平面一般力系平衡方程的其他形式.docx

1、平面一般力系平衡方程的其他形式第九讲内容一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程 的基本形式， 除了这种形式外， 还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩 形式。1二力矩形式的平衡方程在力系作用面内任取两点 A、B及X轴，如图4 13所示，可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即X0M A 0 (4 6)M B 0式中X轴不与A B两点的连线垂直。证明：首先将平面一般力系向 A点简化，一般可得到过 A点的一个力和 一个力偶。若 Ma 0成立，则力系只能简化为通过 A点的合力R或成平衡 状态。如果 Mb 0又成

2、立，说明 R必通过B。可见合力 R的作用线必为 AB连线。又因 X 0成立，则Rx X 0，即合力R在X轴上的投影为零，因AB连线不垂直X轴，合力R亦不垂直于X轴，由Rx 0可推得R 0。 可见满足方程(4 - 6)的平面一般力系，若将其向 A点简化，其主矩和主矢 都等于零，从而力系必为平衡力系。2三力矩形式的平衡方程A B C,如图4 14所4 7)在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点 示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即MA 0MB 0MC 0式中，A B、C三点不在同一直线上。同上面讨论一样，若 Ma 0和 Mb 0成立，则力系合成结果只能是通过A、B两点的一个力（图 4

3、14）或者平衡。如果 MC 0也成立，则合力必然通过 C点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点， 除非合力为零， Me 0才能成立。因此，力系必然是平衡力系。综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程， 即式（4 - 5）、式（4 6）、式（4 7）,在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论 采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程， 求解三个未知数。任何第四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。【例4 7】 某屋架如图 4 15 （ a）所示，设左屋架及盖瓦共重P 3kN，右屋架受到风力及荷载作用，其合力 P2 7kN , P2与BC夹角为80，试求A、B

4、支座的反力。【解】 取整个屋架为研究对象，画其受力图，并选取坐标轴 X轴和Y轴，如图4 15 （b）所示，列出三个平衡方程X 0XaP2 cos 700XaP2 cos 707 0.342 2.39kNma 0YB16 4 PF2sin70 12 P2cos70 4 tan 30 0Y 4R 12P2s in 70 4P2cos70 tan30B 164 3 12 7 0.94 4 7 0.342 0.577165.34kNMB 0 16Ya 12 P P2si n70 4 P2cos70 4 ta n30 0Ya12R 4P2sin 70 4Bcos70 tan30164.24kN校核Y Y

5、A YB P1 P2 sin 704.24 5.34 3 7 0.94说明计算无误。【例4 8】 梁AC用三根支座链杆连接，受一力 P 50kN作用，如图4- 16（a）所示。不计梁及链杆的自重，试求每根支座链杆的反力。【解】 取AC梁为研究对象，画其受力图，如图 4 16（ b）所示。列 平衡方程时，为避免解联立方程组， 最好所列的方程中只有一个未知力， 因 此，取Ra和RB的交点01为矩心列平衡方程M o 0 RC 6 Pcos60 2 Psin 60 4 037.2kN取RB与Rc的交点Q为矩心列平衡方程Ra(4Pcos60 2Psin60 ) (4 50 0.5 2 50 0.866)

6、 0.7076 621.99kNX 0 Ra cos45 RB cos45 P cos60 013.37kNRB 氐边45 皿60 299 .707 50 5cos45 0.707校核Y Ra sin45 RB sin45 RC P sin6021.99 0.707 13.37 0.707 37.2 50 0.8660说明计算无误。3平面力系的特殊情况平面一般力系是平面力系的一般情况。 除前面讲的平面汇交力系， 平面 力偶系外， 还有平面平行力系都可以看为平面一般力系的特殊情况， 它们的 平衡方程都可以从平面一般力系的平衡方程得到，现讨论如下。( 1)平面汇交力系对于平面汇交力系， 可取力系的

7、汇交点作为坐标的原点， 图 417(a) 所示，因各力的作用线均通过坐标原点 0,各力对0点的矩必为零，即恒有M O 0 。因此，只剩下两个投影方程X 0 Y 0即为平面汇交力系的平衡方程。( 2)平面力偶系平面力偶系如图 417(b) 所示,因构成力偶的两个力在任何轴上的 投影必为零,则恒有 X 0和 Y 0,只剩下第三个力矩方程,但因为 力偶对某点的矩等于力偶矩,则力矩方程可改写为m0 0即平面力偶系的平衡方程。(3)平面平行力系 平面平行力系是指其各力作用线在同一平面上并相互平行的力系, 如图4- 17 (C )所示，选0Y轴与力系中的各力平行，则各力在 X轴上的投影恒为零,则平衡方程只

8、剩下两个独立的方程4 8)Y0M 0 0若采用二力矩式( 46),可得4 9)M A 0M B 0式中A、B两点的连线不与各力作用线平行。 平面平行力系只有两个独立的平衡方程,只能求解两个未知量。【例4 9】 图4 18所示为塔式起重机。已知轨距 b 4m，机身重G 260kN ,其作用线到右轨的距离 e 1.5m ,起重机平衡重 Q 80kN , 其作用线到左轨的距离 a 6m，荷载P的作用线到右轨的距离I 12m ,(1) 试证明空载时( P 0 时)起重机时否会向左倾倒( 2)求出起重机不向右倾倒的最大荷载 P。【解】 以起重机为研究对象，作用于起重机上的力有主动力 G P、Q及约束力N

9、a和Nb，它们组成一个平行力系(图 4 18)。(1) 使起重机不向左倒的条件是 Nb 0 ,当空载时，取P 0,列平衡方程MA 0 Q aNb b G(e b) 01Nb - G(e b) bQa1-260(1.544)806237.5kN0所以起重机不会向左倾倒(2) 使起重机不向右倾倒的条件是 Na 0，列平衡方程MB 0 Q(a b) Na b G e P l 01Na - Q(a b) Ge Plb欲使Na 0，则需Q(a b) G e P l 01P Q(a b) G e180(6 4) 260 1.51234.17kN当荷载P 34.17kN时，起重机是稳定的。二、物体系统的平衡

10、前面研究了平面力系单个物体的平衡问题。但是在工程结构中往往是 由若干个物体通过一定的约束来组成一个系统。 这种系统称为物体系统。例如，图示4 19 (a)所示的组合梁，就是由梁 AC和梁CD通过铰C连接，并支承在A、B D支座而组成的一个物体系统。在一个物体系统中，一个物体的受力与其他物体是紧密相关的；整体 受力又与局部紧密相关的。 物体系统的平衡是指组成系统的每一个物体及系 统的整体都处于平衡状态。在研究物体系统的平衡问题时，不仅要知道外界物体对这个系统的作 用力，同时还应分析系统内部物体之间的相互作用力。 通常将系统以外的物 体对这个系统的作用力称为外力，系统内各物体之间的相互作用力称为内

11、 力。例如图4 19 (b)的组合梁的受力图，荷载及 A、B、D支座的反力就 是外力，而在铰 C处左右两段梁之间的互相作用的力就是内力。应当注意，外力和内力是相对的概念，是对一定的考察对象而言的，例如图4- 19组合梁在铰C处两段梁的相互作用力，对组合梁的整体来说， 就是内力，而对左段梁或右段梁来说，就成为外力了。当物体系统平衡时，组成该系统的每个物体都处于平衡状态，因而， 对于每一个物体一般可写出三个独立的平衡方程。 如果该物体系统有 n个物体，而每个物体又都在平面一般力系作用下， 则就有3n个独立的平衡方程，可以求出 3n 个未知量。但是，如果系统中的物体受平面汇交力系或平面平 行力系的作

12、用， 则独立的平衡方程将相应减少， 而所能求的未知量数目也相 应减少。 当整个系统中未知量的数目不超过独立的平衡方程数目， 则未知量可由平衡方程全部求出， 这样的问题称为静定问题。 当未知量的数目超过了 独立平衡方程数目， 则未知量由平衡方程就不能全部求出， 这样的问题， 则 称为超静定问题，在静力学中，我们不考虑超静定问题。在解答物体系统的平衡问题时，可以选取整个物体系统作为研究对象， 也可以选取物体系统中某部分物体 (一个物体或几个物体组合) 作为研究对 象， 以建立平衡方程。 由于物体系统的未知量较多， 应尽量避免从总体的联立方程组中解出， 通常可选取整个系统为研究对象， 看能否从中解出

13、一或两个未知量， 然后再分析每个物体的受力情况， 判断选取哪个物体为研究对象， 使之建立的平衡方程中包含的未知量少，以简化计算。下面举例说明求解物体系统平衡问题的方法。【例 410】 组合梁受荷载如图 4 20(a) 所示。已知R 16kN, P2 20kN , m 8kN m，梁自重不计，求支座 A C的反力。【解】组合梁由两段梁AB和BC组成，作用于每一个物体的力系都是 平面一般力系，共有 6个独立的平衡方程；而约束力的未知数也是 6 ( A处有三个，B处有两个，C处有1个)。首先取整个梁为研究对象，受力图如图 4 20 ( b)所示。X 0 XA P2 cos60 0Xa F2 cos6

14、0 10kN其余三个未知数 YA、mA和RC，无论怎样选取投影轴和矩心，都无法求出其中任何一个，因此，必须将 AB梁和BC梁分开考虑，现取 BC梁为研究对象，受力图如图 4 20 (c)所示。X 0 X b F2 cos 60 0XB P2COS6O 10kNM B 02RcBsi n60 10P sin 60Rc8.66kN2Y 0RcYb 巳 sin 600YbRc P2 sin 608.66kN再回到受图4 20(b)MA 05Rc 4P，sin60P 2 m mA 0mA 4P2 sin 60 2R 5RC m 65.98kNY 0 YA Rc P P2 sin60 0YA R P2

15、sin60 Rc 24.66 kN校核：对整个组合梁，列出M B mA - 3YA P-i 1 1 P，sin60 2RC m65.98 3 24.66 16 1 1 20 0.866 2 8.66 8 0可见计算无误。【例4 11】 钢筋混凝土三铰刚架受荷载如图 4 21 (a)所示，已知q 16kN/m , P 24kN，求支座 A B和铰C的约束反力。【解】 三铰刚架由左右两半刚架组成，受到平面一般力系的作用，可 以列出六个独立的平衡方程。分析整个三铰刚架和左、右两半刚架的受力， 画出受力图，如图(b)、(c)、(d)所示，可见，系统的未知量总计为六个， 可用六个平衡方程求解出六个未知量

16、。(1)取整个三铰刚架为研究对象，受力图如图 4 21 ( b)所示Ma0q8 4P10Yb16 0Yb1 q 8164P1047kNM b0q8 12P6Ya16 0Ya1 q 16812P6 105kNX0XA Xb0XaXb(a)(2)取左半刚架为研究对象，受力图如图 4 21 (c)所示Me y00XaXaYaYe8 q 8 4 Ya8 041kN1 8Ya8Ye q q 8q 8 48Ya023kNX0XaXe0XcXa41kN将Xa值代入(a),可得XbXa41kN校核：考虑右半刚架的平衡，受力图如图 4 21 (d)所示X XcXb41 41 0MeP2 Yb 8 Xb8242

17、47 8 4180Y Yb-YcP 47 2324 0可见计算无误。【4 12】 图4 22 (a)所示，在支架上悬挂着重 P 4kN的重物， B、E、D为铰接，A为固定端支座，滑轮直径为 300mm轴承C是光滑的， 其余尺寸如图示。各杆和滑轮、绳子重量不计，求 A B C D E各处的反力。【解】：本结构中，DE为二力杆，因此 D、E处铰链反力有1个未知量； A为固定端支座有 3个未知的约束反力； B C处铰链反力各有2个未知量； 滑轮两边的绳子拉力各有 1个未知量；共10个未知量。考虑到AB BC和滑 轮三个构件处于平衡， 其可写9个平衡方程；再加上重物在二力作用下处于 平衡，可有1个平衡

18、方程。平衡方程的数目恰好等于未知量的数目。取整个结构为研究对象，(图4 22 ( b)列平衡方程X 0 X a 0Y 0 YA P 0YA P 4kNMA 0 mA P 2.15 0mA 4 2.15 8.6kN考虑重物的平衡(图 4 22 (e)根据二力平衡公理知 P 4kN考虑滑轮的平衡(图 4 22 (d),列平衡方程M C 0 T2 0.15 T, 0.15 0T2 T, 4kN可见，在不计轴承摩擦的情况下，滑轮处于平衡时，其两边绳子的拉 力相等。X 0 XC T2 cos45 0XC T2 cos45 2.83kNY 0 Yc H T2 sin45 0Yc T2 sin 45 6.83kN再考虑BC杆的平衡(图4 22 (c),列平衡方程Mb 0 YC 2 S cos45 1 019.32kNcos 452YcX0XBS sin 45XC0XBX C S sin 4510.83kNY0YBScos 45YC0YBS cos 45YC6.83kN校核：取BC杆平衡(图4 22 (c),由于0.707 0M C 2YB 1 Ssin 45 2 6.83 1 19.32可见计算无误。