考研高等数学全面复习资料电子版.docx

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考研高等数学全面复习资料电子版

高等数学考研复习资料，最全篇,适合于一遍,二遍复习

研究细节，祝您考研数学春风得意马，突破１30分大关！

目　录

一、函数与极限2

１、集合得概念２

2、常量与变量ﻩ3

2、函数4

4、反函数５

５、复合函数６

６、初等函数ﻩ6

7、双曲函数及反双曲函数７

8、数列得极限ﻩ8

1０、函数极限得运算规则ﻩ11

一、函数与极限

１、集合得概念

一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成得总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合得元素必须就就是确定得）与互异性（给定集合中得元素就就是互不相同得）。

比如“身材较高得人”不能构成集合,因为它得元素不就就是确定得。

我们通常用大字拉丁字母A、Ｂ、Ｃ、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中得元素。

如果a就就是集合A中得元素,就说a属于Ａ，记作:

a∈A,否则就说a不属于A，记作:

aA。

⑴、全体非负整数组成得集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N

⑵、所有正整数组成得集合叫做正整数集。

记作Ｎ+或N+。

⑶、全体整数组成得集合叫做整数集。

记作Ｚ。

⑷、全体有理数组成得集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成得集合叫做实数集。

记作Ｒ。

集合得表示方法

⑴、列举法:

把集合得元素一一列举出来，并用“{｝”括起来表示集合

⑵、描述法:

用集合所有元素得共同特征来表示集合。

集合间得基本关系

⑴、子集:

一般地,对于两个集合A、Ｂ,如果集合A中得任意一个元素都就就是集合B得元素,我们就说A、Ｂ有包含关系,称集合A为集合B得子集,记作A　B（或BＡ）。

。

⑵相等:

如何集合A就就是集合B得子集,且集合B就就是集合A得子集，此时集合Ａ中得元素与集合B中得元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A＝B。

⑶、真子集:

如何集合Ａ就就是集合B得子集,但存在一个元素属于Ｂ但不属于Ａ,我们称集合A就就是集合B得真子集。

⑷、空集:

我们把不含任何元素得集合叫做空集。

记作,并规定,空集就就是任何集合得子集。

⑸、由上述集合之间得基本关系,可以得到下面得结论:

①、任何一个集合就就是它本身得子集。

即AA

②、对于集合A、B、C，如果Ａ就就是B得子集,B就就是C得子集，则A就就是C得子集。

③、我们可以把相等得集合叫做“等集”,这样得话子集包括“真子集”与“等集”。

集合得基本运算

⑴、并集:

一般地,由所有属于集合Ａ或属于集合B得元素组成得集合称为Ａ与B得并集。

记作Ａ∪B。

（在求并集时,它们得公共元素在并集中只能出现一次。

）

即A∪Ｂ＝｛x｜x∈A,或x∈B｝。

⑵、交集:

一般地,由所有属于集合Ａ且属于集合B得元素组成得集合称为A与B得交集。

记作A∩B。

即Ａ∩Ｂ=｛x|ｘ∈A，且x∈B｝。

⑶、补集:

①全集:

一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及得所有元素，那么就称这个集合为全集。

通常记作U。

②补集:

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A得所有元素组成得集合称为集合A相对于全集U得补集。

简称为集合A得补集,记作CUA。

即ＣUA={x|x∈Ｕ,且xＡ｝。

集合中元素得个数

⑴、有限集:

我们把含有有限个元素得集合叫做有限集，含有无限个元素得集合叫做无限集。

⑵、用cａrd来表示有限集中元素得个数。

例如A={a,b,c｝,则cａrｄ（A）=3。

⑶、一般地,对任意两个集合A、B,有

ｃard（A）+caｒd（B）＝card（A∪B）+card（Ａ∩Ｂ）

我得问题:

１、学校里开运动会,设A={x|x就就是参加一百米跑得同学},B＝{ｘ|ｘ就就是参加二百米跑得同学}，Ｃ＝｛x｜x就就是参加四百米跑得同学}。

学校规定,每个参加上述比赛得同学最多只能参加两项,请您用集合得运算说明这项规定,并解释以下集合运算得含义。

⑴、Ａ∪B;⑵、A∩Ｂ。

２、在平面直角坐标系中，集合C={（x,y）|ｙ=x}表示直线y＝x,从这个角度瞧,集合D＝{（x,y）｜方程组：

２x-ｙ=１，x＋4ｙ＝5｝表示什么？

集合C、D之间有什么关系？

请分别用集合语言与几何语言说明这种关系。

3、已知集合A=｛x|１≤ｘ≤3},B＝{x｜（x－1）（x-ａ）=0}。

试判断Ｂ就就是不就就是A得子集?

就就是否存在实数a使A=B成立?

4、对于有限集合A、B、C,能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间得关系呢?

5、无限集合A=｛1,2，３,4,…,n,…｝,B={２,4,6，８，…,2ｎ,…},您能设计一种比较这两个集合中元素个数多少得方法吗?

2、常量与变量

⑴、变量得定义:

我们在观察某一现象得过程时，常常会遇到各种不同得量，其中有得量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有得量在过程中就就是变化得,也就就就是可以取不同得数值,我们则把其称之为变量。

注:

在过程中还有一种量,它虽然就就是变化得,但就就是它得变化相对于所研究得对象就就是极其微小得,我们则把它瞧作常量。

⑵、变量得表示:

如果变量得变化就就是连续得,则常用区间来表示其变化范围。

在数轴上来说,区间就就是指介于某两点之间得线段上点得全体。

区间得名称

区间得满足得不等式

区间得记号

区间在数轴上得表示

闭区间

ａ≤ｘ≤b

[a，b]

开区间

a＜x

（ａ,b）

半开区间

a<ｘ≤b或a≤x

（a,ｂ]或[a,b）

以上我们所述得都就就是有限区间,除此之外,还有无限区间:

[a,+∞）：

表示不小于a得实数得全体,也可记为:

ａ≤x<＋∞;

（－∞,ｂ）:

表示小于b得实数得全体,也可记为:

－∞＜x

（-∞，＋∞）:

表示全体实数，也可记为：

－∞

注:

其中-∞与+∞,分别读作＂负无穷大"与"正无穷大",它们不就就是数，仅仅就就是记号。

⑶、邻域:

设α与δ就就是两个实数,且δ>0、满足不等式│x－α│<δ得实数x得全体称为点α得δ邻域，点α称为此邻域得中心,δ称为此邻域得半径。

2、函数

⑴、函数得定义:

如果当变量ｘ在其变化范围内任意取定一个数值时,量y按照一定得法则f总有确定得数值与它对应，则称y就就是x得函数。

变量x得变化范围叫做这个函数得定义域。

通常x叫做自变量,y叫做函数值（或因变量）,变量y得变化范围叫做这个函数得值域。

注:

为了表明y就就是x得函数,我们用记号y=ｆ（x）、y=F（ｘ）等等来表示。

这里得字母"f"、"F"表示ｙ与ｘ之间得对应法则即函数关系,它们就就是可以任意采用不同得字母来表示得。

如果自变量在定义域内任取一个确定得值时,函数只有一个确定得值与它对应,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数。

这里我们只讨论单值函数。

⑵、函数相等

由函数得定义可知,一个函数得构成要素为：

定义域、对应关系与值域。

由于值域就就是由定义域与对应关系决定得,所以,如果两个函数得定义域与对应关系完全一致,我们就称两个函数相等。

⑶、域函数得表示方法

a）:

解析法：

用数学式子表示自变量与因变量之间得对应关系得方法即就就是解析法。

例:

直角坐标系中，半径为ｒ、圆心在原点得圆得方程就就是：

x2+y2=r２

b）:

表格法：

将一系列得自变量值与对应得函数值列成表来表示函数关系得方法即就就是表格法。

例：

在实际应用中,我们经常会用到得平方表,三角函数表等都就就是用表格法表示得函数。

ｃ）:

图示法:

用坐标平面上曲线来表示函数得方法即就就是图示法。

一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。

例:

直角坐标系中,半径为ｒ、圆心在原点得圆用图示法表示为：

3、函数得简单性态

⑴、函数得有界性:

如果对属于某一区间I得所有x值总有│f（ｘ）│≤M成立,其中M就就是一个与x无关得常数,那么我们就称f（x）在区间Ｉ有界,否则便称无界。

注:

一个函数,如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数

例题:

函数cosx在（-∞,＋∞）内就就是有界得、

⑵、函数得单调性:

如果函数在区间（ａ,b）内随着x增大而增大，即：

对于（a,b）内任意两点ｘ1及ｘ2,当x１

如果函数在区间（a,b）内随着x增大而减小,即:

对于（a，b）内任意两点ｘ1及x２,当ｘ1<ｘ２时，有,则称函数在区间（ａ,b）内就就是单调减小得。

例题：

函数=x2在区间（-∞,０）上就就是单调减小得,在区间（0,+∞）上就就是单调增加得。

⑶、函数得奇偶性

如果函数对于定义域内得任意x都满足=,则叫做偶函数;如果函数对于定义域内得任意x都满足＝-,则叫做奇函数。

注:

偶函数得图形关于y轴对称,奇函数得图形关于原点对称。

⑷、函数得周期性

对于函数,若存在一个不为零得数ｌ,使得关系式对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数,l就就是得周期。

注:

我们说得周期函数得周期就就是指最小正周期。

例题:

函数就就是以2π为周期得周期函数；函数tgx就就是以π为周期得周期函数。

4、反函数

⑴、反函数得定义：

设有函数,若变量y在函数得值域内任取一值ｙ0时，变量x在函数得定义域内必有一值ｘ0与之对应,即,那末变量x就就是变量y得函数、这个函数用来表示，称为函数得反函数、

注：

由此定义可知,函数也就就是函数得反函数。

⑵、反函数得存在定理:

若在（ａ,b）上严格增（减）,其值域为　R,则它得反函数必然在Ｒ上确定，且严格增（减）、

注:

严格增（减）即就就是单调增（减）

例题：

ｙ=ｘ2,其定义域为（-∞,＋∞）,值域为［0,+∞）、对于y取定得非负值,可求得x=±、若我们不加条件，由ｙ得值就不能唯一确定x得值,也就就就是在区间（－∞,+∞）上,函数不就就是严格增（减），故其没有反函数。

如果我们加上条件，要求x≥0,则对ｙ≥0、x=就就就是y=ｘ2在要求ｘ≥0时得反函数。

即就就是:

函数在此要求下严格增（减）、

⑶、反函数得性质：

在同一坐标平面内,与得图形就就是关于直线y=x对称得。

例题:

函数与函数互为反函数,则它们得图形在同一直角坐标系中就就是关于直线y=x对称得。

如右图所示:

5、复合函数

复合函数得定义:

若y就就是u得函数:

而u又就就是x得函数:

且得函数值得全部或部分在得定义域内,那末,y通过u得联系也就就是x得函数,我们称后一个函数就就是由函数及复合而成得函数,简称复合函数,记作，其中ｕ叫做中间变量。

注：

并不就就是任意两个函数就能复合;复合函数还可以由更多函数构成。

例题：

函数与函数就就是不能复合成一个函数得。

因为对于得定义域（-∞,+∞）中得任何ｘ值所对应得u值（都大于或等于2）,使都没有定义。

６、初等函数

⑴、基本初等函数：

我们最常用得有五种基本初等函数,分别就就是：

指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。

下面我们用表格来把它们总结一下：

函数名称

函数得记号

函数得图形

函数得性质

指数函数

 a）:

不论x为何值,y总为正数;ﻫ b）:

当ｘ=0时,y＝１、

对数函数

 a）：

其图形总位于y轴右侧,并过（1,０）点

 b）:

当a>１时,在区间（0,１）得值为负;在区间（-,＋∞）得值为正;在定义域内单调增、

幂函数

ａ为任意实数

这里只画出部分函数图形得一部分。

 令a=m/n

 a）:

当m为偶数ｎ为奇数时,ｙ就就是偶函数;ﻫ b）：

当m,n都就就是奇数时，y就就是奇函数;ﻫ c）:

当m奇n偶时,y在（-∞,0）无意义、

三角函数

（正弦函数）ﻫ 这里只写出了正弦函数

 a）：

正弦函数就就是以２π为周期得周期函数ﻫ ｂ）:

正弦函数就就是奇函数且

反三角函数

（反正弦函数）ﻫ这里只写出了反正弦函数

 a）:

由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在[-π/２,π／2］上,并称其为反正弦函数得主值、

⑵、初等函数:

由基本初等函数与常数经过有限次得有理运算及有限次得