山西省古县高县离石县八校届高三数学下学期第一次联考试题.docx
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山西省古县高县离石县八校届高三数学下学期第一次联考试题
山西省古县、高县、离石区2016届高三下学期
第一次八校联考
数学试题（文理通用）
（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）
一、选择题:
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设集合A
xx
2，B
xy
x
，则A
B（
）。
x1
A．[1，2]
B
．[0，2]
C
．（1，2]
D
．[-1.0）
2．已知数列{an}是等比数列，命题
p：
“若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列”，则在命题
p及其逆命
题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为
（
）．
A．1
B
．2
C
．3
D
．4
3．函数y
2sinx的最小正周期为（
）。
A．
B
．
C
．
D
．2
2
4
4．山西离石区某学校
位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，
每次献爱心活动均需该组
织位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给
位同学，且所发信
息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（）。
A．B．C．
D．
5．已知函数f（x）定义在区间[
3
m，m2
m]上的偶函数（m
0），且
x2
1,（x
0）
f（x）
，则f（2016）（
）。
f（x
m）,（x0）
A．1B
．2
C
．9
D
．10
6．如图为某几何体的三视图，求该几何体
的体积（）。
1
A．36B．24C．12D．9
x
y
1
0,
1
2
1表示的区域为Γ，向Ω区域均匀
7．若不等式组
x
y
1
0,表示的区域Ω，不等式
x
y2
1
2
4
y
0
2
随机撒
360颗芝麻，则落在区域
Γ中芝麻数约为（
）
A．114
B．10
C
．150
D
．50
8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为-4时，则条件框内应填写（
）
A．i
3?
B
．i
5?
C．i
4?
D
．i
4?
9．已知直线：
y
kx
k1与曲线C:
x2
2y2
m恒有公共点，则
m的取值范围是（
）
A．m3B．m3C．m3D．m3
10．直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是正三角形，三棱柱的高为
3，若P是△A1B1C1中心，且三棱柱
的体积为9，则PA与平面ABC所成的角大小是（
）
4
A．
B
．
C
．
3
D
．2
6
4
3
11．已知双曲线C的离心率为
2，焦点为F1、F2，点A在C上，若F1A
2F2A，则cos
AF2F1（）
A．1
B
．1
C．
2
D．
2
4
3
4
3
12.已知函数
（
）
2
ln
（
），
3
5
2
，
在[1，4]
上的最大值为b，
fxxaxaxaRg（x）
x
x
2x6g（x）
2
当x
1,
时，f（x）
b恒成立，则a的取值范围（
）
A．a2B．a1C．a
1D．a0
二、填空题：
本大题共
4小题，每小题
5分，共
20分。
2
13．总体编号为01，02，,19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取
5个个体，选取方法是从
随机数表第
1行的第5列和第6
列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第
5个个体的编号
为
．
7816
6572
0802
6314
0214
4319
9714
0198
3204
9234
4936
8200
3623
4869
6938
7181
14．已知a＝（2,4
，x），b＝（2，y,2），若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为
．
15．已知数列
an
bn满足a1
1
bn=1，bn1
bn
N，则b2016
．
，an
2，n
2
1
an
16．过双曲线x2
y2
1（b
a
0）的左焦点F（c,0）（c
0）作圆x2
y2
a2的切线，切点为E，延长
a2
b2
FE交抛物线y2
4cx于点P，O为坐标原点，若
OE
1（OFOP），则双曲线的离心率为
________．
2
三、解答题：
本大题共
6小题，共70分。
17．（本题12分）已知数列{a}，设S是数列{a}的前n项和，并且满足
a＝1，对任意正整数n，有S
n
n
n
1
n＋1
＝4an＋2.
（1）令b＝a＋1－2a（n＝1,2,3
，,）
，证明
{b}是等比数列，并求{b}的通项公式；
n
n
n
n
n
（2）求cn＝，求数列的前n项和Tn．
18．（本题12分）古县某学校数学课题小组对2016羊年央视春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行
调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻
得红包总金额数如下表所示：
手机系统一二三四五
安卓系统（元）253209
IOS系统（元）4318[97
（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？
（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出
2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金
额超过6元的人数，求随机变量
X的分布列及数学期望
E（X）．
下面的临界值表供参考
：
p（K2
k）
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k
2．072
2．706
3．841
5．0246．635
7．879
10．828
独立性检验统计量K2
n（ad
bc）2
其中na
bcd
（ab）（cd）（ac）（bd）
19．（本题12分）在如图所示的几何体中，四边形
ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面
ABCD，∠
°，
AD2,AM
1,E
是AB的中点．
DAB=60
3
（1）求证：
AN∥平面MEC
；
（2）在线段AM上是否存在点
P，使二面角PEC
D的大小为
？
若存在，求出
AP的长；若不存
3
在，请说明理由．
20．（本题12分）在平面直角坐标系
xOy中，E，F两点的坐标分别为（0,3），（0,
3），动点G满
足:
直线EG与直线FG的斜率之积为
3
．
（1）求动点G的轨迹方程；
4
（2）过点O作两条互相垂直的射线，与（
1）中的轨迹分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．
21．（本题12分）已知函数f（x）
x2
axlnx，aR。
（1）若函数g（x）
x2
ax
f（x），求g（x）在区间
1,e上的最大值；
2
e
（2）令g（x）
f（x）
x2，是否存在实数
a，当x
0,e（e是自然常数）时，函数
g（x）的最小值是3，
若存在，求出
a的值；若不存在，说明理由；
请考生在第（
22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（本题10分）选修
4-1：
几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，BAC的平分线与BC相交于点D，
AE2BD2
（1）求证：
EAED；
（2）求DCBE的值．
23．（本题10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
x
2
tcosa
x
2cos
在直角坐标系
xOy中，设倾斜角为a的直线：
3
（t为参数）与曲线C:
y
（
为
y
tsina
sin
参数）相交于不同的两点
A，B．
（1）若a
，求线段AB的长度；
3
（2）若直线的斜率为
5，且有已知点P（2,3）
，求PAPBOP2
．
4
4
24．（本题10分）选修4－5：
不等式选讲
已知函数f（x）x1xa．（a1）
（1）若不等式f（x）
2的解集为
xx
1或
5
，求a的值；
2
2
（2），xR,f（x）
x11，求实数a的取值范围．
5
山西八校联考数学参考答案
1．C2．D3．B4．C5．D．6．C7．A8．D9．A10．C11．B12．B
13．01
14
．1或-315
．
16．
17．
（1）
a
n＋1＝n＋1－n＝（4
a
n＋2）－（4
n－1＋2）
SS
a
＝4（an－an－1）（n∈N＋，n≥2）．
由题意知bn＝an＋1－2an，
∴bn＋1＝an＋2－2an＋1.
∴bn＋1＝4（an＋1－an）－2an＋1＝2an＋1－4an＝2（an＋1－2an），
∴{bn}是等比数列，公比q＝2.
又∵S2＝4a1＋2，∴a1＋a2＝4a1＋2，
∴1＋a2＝4＋2，∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝5－2＝3，
∴bn＝b1·qn－1＝3·2n－1
（2）∵c＝
n－1
＝2，
n
∴Tn＝＋＋＋,＋
18．
（1）有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关；
（2）的分布列为
012
【解析】
（1）根据题意列出
列联表如下：
咻得多少
咻得多
咻得少
手机系统
安卓
2
3
IOS
3
2
，所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少
有关．
（2）随机变量的所有可能取值为，
6
;;
故的分布列为
012
19．
（1）见解析；
（2）在线段
上不存在点
，使二面角
的大小为．
【解析】
（1）证明：
由已知，
MN∥AD∥BC，连接
，
设
与
交于
，连结
，如图所示．
又
，
所以四边形
是平行四边形，
是
的中点．
又是
的中点，所以AN∥EF．
因为
?
平面
，
?
平面
，
所以
∥平面
．
（2）如图所示，假设在线段上存在点，使二面角的大小为．
延长交于点，过作于，连接．
因为四边形是矩形，平面⊥平面，
所以⊥平面，又?
平面，所以，
又，所以⊥平面，
7
所以，为的二面角．
由题意，知＝．
在△中，，
则＝，
所以＝．
又在Rt△PAH中，＝，
则＝×tan＝．
所以在线段上不存在点，使二面角的大小为．
20．
（1）；
（2）
【解析】
（1）已知，设动点的坐标，所以直线的斜率，
直线的斜率（），又，所以，即
．
（2）设，
直线的方程为与椭圆联立消去得
8
即
，把
，
代入得
整理得
，
所以
到直线
的距离
（8分）
，
当且仅当
时取“=”号．
由
即弦的长度的最小值是
所以三角形的最小面积为．
21．
（1）；
（2）存在实数，使得当时有最小值3
【解析】
（1）易知，
，当，有；当，有，
在区间上是增函数，在上为减函数，
当x=1时，g（x）在在区间
上有最大值，最大值为
．
（2）假设存在实数
，使
（
）有最小值
3，
①当时，在上单调递减，，（舍去），
9
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件．
③当时，在上单调递减，，（舍去），
综上，存在实数，使得当时有最小值3．
22．
（1）见解析；
（2）2
【解析】
（1）∵，
而，
．
（2）
，
，又，
，即，
由
（1）知，
．根据已知条件，，，所以．
23．
（1）；
（2）见解析
【解析】
（1）由曲线得的普通方程是．当时，直线方程为
（t为参数），代入曲线的普通方程，得，则线段的长度
为．
（2）将代入曲线的普通方程，
10
得，
因为，
而直线的斜率为则代入上式求得．
已知点，所以
所以
24．
（1）；
（2）．
【解析】
（1），
时，得
时，得
综上得：
．
（2）由可得．
当时，只要恒成立即可，此时只要；
当时，只要恒成立即可，此时只要；
当时，只要恒成立即可，此时只要，
综上．
11
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