专升本地方考试密押题库与答案解析河南省专升本考试高等数学模拟6.docx
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专升本地方考试密押题库与答案解析河南省专升本考试高等数学模拟6
[专升本（地方）考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试高等数学模拟6
河南省专升本考试高等数学模拟6
一、单项选择题
（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案）
问题:
1.函数的定义域为______
A.0＜x＜2
B.x＜2
C.x≠0
D.x＜2且x≠0
答案:
D[解析]要使函数有意义，必须满足即x＜2且x≠0，故应选D．
问题:
2.f（x）=xsinx______
A.在（-∞，+∞）内有界
B.当x→∞时为无穷大
C.在（-∞，+∞）内无界
D.当x→∞时有极限
答案:
C[解析]由于故x→∞时f（x）无极限，且不为无穷大，f（x）在（-∞，+∞）内无界，故选C．
问题:
3.设函数则f[f（x）]=______
A．
B．
C．x
D．
答案:
C[解析]故选C．
问题:
4.极限则a的值是______
A．1
B．
C．
D．2
答案:
D[解析]故a=2，选择D．
问题:
5.当x→0时，若则可确定a的值一定是______
A．0
B．1
C．
D．
答案:
B[解析]由x→0时，可得即a=1，故选B．
问题:
6.极限的值是______
A.1
B.-1
C.0
D.不存在
答案:
D[解析]因为所以不存在，故应选D．
问题:
7.对于函数下列结论正确的是______
A.x=-1是第一类间断点，x=1是第二类间断点
B.x=-1是第二类间断点，x=1是第一类间断点
C.x=-1与x=1均是第一类间断点
D.x=-1与x=1均是第二类间断点
答案:
A[解析]因为
所以x=-1是第一类间断点，x=1是第二类间断点，故选A．
问题:
8.______
A.0
B.1
C.∞
D.不存在
答案:
A[解析]因为故选A．
问题:
9.设f
（1）=0，且极限存在，则______
A．
B．
C．f'
（1）
D．f'（0）
答案:
A[解析]故应选A．
问题:
10.已知曲线f（x）=2arctanx与g（x）=lnx，当它们的切线相互平行时，自变量x的值应为______
A．2
B．
C．1
D．0
答案:
C[解析]令f'（x）=g'（x），可得解得x=1＞0，故自变量的值为1，故应选C．
问题:
11.设曲线（t为参数），则______
A．
B．
C．
D．3t
答案:
A[解析]故应选A．
问题:
12.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是______
A．y=x2-5x+6，[2，3]
B．
C．y=xe-x，[0，1]
D．
答案:
A[解析]A项，y=x2-5x+6在[2，3]上连续且可导，y
（2）=0=y（3），满足罗尔定理条件，A正确；B项，在x=1处无定义，故在[0，2]上不连续，B错误；
C项，y（0）=0≠y
（1）=e-1，C错误；D项，即y在[0，5]上不连续，D错误．
问题:
13.函数在（-1，1）内______
A.单调增加
B.单调减少
C.有极大值
D.有极小值
答案:
A[解析]因此y在（-1，1）内单调增加，故应选A．
问题:
14.曲线y=x4的拐点个数为______
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
答案:
A[解析]y'=4x3，y"=12x2，令y"=0，可得x=0，当x＜0时，y"＞0，当x＞0时，y"＞0，故（0，0）不是拐点，曲线拐点的个数为0，故应选A．
问题:
15.曲线______
A.仅有水平渐近线
B.既有水平渐近线又有垂直渐近线
C.仅有垂直渐近线
D.既无水平渐近线又无垂直渐近线
答案:
B[解析]因为所以y=1为水平渐近线，x=0为垂直渐近线．故选B．
问题:
16.若∫f（x）dx=x2+C，则∫xf（1-x2）dx=______
A．-2（1-x2）2+C
B．2（1-x2）2+C
C．
D．
答案:
C[解析]
故应选C．
问题:
17.设则f'（x）=______
A.-sinx
B.sinx
C.-1+cosx
D.0
答案:
A[解析]
f'（x）=-sin（-x）·（-x）'=-sinx，故应选A．
问题:
18.设f（x）为连续函数，则______
A．0
B．1
C．n
D．
答案:
A[解析]
故应选A．
问题:
19.设则有______
A.P＜Q＜1
B.P＞Q＞1
C.1＜P＜Q
D.1＞P＞Q
答案:
D[解析]利用与在上连续，且满足
可得
由Q＜P可知结论A，C不正确，由可见结论B不正确．故应选D．
问题:
20.由曲线y=cos2x（x≥0），x轴，y轴所围成的平面图形面积为______
A．
B．1
C．π
D．
答案:
D[解析]平面图形的面积故应选D．
问题:
21.已知函数f（x）满足xf'（x）=f（x），且f
（1）=e2，则f（-1）=______
A.e-2
B.-e2
C.e2
D.2
答案:
B[解析]由题设知解得y=Cx，
又f
（1）=e2，代入解得C=e2，
所求特解为f（x）=e2·x，所以f（-1）=-e2，故应选B．
问题:
22.设函数y=f（x）是微分方程y"-2y'+4y=0的解，且f（x0）＞0，f'（x0）=0，则f（x）在点x0处______
A.有极大值
B.有极小值
C.在某邻域内单调增加
D.在某邻域内单调减少
答案:
A[解析]把函数代入方程有f"（x）-2f'（x）+4f（x）=0，
取x=x0得f"（x0）-2f'（x0）+4f（x0）=0.
所以f"（x0）=-4f（x0）＜0，从而f（x）在x0处取极大值．故应选A．
问题:
23.设a={1，1，-1}，b={-1，-1，1}，则有______
A．a//b
B．a⊥b
C．
D．
答案:
A[解析]因为所以a//b，应选A．
问题:
24.下列曲面中，是旋转曲面的是______
A．
B．x2-y2=2
C．
D．
答案:
C[解析]因为只有选项C中有两个平方项的系数相等，根据旋转曲面方程的特点知为旋转曲面，故应选C．
问题:
25.设函数z=x3y+xy3，则______
A.6xy
B.-6xy
C.3x2-3y2
D.3x2+3y2
答案:
D[解析]故应选D．
问题:
26.若fx（x，y）=2x-y-2，fy（x，y）=2y-x+1，fxx=2，fxy=-1，fyy=2，则点（1，0）是f（x，y）的______
A.极小值点
B.极大值点
C.非极值点
D.非驻点
答案:
A[解析]fx（1，0）=0，fy（1，0）=0，又fxx·fyy-（fxy）2=4-1＞0，fxx＞0，故（1，0）是f（x，y）的极小值点．
问题:
27.设D是由y=x，y=-x和所围成的区域，则______
A．
B．
C．
D．
答案:
C[解析]区域D为：
于是
问题:
28.若L是x2+y2=2上从点（1，-1）到点（1，1）的一段弧，则______
A．
B．
C．0
D．2
答案:
C[解析]设f（x，y）=xy，由于f（x，y）是关于y的奇函数，且L关于x轴对称，故∫Lxyds=0.
问题:
29.设级数都收敛，则级数为______
A.条件收敛
B.绝对收敛
C.发散
D.敛散性不确定
答案:
B[解析]因为故应选B．
问题:
30.若级数在点x=0处条件收敛，则在x=-1，x=2，x=3，x=4，x=5中使该级数收敛的点有______
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案:
C[解析]由在x=0处条件收敛可知，其收敛半径为R=2，收敛域为[0，4），该级数在x=2，x=3处也收敛，应选C．
二、填空题
问题:
1.函数y=3x-1的反函数是______．
答案:
y=log3（x+1）[解析]由y=3x-1，可得x=log3（1+y），交换x，y可得y=log3（1+x）．
问题:
2.
答案:
cosa[解析]
问题:
3.函数当a=______时，函数f（x）连续．
答案:
2[解析]由于f（x）连续，故
问题:
4.设函数f（x）在x=x0处可微，且f'（x0）≠0，则当|Δx|很小时，f（x0+Δx）≈______．
答案:
f（x0）+f'（x0）Δx[解析]由微分的定义可知，f（x0+Δx）≈f（x0）+f'（x0）Δx．
问题:
5.若则∫xf'（x）dx=______．
答案:
[解析]
问题:
6.
答案:
[解析]
问题:
7.当x2+y2≠0时，且f（x，y）在点（0，0）处连续，则f（0，0）=______．
答案:
[解析]因为
又f（x，y）在（0，0）处连续，所以
问题:
8.设积分区域D为x2+y2≤4x，则
答案:
4π[解析]由x2+y2≤4x得（x-2）2+y2≤4，
可知积分区域是以2为半径的圆域，由二重积分的性质及几何意义可知其值为4π．
问题:
9.微分方程sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0的通解为______．
答案:
tanxtany=C[解析]由sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0，
得tanyd（tanx）+tanxd（tany）=0，
即d（tanxtany）=0，所以tanxtany=C（C为任意常数）．
问题:
10.幂级数的收敛域为______．
答案:
[-1，1][解析]因为收敛半径
当x=±1时级数为均收敛，所以收敛域为[-1，1]．
三、计算题
（每小题5分，共50分）
问题:
1.求极限
答案:
问题:
2.讨论在x=0处的连续性与可导性．
答案:
因为有界，则
所以f（x）在x=0处是连续的．
所以f（x）在x=0处不可导．
问题:
3.求不定积分
答案:
问题:
4.求定积分
答案:
设
当x=9时t=3；当x=4时，t=2.
问题:
5.一直线经过点（2，-2，0）且与直线平行，求此直线方程．
答案:
因为所求直线与直线平行，
故所求直线的方向向量为s={2，-1，0}×{0，3，-2}={2，4，6}．
又直线过点（2，-2，0），故所求直线的方程为
问题:
6.设z=f（ex-y，ytanx），其中f（u，v）是可微函数，求dz．
答案:
令u=ex-y，v=ytanx，则z=f（u，v），
故dz=fu（u，v）du+fv（u，v）dv
=fud（ex-y）+fvd（ytanx）
=fuex-y（dx-dy）+fv（ysec2xdx+tanxdy）
=（ex-yfu+ysec2xfv）dx+（tanxfv-ex-yfu）dy．
问题:
7.计算其中D是由抛物线y2=x及直线y=x-2围成的区域．
答案:
画出积分区域如图所示，选定先对x积分后对y积分的次序．
问题:
8.求微分方程的通解．
答案:
方程为一阶非齐次线性微分方程，
所求的通解为
问题:
9.求幂级数的收敛域．
答案:
令x-2=t，原级数化为
所以当t=3时，级数化为发散；
当t=-3时，级数化为收敛．
故收敛域t∈[-3，3），即x∈[-1，5）.
问题:
10.求级数的和函数．
答案:
当即时，级数收敛；时，级数发散；
时，原级数化为发散，故收敛域为
令
四、应用题
（每小题7分，共14分）
问题:
1.向宽为a米的河修建一宽为b米的运河，二者直角相交，问能驶进运河的船，其最大长度为多少?
答案:
如图可知船的长度不能超过BC的长度，设BC的长度为l，
因为此问题中最大值一定存在，为唯一驻点，所以所求船长为l=acscθ+bsecθ，其中
问题:
2.求抛物线y=1-x2及其在点（1，0）处的切线和y轴所围成图形的面积，并计算该图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积．
答案:
平面图形如图所示，因y'=-2x，所以k=-2，
从而经过点（1，0）的切线方程为y=-2x+2.
（1）所求平面图形的面积为
（2）该图形绕y转旋转一周所成旋转体的体积为
五、证明题
（6分）
问题:
1.设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f
（1）=1，证明，在（0，1）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）+ξf'（ξ）-2ξ=0成立．
答案:
[证明]设F（x）=xf（x）-x2，
因为f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，
所以F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，
又f
（1）=1，
F（0）=0·f（0）-02=0，F
（1）=1·f
（1）-12=0，
即F（0）=F
（1），
故在（0，1）内至少存在一点ξ使F'（ξ）=0，
即f（ξ）+ξf'（ξ）-2ξ=0成立．
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