福建省德化一中学年高二数学理科期末模拟.docx
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福建省德化一中学年高二数学理科期末模拟
德化一中2014年秋季高二数学（理科）模拟试卷（3）
班级______座号______姓名_________成绩_________
一、选择题（本大题共10小题）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨
B.“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上
C.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖
D.在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天
2．命题“如果实数
能被2整除，则
是偶数”的否命题是（ ）
A．如果实数
不能被2整除，则
是偶数B．如果实数
能被2整除，则
不是偶数
C．如果实数
不能被2整除，则
不是偶数D．存在一个能被2整除的数，它不是偶数
3．已知椭圆
的一个焦点为
，则椭圆的长轴长是（ ）
A.
B.
C.
D.
4．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是（ ）
A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C.A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
5.函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为（）
A．
B．0C．
D．1
6．如图是函数
的导函数
的图象，则下面判断正确的是（）．
A．函数
在区间
上单调递增
B．函数
在
处取得极大值
C．函数
在
上单调递增
D．当
时，
取极大值
7.设
（其中
为自然对数的底数），则
的值为（ ）．
A．
B.
C.
D.
8.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－1,2）B．（－∞，－3）∪（6，＋∞）C．（－3,6）D．（－∞，－1）∪（2，＋∞）
9.任取一个3位正整数n，则对数log2n是一个正整数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D．以上全不对
10．定义
设实数
满足约束条件
则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：
11.已知双曲线
的渐近线方程为
，则该双曲线的离心率为.
12.偶函数
满足
且在
时,
，
则函数
与
图象交点的个数是.
13．若点
为抛物线
上一点，则点
到抛物线的准线的距离为.
14.如图，已知点
，点
在曲线
上，若阴影部分面积与∆
面积相等，则
.
15.在平面直角坐标系中，定义
为两点
之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆；
③到
两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是
；
④到
两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的轨迹是两条平行直线.
其中正确的命题有.（请填上所有正确命题的序号）
三、解答题：
16．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了8次测试，测得他们的最大速度（单位：
m/s）的数据如下表：
甲
27
38
30
37
35
31
24
50
乙
33
29
38
34
28
36
43
45
（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？
（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（单位：
m/s）的数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适（可用计算器）．
17．已知全集U=R，
，集合
.
（1）当
时，求
；
（2）若“
”是“
”的充分条件，求实数m的取值范围.
18．为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：
把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本
（万元）与处理量
（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品.
（1）当
时，判断该技术改进能否获利？
如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
并求出该最少处理成本.
19．已知椭圆C：
的离心率为
，且椭圆C过点
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）
为坐标原点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆交于点
两点，若
，求∆
的面积.
20．如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，在梯形ABCD中，
分别是以DB和CD为斜边的等腰直角三角形，AD=1．
（I）求证AF
平面ABCD；
（II）求直线FC与平面ABCD所成角的正弦值；
（III）在线段CE上是否存在点M，使得DM
平面FAB，如果存在，说明点M满足的条件，如果不存在，说明理由．
21．已知函数
（
为自然对数的底数，
为常数）．对于函数
，若存在常数
，对于任意
，不等式
都成立，则称直线
是函数
的分界线．
（I）若
，求
的极值；
（II）讨论函数
的单调性；
（III）设
，试探究函数
与函数
是否存在“分界线”？
若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．
德化一中2014年秋季高二数学（理科）模拟试卷（3）参考答案
10.DCDDACCBBB 11.
12.213.514.
15.①③④.
11.
15.设动点
①中
，按
分情况可得
构成正方形；③中
分情况去掉绝对值可得
的集合是面积为6的六边形；④中
化简得两条直线方程
16．解：
（1）茎叶图如图，中间数为数据的十位数．
从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是35，甲的中位数是33.因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．
（2）利用科学计算器，得
甲＝34，
乙＝35.75；s甲≈7.55，s乙≈5.70；甲的中位数是33，乙的中位数是35.综合比较，选乙参加比赛更合适．
17．【解析】
（1）依题意，
，2分
当
时，
，所以
，4分
所以
.6分
（2）由由“
”是“
”的充分条件知
，8分
由
知
.10分
所以
，解得
.
即所求实数m的取值范围是：
.13分
18．【解析】
（1）当
时，设该工厂获利为
，则
，
所以当
时，
，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损；4分
（2）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
6分
1）当
时，
，所以
，因为
，所以当
时，
，
为减函数；当
时，
，
为增函数，所以当
时，
取得极小值
.9分
2）当
时，
，当且仅当
，即
时，
取最小值
，因为
，所以当处理量为
吨时，每吨的平均处理成本最少.
答：
（1）该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损；
（2）当处理量为
吨时，每吨的平均处理成本最少，且最少处理成本为每吨40万元.
19．【解析】
（1）依题意，
，解得
，所以椭圆的方程为
.4分
（2）①当直线l斜率不存在时，可得
，所以
，舍去.5分
②当直线l斜率存在时，设l的方程为
，
联立方程组
，消去y并整理得
（*）6分
所以
，7分
9分
又
，即
，
所以
，可得
，即
，11分
方程（*）可化为
，
由弦长公式
，原点O到直线l的距离
，
所以
.13分
20．（I）证明：
是正方形，
又
平面ADEF和平面ABCD互相垂直，且相交于AD，
平面ADEF
AF
平面ABCD．……………………………………………………………3分
（II）法一：
由
（1）得AF
平面ABCD，
FC在平面ABCD上的射影是AC，
FC和平面ABCD所成的角为
…………………………………………5分
，
在
中，
，
又
，
在
中，
…………………………………………………7分
…………………………………………8分
法二：
由
（1）得AF
平面ABCD，又
，故
两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系，……………4分
并且可求得
，……5分
又平面ABCD的法向量为
，…………………6分
设直线FC与平面ABCD所成角为
，则
…………………8分
（III）法一：
平面FAB，
平面FAB①………………………9分
在梯形ABCD中，
平面FAB，
平面FAB②………………10分
由①②及
，得平面
平面FAB，…………………………………………………11分
又不论M在线段CE的何种位置，都有
平面EDC
所以不论M在线段CE的何种位置，都有DM
平面FAB………………………………………13分
法二：
在
（2）所建的空间直角坐标系中，
因为
轴
平面FAB，所以可取平面FAB的法向量为
………………………………9分
设
，则
，
…………………11分
若DM
平面FAB，则
即
，
因为上式对于任意的
恒成立，
故不论M在线段CE的何种位置，都有DM
平面FAB………………………………………………13分
21．解：
（I）若
，则
，
，
由
得
又
得
；
得
，
在
单调递增，在
单调递减；
在
处取得极大值
无极小值．………………………………………2分
（II）
，………………………………………………………………………3分
①当
时，由
得
由
得
函数
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数：
……………………5分
②当
时，
对
恒成立，此时函数
是区间
上的增函数；……………………6分
③当
时，由
得
由
得
函数
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数．…………………8分
（III）若存在，则
恒成立，
令
，则
，所以
，…………………………………………………………………9分
因此：
对
恒成立，即
对
恒成立，
由
得到
，现在只要判断
是否恒成立，
设
，则
，
①当
时，
②当
时，
………………………………………………………13分
所以
，即
恒成立，
所以函数
与函数
存在“分界线”，且方程为
…………………14分
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