教学设计一元二次方程根的判别式.docx
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教学设计一元二次方程根的判别式
初中数学教学设计 一元二次方程根的判别式
一、教学内容分析
“一元二次方程的根的判别式”一节，在《华师大版》的新教材中是作为阅读材料的。
从定理的推导到应用都比较简单。
但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。
通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
教学重点：
根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用
教学难点：
根的判别式定理及逆定理的运用。
教学关键：
对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。
二、学情分析
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对
的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究
作用，它是前面知识的深化与总结。
从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。
所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
三、教学目标
依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是：
知识和技能：
1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；
2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；
3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；
过程和方法：
1、培养学生的探索、创新精神；
2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观：
1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；
2、加深师生间的交流，增进师生的情感；
3、培养学生的协作精神。
四、教学策略：
本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。
具体如下：
序号
教师
学生
1
设置悬念引发兴趣
争先恐后，欲解疑团
2
设计练习，创设情境
动手解题，亲身感知
3
启发引导，发现结论
观察分析、得出结论
4
引导学生，理论验证
阅读理解，自学教材
5
揭示定理内涵
加深认识理解
6
应用定理，解决问题
巩固应用，形成技能
7
归纳小结
整体把握
8
布置作业
巩固提高
五、教学流程：
<一>、设置悬念，引发兴趣：
【教师】：
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？
那么，现在章老师这儿还有一手绝活，就是：
我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！
同学们可以随便地出两个题考考我。
【学生】会争先恐后地编题考老师。
【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。
<二>设置练习，创设情境。
【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？
那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘。
用公式法解一元二次方程（用投影仪打出）
（注：
找三名学生板演，其余学生在位上做）
【学生】都在积极解答，寻找其中的奥秘。
【说明】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。
<三>启发引导，发现结论：
【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：
在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了a、b、c的值，然后求出它的值——
，为什么要这样做呢？
【学生】会初步说出
的作用是：
它能决定方程是否可解。
【教师】
（1）由此可见：
在解
起着重要的作用，显然我们可以根据
的值的符号来判断
的根的情况，因此，我们把
叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta，它是希腊字母）”来表示，即△=
。
我们说在今后的数学学习中还会遇到：
用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。
（3）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情
况有哪几种，谁能总结出来？
【学生】由于前面作了铺垫，所以学生很快可以答出结论。
【说明】：
这样设计
（1）是为了让学生明白：
的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用，从而很自然地引出了根的判别式概念。
（2）是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。
<四>引导学生，理论验证：
【教师】一元二次方程根的情况果真有三种吗？
请同学们认真阅读课本P39的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释。
【学生】带着老师提出的问题，会很认真地去看书，寻找答案。
【说明】这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。
<五>揭示定理：
【教师】
（1）由此我们就得出了关于
若△＞0则方程有两个不相等的实数根
若△=0则方程有两个相等的实数根
若△＜0则方程没有实数根
（2）我们说：
这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：
若方程有两个不相等的实数根，则△＞0
若方程有两个相等的实数根，则△=0
若方程没有实数根，则△＜0
（3）定理与逆定理的用途不同
定理的用途是：
在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。
逆定理的用途是：
在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围。
（4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。
【说明】这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。
重中之重
<六>应用定理，解决问题：
【教师】下面我们就来学习两个定理的应用。
例1：
不解方程判别下列方程根的情况（用投影仪打出）
分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定△值的符号，
（4）补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：
使学生进一步地掌握此类题中△值的符号的判断方法，也为今后解综合性问题打好基础。
在练习中作了相应地补充。
分析：
我先提出两个问题：
（1）是谁决定了方程有无实数根？
（2）现在要证方程无实数根，只要证明什么就行了？
例2是补充的一个用定理证明的题目，它含有字母系数，它的证明实际与例1的第（4）的解法类似，但学生易于出错，往往错用逆定理来证。
注意；例1，例2之后我设计了一个小结：
（1）关于运用根的判别式定理来判断：
含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤以及关于△变形的一些经验，从而使学生真正搞清搞透。
小结
（1）关于运用根的判别式定理来判断：
含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△；
②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△的符号。
③根据根的判别式定理，写出结论。
（2）注意关于△的变形；一般情况下，△由配方或因式分解后能变形成
等形式；那么△的符号就明朗了，即可判断其符号。
学生练习；
不解方程，判别下列方程根的情况
学以致用
【说明】以上例题的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力。
注意：
做以上练习时，学生板演，其余学生在位上做；板演后如果发现有错或有其他解法，下面同学可主动上去纠正或写出自己的不同解法，然后教师进行讲评。
从而调动学生的参与意识。
分析：
要解决这个问题，应先假设方程有实根，然后根据根的判别式的逆定理，得出△≥0，再由△≥0解这个不等式，从而求出a的取值范围，进而得出a的正整数解。
注意：
本思考题是我补充的一个用逆定理来解决的问题，以巩固逆定理的运用方法，本题让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，最后让学生自己完成。
<七>归纳小结
【教师】
（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。
（2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：
一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
判别式的情况
根的情况
定理与逆定理
△＞0
△＝0
△＜0
【说明】这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容，与前后知识的联系以及它在教材中的地位，能起到提纲挈领的作用。
<八>布置作业：
1、阅读课本P39的内容；
2、不解方程判定下列方程根的情况：
注（第3、4题供学有余力的学生做）
【说明】这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。
初中数学新课程教学设计
由“应试教育”向“素质教育”的转轨，学生创新意识及创新能力的培养要求，新的课程标准的实施等因素，对新时期的教师提出了全方位的挑战和考验。
传统教案的设计与编写必须首先变革。
作为数学教师，必须立足于学生的发展来设计数学教学活动，设计的内容应当包括：
总体教学思路，教学的主要目标；学习素材的搜集准备；教学活动的组织形式；实现教学目标的策略方法和步骤；检测和评估等方面。
一、教学思路之设计。
每一位老师都有自己的教学风格和教学方式。
但在强调个性的同时，我们必须努力追求教学过程的科学性。
只有科学的教学思路，才能科学地指导教学活动。
笔者认为，初中数学的教学设计的总体思路必须遵循数学课程标准，充分体现课程标准。
教学的最根本的出发点必须要放在学生的发展上 ——“为了学生的发展而教”。
突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：
“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得以不同的发展”。
因此，新课程教学总体思路设计：
一要把学生“学”数学放在教师“教”之前，“导”学是教学之重点。
二要把组织学生自主数学学习活动作为老师的主要任务之一，并要担任起活动的指导者。
三要着力培养学生科学的数学思想，训练学生的逻辑思维能力。
四是数学基础知识的学习和基本数学能力的训练不能放松。
五要实施差异教学，使人人都获得必需的数学，在数学上得到不同的发展。
具体教学内容和教学环节的设计思路要围绕具体教学目标，立足于学生实际情况，结合具体的教学环境等多种因素来进行。
要充分发挥教师的主导作用，突破传统教学思路之束缚，大胆创新。
如教学“有理数的意义”，我的设计思路是：
（1）从自然数的减法入手，提出问题：
大家的掌握的数不够用了！
（2）提供一两个实例，指出负数的实际存在及意义，引导学生寻找生活中负数并探究其表示的实际意义。
（3）体验有理数。
如果设定向南为正，一步长为单位1，先据动作说出有理数，再根据有理数做出动作。
（4）比较“向南5步”与“向北5步”之异同，我们可以用数学的方式表达吗？
思路
（1）在于激起学生求知之欲。
思路
（2）在于引导学生理解负数应用的实际意义，引导学生发现生活中的数学。
思路（3）、（4）可以让学生进一步感受有理数的意义，体验数学表达方式简洁、明确之特征；理解相反数、绝对值的实际意义；使学生体会学数学可以提高我们的细致的分析问题、解决问题的能力。
二、教学目标之设计
教学目标是评价教学活动的标准，因此，教学目标的设计科学性，客观性和可操作性对教学活动程序设计有重要的指导作用。
在初中数学课程的具体教学活动中，教师必须主导着学生按预定的教学目标进行，当然，这并不排除根据实际的活动情况临时作必要的调整。
教学目标的设计首先要突出基础目标，数学课程教学的目标包括数学基础知识目标和数学基本能力目标。
数学课程教学的基本知识目标和能力的目标具体体现在每一个知识点的教学活动和每一项能力训练活动中，即要明确教学活动中要“学什么”和“练什么”。
与传统教学目标所不同的是：
新课程在强调“双基”教学的同时，更突出学生自主探究的学习过程的组织，即要强调学生“怎样学”的设计，而不是“怎样教”的设计。
其次要体现学生数学学习能力和数学思维能力培养目标。
数学新课程标准要实现“不同的人在数学上得到不同的展”的目标，因此，教学目标的设计要具有可拓展性。
即每一个教学活动目标设计，既要有定性目标（基础目标），还要有不定性目标（发展目标）。
在学生实现基本目标的基础上，根据不同学生的特征，提出不同的发展目标，力求能够实现每个学生在同一的学习活动中都得到最大的发展。
如“幂的乘方”一节，我的教学目标设计为：
（1）、掌握幂的乘方运算法则，能够运用法则准确进行幂的乘方运算。
（2）、通过本节内容的学习过程，培养学生综合运用已知的数学知识探究数学规律来获取新知的意识。
（3）、让学生体验从“一般到特殊，再从特殊到一般”的数学思想。
目标
（1）是基础目标，要求每个学生必须达到。
目标
（2）是发展目标，鼓励学生通过自主探索与合作交流后，大部分学生能达到。
目标（3）是给已经具备一定能力的学生提出的，引导学生体验数学知识及其它学科知识都蕴含着的普遍规律性，进而激励学生从诸多的特殊现象中探究一般规律的兴趣。
三、教学过程的设计
数学教学过程是为实现既定的教学目标而在教师主导下展开的“教”和“学”的双边活动。
教学过程的设计就是具体教学活动步骤的安排，体现着教师的教学思想、教学手段和方法及教学艺术程度。
笔者认为教学过程的设计必须首先体现教学目标和实现目标的策略，数学课堂教学的基本结构应当包括“导入——提出问题；探究——思考、研究问题；交流讨论——解决问题；总结——明确问题；实践——应用问题”。
一次教学活动的过程设计要根据教学目标，选定具体的丰富的内容，这包括生活素材、基本练习、典型例题、能力训练题、实践题等。
在“幂的乘方”一节的教学活动中，围绕教学目标，我作了如下的过程设计。
1、导入：
将下列各式用一个更加简便的算式表示。
（1）5+5+5+5+5+5+5
（2）a•a•a•a•a•a （3）32•32•32 [注：
（3）式部分学生有困难，在两题的基础上，学生已经受到启示，只组织学生讨论一下，可获得成功] 提出问题：
我们怎样用更加简便的式子来表示（3）式，计算（3）式？
2、探究：
我们来研究（3）式的表示和计算问题。
（1）填写下列每步运算的依据。
32•32•32=3•3•3•3•3•3
※（32）3=32•32•32
=36
=……
（2）猜想：
（an）m应该怎样计算？
请举例验证你的猜想。
3、交流讨论：
式子（an）m 的意义及计算方法。
4、总结：
公式（an）m=amn 的意义，即幂的乘方法则。
5、实践：
计算下列各式：
（1）（22）3
（2）（a3）2 （3）[（—2）2]3 （4）[（—a）2]4
6、让我们自己来编一些类似的运算试试。
四、教学活动的评估与检测的设计。
对教学活动的评估是教师进行活动设计不可忽缺的重要环节之一。
首先，评测是对学生学习活动过程和结果的评价，也是教师对教学活动设计与组织效果的检测，具有重要的衡量和指导作用。
其次，客观科学的评测，有利于促进学生自主意识的形成和强化，进而促进学生的发展。
初中数学教学活动的评估与检测的设计，可以从几个方面来进行：
一是围绕教学目标来检测学生对数学基础知识的掌握情况和运用数学知识解题的基本技能形成状态；二根据学生参与数学教学活动的程度与热情来检测活动设计的科学性和艺术性，把严谨性和启示性作为检测的重要标准；三是根据教学活动过程中学生的具体表现来肯定或纠正学生的学习行为，把学生的学习行为和过程作为评价重点。
四是设计和组织有针对性的活动来评价和检测学生数学学习能力。
根据学科特征，数学教学活动的检测可分为：
（1）数学基础知识的检测，包括基本概念、式或图的基本性质等。
这类检测要渗透在每个活动过程中，发现问题必须及时纠正，要求严格不留后患。
（2）数学基本技能的检测，包括运算能力、判断和辩析能力、简单的推理能力等。
这类检测可专项设计小竞赛等活动来进行，要重视对学生这些基本技能的训练和检测。
（3）数学综合能力的检测，包括运用数学知识和方法解决实际问题的能力、多角度思考和解决数学问题的能力、在生活实际中自觉运用数学的意识等。
这类检测依赖于教师对学生数学学习活动和其他活动观察和分析，教师要随时向学生提供展示能力的平台和机会。
显然，对教学活动的检测与传统的考试有着明显区别。
我们不能把二者简单等同起来。
五、课外活动的设计
初中数学课外活动的内容是非常丰富的。
从形式上分主要有实践操作类如：
面积的测量与计算，树高或建筑物的高度间接测量，对称图案的设计与绘制，几何拼图与折叠，角平分仪的设计与制作等。
理论总结类如：
角平线的画法及依据，平行线的几种判定，生活中的函数问题等。
数学课外活动的设计要立足于学生的发展，因地制宜地开展。
数学课外活动的设计要做到：
一、内容具体，可操作性强；二、富有启发性，趣味性强；三、提倡和鼓励合作交流；四、定期展示成果，激励学生。
教学设计方案的编写，应当明显区别于传统授课教案。
重点在于策略和程序的设计，而不必进行具体教学过程的编写。
因为新标准注重学生创新能力的培养，教学活动的过程就是自主学习的过程，在活动过程中，“学生——课本——教师”类似于“演员——剧本——导演”的关系，“教案”只是导演的备忘录，过于详细具体的安排，只会束缚演员的表演和再创作。
附：
在教学活动组成因素关系图
方差教学设计
教学目标：
1．通过一系列富有启发性、层层深入的问题，引起学生广泛思考和探索，
体验方差、标准差公式的合理性；逐步明确方差、标准差的意义和作用
2．会用公式计算数据的方差和标准差；
3．会用方差来估计一组数据的波动情况。
4．创设情境，留给学生探索空间，培养探索能力.
教学重点：
1.方差公式的探索得出过程
2.方差公式；
3.会利用方差公式计算方差.
教学难点：
方差的定义及方差公式的推导.
课 型：
新授课
教学过程：
一、引入
情境设计：
显示打靶场面，提出问题1:
为了从甲、乙、丙三名射手中选拔一人参加射击比赛,请你设计一种简单易行的选拔方案。
学生：
回答可分别计算甲、乙、丙三名射手射击成绩的平均数，谁的平均水平高，就选谁。
我们在前面的课程中，已经研究了描述一组数据的集中趋势的统计特征量，问：
它们分别是什么？
（平均数、众数、中位数）
【由“射击问题”引入：
当平均数相同时，如何判断一组数据的波动大小的问题】
问：
同学们，谁看过射击比赛？
相信大多数同学都看过。
接下来，要让同学们自己想办法，解决有关射击的问题。
二． 新课
教师：
提供甲、乙、丙三名射手的射击成绩如下：
甲：
10 7 7 7 7 7 4 7 7 7
乙：
9 6 5 9 8 5 5 9 5 9
丙：
8 6 6 7 6 4 7 5 5 6
学生：
①分小组计算甲、乙、丙的射击成绩;
②发现除丙外，其它二人成绩均为=7;
③思维第一次受阻
教师：
激活思维：
①问题2：
平均数相等,射击水平就完全一样吗?
②观察数据特点。
③可从数据的稳定性上考虑。
学生：
①小组讨论，得出甲、乙数据特点如下：
甲：
波动幅度大,但波动的数据少;
乙：
波动幅度小,但波动的数据多
②不能断定哪个稳定性好，思维第二次受阻.
教师：
①单看个别数据的波动幅度不能衡量一组数据的整体波动大小._
②问题3:
怎样才能衡量整个一组数据的波动大小呢?
③提供一种方案，供学生参看：
将甲、乙两数据以点的形式标注在平面直角坐标系里，然后用折线连接，确定7为中心线，从而观察波动情况:
?
.能比较明显地看到有多少数据在振动;
?
.数据偏离中心线的幅度有多少.
甲 乙
④结论:
?
必须确定波动标准（一般取数据的平均数）;
?
每个数据对整个波动情况都起作用;
?
这种绘制图象的方法仍然是定性的综合印象
⑤问题4：
怎样定量地计算整个波动大小呢？
⑥对数据：
甲：
10 7 7 7 7 7 4 7 7 7
乙：
9 6 5 9 8 5 5 9 5 9
学生：
计算偏差:
每个数据与标准数据（）的差
甲：
3 0 0 0 0 0?
3 0 0 0
乙：
2?
1?
2 2 1 -2?
2 2 -2 2
教师：
问题5：
如何累计偏差？
学生：
①计算偏差的代数和，都为0（无法比较，否定此法）
教师：
问题6：
如何使正负偏差不互相低消？
学生：
讨论后得出两种方法1.给每个偏差加上绝对值后再相加
2.给每个偏差平方后再相加
教师：
①通常采用方法2
②请你小结计算偏差和的步骤
学生：
①讨论后得出步骤如下：
?
.计算数据平均数
?
.计算偏差:
每个数据与标准数据（ ）的差
?
.计算偏差的平方和
②分别计算下列两组数据的偏差的平方和
92.5 90 87.5
92 89 92 88 91 88
教师：
①第一组的结果为12.5;第二组的结果为18,从计算可得出第一组比第二组稳定,但观察数据显然是第二组稳定.
②问题7:
观察和计算为什么矛盾?
学生:
因为两组数据个数不一样.
教师:
问题8:
在数据个数不一样的情况下,如何合理计算偏差?
学生:
计算偏差平方的平均数
教师:
请同学们分别计算上述两组数据偏差平方的平均数
学生:
算出第一组为4.17;第二组为3
教师:
现在观察和计算还矛盾吗?
学生:
…
教师:
①我们把一组数据偏差平方的平均数叫做这组数据的”方差”,板书课题---方差
②请同学们总结计算方差的步骤
学生:
小组讨论后给出下列步骤
?
.计算数据的平均数;
?
.计算偏差:
每个数据与标准数据（ ）的差;
?
.计算偏差的平方和;
Ⅳ.除以数据个数
教师:
问题9:
对一般性的数据x1、x2、…、xn，设其平均数为，你能写出方差计算公式吗？
学生：
S2= [（x1-）2+（x2-）2+?
?
?
+（xn-）2]
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