届中考数学一轮复习讲义第14讲几何图形初步.docx

届中考数学一轮复习讲义第14讲几何图形初步.docx

《届中考数学一轮复习讲义第14讲几何图形初步.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届中考数学一轮复习讲义第14讲几何图形初步.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届中考数学一轮复习讲义第14讲几何图形初步

2018届中考数学一轮复习讲义第14讲平面几何图形初步

【知识巩固】

一、直线、射线、线段和角

（一）几何图形：

1、几何图形：

从形形色色的物体外形中得到的图形叫做几何图形。

2、立体

图形：

这些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

3、平面图形：

这些几何图形的各部分都在同一个平面内。

4、虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。

立体图形中某些部分是平面图形。

5、三视图：

从左面看，从正面看，从上面看

6、展开图：

有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。

这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

7、⑴几何体简称体；包围着体的是面；面面相交形成线；线线相交形成点；

⑵点无大小，线、面有曲直；⑶几何图形都是由点、线、面、体组成的；

⑷点动成线，线动成面，面动成体；⑸点：

是组成几何图形的基本元素。

（二）直线、射线、线段：

1、直线公理：

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

即：

两点确定一条直线。

2、当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。

3、把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做这条线段的中点。

4、线段公理：

两点的所有连线中，线段做短（两点之间，线段最短）。

5、连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

6、直线的表示方法：

7、在直线上取点O，把直线分成两个部分，去掉一边的一个部分，保留点0和另一部分就得到一条射线，如上图就是一条射线，记作射线OM或记作射线a．

注意：

射线有一个端点，向一方无限延伸．

8、在直线上取两个点A、B，把直线分成三个部分，去掉两边的部分，保留点A、B和中间的一部分就得到一条线段．如图就是一条线段，记作线段AB或记作线段a．

注意：

线段有两个端点．

（三）角：

1.角的定义：

有公共端点的两条射线组成的图形叫角。

这个公共端点是角的顶点，两条射线为角的两边。

如图，角的顶点是O，两边分别是射线OA、OB．

2、角有以下的表示方法：

①用三个大写字母及符号“∠”表示．三个大写字母分别是顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间．如上图的角，可以记作∠AOB或∠BOA．

②用一个大写字母表示．这个字母就是顶点．如上图的角可记作∠O．当有两个或两个以上的角是同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．

③用一个数字或一个希腊字母表示．在角的内部靠近角的顶点

处画一弧线，写上希腊字母或数字．如图的两个角，分别记作∠

、∠1

2、以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。

角的度、分、秒是60进制的。

1度=60分1分=60秒1周角=360度1平角=180度

3、角的平分线：

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做

这个角的平分线。

4、如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个叫互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角；

如果两个角的和等于180度（平角），就说这两个叫互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角。

5、同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等。

6、方位角：

一般以正南正北为基准，描述物体运动的方向。

二、相交线

1、相交线中的角

两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。

我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。

临补角互补，对顶角相等。

直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。

其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。

2、垂线

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

垂线的性质：

性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

简称：

垂线段最短。

三、平行线

1、平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

相交或平行。

2、平行线公理及其推论

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3、平行线的判定

平行线的判定公理：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。

简称：

同位角相等，两直线平行。

平行线的两条判定定理：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。

简称：

内错角相等，两直线平行。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。

简称：

同旁内角互补，两直线平行。

4、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

四、命题、定理、证明

1、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

2、命题的分类：

按正确、错误与否分为：

真命题和假命题

所谓正确的命题就是：

如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：

如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

【典例解析】

典例一、几何图形

（2016·浙江省绍兴市·4分）如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】几何体的展开图．

【分析】根据含有田字形和凹字形的图形不能折成正方体可判断A、C，D，故此可得到答案．

【解答】解：

A、含有田字形，不能折成正方体，故A错误；

B、能折成正方体，故B正确；

C、凹字形，不能折成正方体，故C错误；

D、含有田字形，不能折成正方体，故D错误．

故选：

B．

【变式训练】

（2016·浙江省绍兴市·4分）如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】几何体的展开图．

【分析】根据含有田字形和凹

字形的图形不能折成正方体可判断A、C，D，故此可得到答案.

【解答】解：

A、含有田字形，不能折成正方体，故A错误；

B、能折成正方体，故B正确；

C、凹字形，不能折成正方体，故C错误；

D、含有田字形，不能折成正方体，故D错误．

故选：

B．

典例二、直线、射线和线段

（2016•金华）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（　　）

A．点CB．点D或点E

C．线段DE（异于端点）上一点D．线段CD（异于端点）上一点

【分析】连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，再比较∠ACB，∠ADB，∠AEB的大小即可．

【解答】解：

连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，

通过测量可知∠ACB＜∠ADB＜∠AEB，所以射门的点越靠近线段DE，角越大，故最好选择DE（异于端点）上一点，

故选C．

【点评】本题考查了比较角的大小，一般情况下比较角的大小有两种方法：

①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．

【变式训练】

（2016•台湾）如图

（一），

为一条拉直的细线，A、B两点在

上，且

：

=1：

3，

：

=3：

5．若先固定B点，将

折向

，使得

重迭在

上，如图

（二），再从图

（二）的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？

（　　）

A．1：

1：

1B．1：

1：

2C．1：

2：

2D．1：

2：

5

【分析】根据题意可以设出线段OP的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．

【解答】解：

设OP的长度为8a，

∵OA：

AP=1：

3，OB：

BP=3：

5，

∴OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a，

又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图

（二），再从图

（二）的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，

∴这三段从小到大的长度分别是：

2a、2a、4a，

∴此三段细线由小到大的长度比为：

2a：

2a：

4a=1：

1：

2，

故选B．

【点评】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．

典例三、角

（2017广东）已知∠A=70°，则∠A的补角为（　　）

A．110°B．70°C．30°D．20°

【考点】IL：

余角和补角．

【分析】由∠A的度数求出其补角即可．

【解答】解：

∵∠A=70°，

∴∠A的补角为110°，

故选A

【变式训练】

（2017广西河池）如图，点O在直线AB上，若∠BOC=60°，则∠AOC的大小是（　　）

A．60°B．90°C．120°D．150°

【考点】IF：

角的概念．

【分析】根据点O在直线AB上，∠BOC=60°，即可得出∠AOC的度数．

【解答】解：

∵点O在直线AB上，

∴∠AOB=180°，

又∵∠BOC=60°，

∴∠AOC=120°，

故选：

C．

典例四、相交线

（2016·福建龙岩·4分）下列命题是假命题的是（　　）

A．若|a|=|b|，则a=b

B．两直线平行，同位角相等

C．对顶角相等

D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根

【考点】命题与定理．

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：

A、若|a|=|b|，则a﹣b=0或a+b=0，故A错误；

B、两直线平行，同位角相等，故B正确；

C、对顶角相等，故C正确；

D、若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根，故D正确；

故选：

A．

【变式训练】

（2016•贺州）如图，已知∠1=60°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（　　）

A．70°B．100°C．110°D．120°

【分析】先根据补角的定义求出∠2的度数，再由平行线的性质即可得出结论．

【解答】解：

∵∠1=60°，

∴∠2=180°﹣60°=120°．

∵CD∥BE，

∴∠2=∠B=120°．

故选D．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：

两直线平行，同位角相等．

典例五、平行线

（2017毕节）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED=（　　）

A．55°B．125°C．135°D．140°

【考点】JA：

平行线的性质．

【分析】根据平行线性质求出∠CAB，根据角平分线求出∠EAB，根据平行线性质求出∠AED即可．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠C+∠CAB=180°，

∵∠C=70°，

∴∠CAB=180°﹣70°=110°，

∵AE平分∠CAB，

∴∠EAB=55°，

∵AB∥CD，

∴∠EAB+∠AED=180°，

∴∠AED=180°﹣55°=125°．

故选：

B．

【变式训练】

（2017湖南怀化）如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（　　）

A．130°B．50°C．40°D．150°

【考点】JA：

平行线的性质．

【分析】利用平行线的性质得出∠1=∠3=50°，再利用对顶角的定义得出即可．

【解答】解：

如图：

∵直线a∥直线b，∠1=50°，

∴∠1=∠3=50°，

∴∠2=∠3=50°．

故选：

B．

典例六、命题、定理、证明

（2017广西百色）下列四个命题中：

①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有　②　（填序号）

【考点】O1：

命题与定理．

【分析】要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

【解答】解：

①对顶角相等是真命题；

②同旁内角互补是假命题；

③全等三角形的对应角相等是真命题；

④两直线平行，同位角相等是真命题；

故假命题有②，

故答案为：

②．

【变式训练】

（2017呼和浩特）下面三个命题：

①若

是方程组

的解，则a+b=1或a+b=0；

②函数y=﹣2x2+4x+1通过配方可化为y=﹣2（x﹣1）2+3；

③最小角等于50°的三角形是锐角三角形，

其中正确命题的序号为　②③　．

【考点】O1：

命题与定理．

【分析】①根据方程组的解的定义，把

代入

，即可判断；

②利用配方法把函数y=﹣2x2+4x+1化为顶点式，即可判断；

③根据三角形内角和定理以及锐角三角形的定义即可判断．

【解答】解：

①把

代入

，得

，

如果a=2，那么b=1，a+b=3；

如果a=﹣2，那么b=﹣7，a+b=﹣9．

故命题①是假命题；

②y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故命题②是真命题；

③最小角等于50°的三角形，最大角不大于80°，一定是锐角三角形，故命题③是真命题．

所以正确命题的序号为②③．

故答案为②③．

典例七、平行相交的综合应用

（2017呼和浩特）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=48°，则∠AED为　114　°．

【考点】JA：

平行线的性质；IJ：

角平分线的定义．

【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠C+∠CAB=180°，

∵∠C=48°，

∴∠CAB=180°﹣48°=132°，

∵AE平分∠CAB，

∴∠EAB=66°，

∵AB∥CD，

∴∠EAB+∠AED=180°，

∴∠AED=180°﹣66°=114°，

故答案为：

114．

【变式训练】

（2017湖北荆州）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　）

A．40°B．45°C．50°D．10°

【考点】JA：

平行线的性质．

【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．

【解答】解：

由图可得，∠CDE=40°，∠C=90°，

∴∠CED=50°，

又∵DE∥AF，

∴∠CAF=50°，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAF=60°﹣50°=10°，

故选：

D．

【能力检测】

1.（2017贵州安顺）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）

A．100°B．110°C．120°D．130°

【考点】JA：

平行线的性质．

【分析】先根据互余计算出∠3=90°﹣40°=50°，再根据平行线的性质由a∥b得到∠2=180°﹣∠3=130°．

【解答】解：

∵∠1+∠3=90°，

∴∠3=90°﹣40°=50°，

∵a∥b，

∴∠2+∠3=180°．

∴∠2=180°﹣50°=130°．

故选：

D．

2.（2016•荆州）如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F，若∠1=115°，则∠2的度数是（　　）

A．55°B．65°C．75°D．85°

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠1+∠F=180°，

∵∠1=115°，

∴∠AFD=65°，

∵∠2和∠AFD是对顶角，

∴∠2=∠AFD=65°，

故选B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．

3.（2017四川南充）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（　　）

A．30°B．32°C．42°D．58°

【考点】JA：

平行线的性质．

【分析】先利用平行线的性质得出∠3，进而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行线的性质即可；

【解答】解：

如图，

过点A作AB∥b，

∴∠3=∠1=58°，

∵∠3+∠4=90°，

∴∠4=90°﹣∠3=32°，

∵a∥b，AB∥B，

∴AB∥b，

∴∠2=∠4=32°，

故选B．

4.（2016•陕西）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（　　）

A．65°B．115°C．125°D．130°

【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠C+∠CAB=180°，

∵∠C=50°，

∴∠CAB=180°﹣50°=130°，

∵AE平分∠CAB，

∴∠EAB=65°，

∵AB∥CD，

∴∠EAB+∠AED=180°，

∴∠AED=180°﹣65°=115°，

故选B．

【点评】本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，注意：

平行线的性质有：

①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

5.（2017日照）如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠1=60°，则∠2等于（　　）

A．120°B．30°C．40°D．60°

【考点】JA：

平行线的性质．

【分析】根据对顶角的性质和平行线的性质即可得到结论．

【解答】解：

∵∠AEF=∠1=60°，

∵AB∥CD，

∴∠2=∠AEF=60°，

故选D．

6.（2017内江）如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（　　）

A．19°B．38°C．42°D．52°

【考点】JA：

平行线的性质；IL：

余角和补角．

【分析】过C作CD∥直线m，根据平行线性质得出∠DCA=∠FAC=38°，∠α=∠DCB，求出即可．

【解答】解：

过C作CD∥直线m，

∵m∥n，

∴CD∥m∥n，

∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，

∵∠ACB=90°，

∴∠α=90°﹣52°=38°，

则∠a的余角是52°．

故选D．

7.（2016·山东省滨州市·3分）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（　　）

A．∠EMB=∠ENDB．∠BMN=∠MNCC．∠CNH=∠BPGD．∠DNG=∠AME

【考点】平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质，找出各相等的角，再去对照四个选项即可得出结论．

【解答】解：

A、∵AB∥CD，

∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）；

B、∵AB∥CD，

∴∠BMN=∠MNC（两直线平行，内错角相等）；

C、∵AB∥CD，

∴∠CNH=∠MPN（两直线平行，同位角相等），

∵∠MPN=∠BPG（对顶角），

∴∠CNH=∠BPG（等量代换）；

D、∠DNG与∠AME没有关系，

无法判定其相等．

故选D．

【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是结合平行线的性质来对照四个选择．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．

8.（2016海南3分）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．75°

【考点】矩形的性质；平行线的性质．

【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．

【解答】解：

过点D作DE∥a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，

∵a∥b，

∴DE∥a∥b，

∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，

∴∠2=90°﹣30°=60°．

故选C．

【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．