可取力系的汇交点作为坐标的原点，图4－17（a）所示，因各力的作用线均通过坐标原点0,各力对0点的矩必为零，即恒有
MO0。
因此，只剩下两个投影方程
X0Y0
即为平面汇交力系的平衡方程。
（2）平面力偶系
平面力偶系如图4－17（b）所示,因构成力偶的两个力在任何轴上的投影必为零,则恒有X0和Y0,只剩下第三个力矩方程,但因为力偶对某点的矩等于力偶矩,则力矩方程可改写为
m00
即平面力偶系的平衡方程。
（3）平面平行力系平面平行力系是指其各力作用线在同一平面上并相互平行的力系,如图
4-17（C）所示，选0Y轴与力系中的各力平行，则各力在X轴上的投影恒
为零,则平衡方程只剩下两个独立的方程
4—8）
Y0
M00
若采用二力矩式（4－6）,可得
4—9）
MA0
MB0
式中A、B两点的连线不与各力作用线平行。
平面平行力系只有两个独立的平衡方程,只能求解两个未知量。
【例4—9】图4—18所示为塔式起重机。
已知轨距b4m，机身重
G260kN,其作用线到右轨的距离e1.5m,起重机平衡重Q80kN,其作用线到左轨的距离a6m，荷载P的作用线到右轨的距离I12m,
（1）试证明空载时（P0时）起重机时否会向左倾倒
（2）求出起重机不向右
倾倒的最大荷载P。
【解】以起重机为研究对象，作用于起重机上的力有主动力GP、Q
及约束力Na和Nb，它们组成一个平行力系（图4—18）。
（1）使起重机不向左倒的条件是Nb0,当空载时，取P0,列
平衡方程
MA0Qa
NbbG（eb）0
1
Nb-G（eb）b
Q
a
1
-260（1.5
4
4）
80
6
237.5kN
0
所以起重机不会向左倾倒
（2）使起重机不向右倾倒的条件是Na0，列平衡方程
MB0Q（ab）NabGePl0
1
Na-Q（ab）GePl
b
欲使Na0，则需
Q（ab）GePl0
1
PQ（ab）Ge
1
80（64）2601.5
12
34.17kN
当荷载P34.17kN时，起重机是稳定的。
二、物体系统的平衡
前面研究了平面力系单个物体的平衡问题。
但是在工程结构中往往是由若干个物体通过一定的约束来组成一个系统。
这种系统称为物体系统。
例
如，图示4—19（a）所示的组合梁，就是由梁AC和梁CD通过铰C连接，
并支承在A、BD支座而组成的一个物体系统。
在一个物体系统中，一个物体的受力与其他物体是紧密相关的；整体受力又与局部紧密相关的。
物体系统的平衡是指组成系统的每一个物体及系统的整体都处于平衡状态。
在研究物体系统的平衡问题时，不仅要知道外界物体对这个系统的作用力，同时还应分析系统内部物体之间的相互作用力。
通常将系统以外的物体对这个系统的作用力称为外力，系统内各物体之间的相互作用力称为内力。
例如图4—19（b）的组合梁的受力图，荷载及A、B、D支座的反力就是外力，而在铰C处左右两段梁之间的互相作用的力就是内力。
应当注意，外力和内力是相对的概念，是对一定的考察对象而言的，
例如图4-19组合梁在铰C处两段梁的相互作用力，对组合梁的整体来说，就是内力，而对左段梁或右段梁来说，就成为外力了。
当物体系统平衡时，组成该系统的每个物体都处于平衡状态，因而，对于每一个物体一般可写出三个独立的平衡方程。
如果该物体系统有n个物
体，而每个物体又都在平面一般力系作用下，则就有3n个独立的平衡方程，
可以求出3n个未知量。
但是，如果系统中的物体受平面汇交力系或平面平行力系的作用，则独立的平衡方程将相应减少，而所能求的未知量数目也相应减少。
当整个系统中未知量的数目不超过独立的平衡方程数目，则未知量
可由平衡方程全部求出，这样的问题称为静定问题。
当未知量的数目超过了独立平衡方程数目，则未知量由平衡方程就不能全部求出，这样的问题，则称为超静定问题，在静力学中，我们不考虑超静定问题。
在解答物体系统的平衡问题时，可以选取整个物体系统作为研究对象，也可以选取物体系统中某部分物体（一个物体或几个物体组合）作为研究对象，以建立平衡方程。
由于物体系统的未知量较多，应尽量避免从总体的联
立方程组中解出，通常可选取整个系统为研究对象，看能否从中解出一或两
个未知量，然后再分析每个物体的受力情况，判断选取哪个物体为研究对象，使之建立的平衡方程中包含的未知量少，以简化计算。
下面举例说明求解物体系统平衡问题的方法。
【例4—10】组合梁受荷载如图4—20（a）所示。
已知
R16kN,P220kN,m8kNm，梁自重不计，求支座AC的反
力。
【解】组合梁由两段梁AB和BC组成，作用于每一个物体的力系都是平面一般力系，共有6个独立的平衡方程；而约束力的未知数也是6（A处
有三个，B处有两个，C处有1个）。
首先取整个梁为研究对象，受力图如图4—20（b）所示。
X0XAP2cos600
XaF2cos6010kN
其余三个未知数YA、mA和RC，无论怎样选取投影轴和矩心，都无法
求出其中任何一个，因此，必须将AB梁和BC梁分开考虑，现取BC梁为研
究对象，受力图如图4—20（c）所示。
X0XbF2cos600
XBP2COS6O10kN
MB0
2Rc
Bsin601
0
Psin60
Rc
8.66kN
2
Y0
Rc
Yb巳sin60
0
Yb
RcP2sin60
8.66kN
再回到受图4—20
（b）
MA0
5Rc4P，sin60
P2mmA0
mA4P2sin602R5RCm65.98kN
Y0YARcPP2sin600
YARP2sin60Rc24.66kN
校核：
对整个组合梁，列出
MBmA-3YAP-i11P，sin602RCm
65.98324.661611200.86628.6680
可见计算无误。
【例4—11】钢筋混凝土三铰刚架受荷载如图4—21（a）所示，已
知q16kN/m,P24kN，求支座AB和铰C的约束反力。
【解】三铰刚架由左右两半刚架组成，受到平面一般力系的作用，可以列出六个独立的平衡方程。
分析整个三铰刚架和左、右两半刚架的受力，画出受力图，如图（b）、（c）、（d）所示，可见，系统的未知量总计为六个，可用六个平衡方程求解出六个未知量。
（1）取整个三铰刚架为研究对象，受力图如图4—21（b）所示
Ma
0
q
84
P
10
Yb
160
Yb
1q8
16
4
P
10
47kN
Mb
0
q
812
P
6
Ya
160
Ya
1q16
8
12
P
6105kN
X
0
X
AXb
0
Xa
Xb
（a）
（2）取左半刚架为研究对象，受力图如图4—21（c）所示
Mey
0
0
Xa
Xa
Ya
Ye
8q84Ya
80
41kN
18Ya
8
Yeqq8
q84
8
Ya
0
23kN
X
0
Xa
Xe
0
Xc
Xa
41kN
将Xa值代入（
a）,
可得
Xb
Xa
41kN
校核：
考虑右半刚架的平衡，受力图如图4—21（d）所示
XXc
Xb
41410
Me
P
2Yb8Xb
8
24
247841
8
0
YYb
-Yc
P4723
240
可见计算无误。
【4—12】图4—22（a）所示，在支架上悬挂着重P4kN的重物，B、E、D为铰接，A为固定端支座，滑轮直径为300mm轴承C是光滑的，其余尺寸如图示。
各杆和滑轮、绳子重量不计，求ABCDE各处的反
力。
【解】：
本结构中，DE为二力杆，因此D、E处铰链反力有1个未知量；A为固定端支座有3个未知的约束反力；BC处铰链反力各有2个未知量；滑轮两边的绳子拉力各有1个未知量；共10个未知量。
考虑到ABBC和滑轮三个构件处于平衡，其可写9个平衡方程；再加上重物在二力作用下处于平衡，可有1个平衡方程。
平衡方程的数目恰好等于未知量的数目。
取整个结构为研究对象，（图4—22（b））列平衡方程
X0Xa0
Y0YAP0
YAP4kN
MA0mAP2.150
mA42.158.6kN
考虑重物的平衡（图4—22（e））根据二力平衡公理知
「P4kN
考虑滑轮的平衡（图4—22（d））,列平衡方程
MC0T20.15T,0.150
T2T,4kN
可见，在不计轴承摩擦的情况下，滑轮处于平衡时，其两边绳子的拉力相等。
X0XCT2cos450
XCT2cos452.83kN
Y0YcHT2sin450
Yc£T2sin456.83kN
再考虑BC杆的平衡（图4—22（c））,列平衡方程
Mb0YC2Scos4510
19.32kN
cos45
2Yc
X0
XB
Ssin45
XC
0
XB
XCSsin45
10.83kN
Y0
YB
Scos45
YC
0
YB
Scos45
YC
6.83kN
校核：
取BC杆平衡（图4—22（c））,由于
0.7070
MC2YB1Ssin4526.83119.32
可见计算无误。
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