高考数学专题13三视图与体积表面积.docx

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高考数学专题13三视图与体积表面积

高考数学专题十三三视图与体积、表面积

1．由三视图求面积

例1：

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．

【答案】

【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，

其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3，

∴半球的面积

，圆锥的底面半径为3，母线长为5，

∴圆锥的侧面积为

，∴表面积为

．

2．由三视图求体积

例2：

某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

A．4B．

C．

D．8

【答案】D

【解析】由于长方体被平面所截，

∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，

从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，

∴所求体积为长方体体积的一半。

从图上可得长方体的底面为正方形，

且边长为2，长方体的高为

，

∴

，∴

，故选D．

一、单选题

1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为

，则俯视图中圆的半径为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为

，

∴该几何体的表面积

，得

，故选A．

2．正方体

中，

为棱

的中点（如图）用过点

的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由题意可知：

过点

、

、

的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，

则几何体的左视图为D，故选D．

3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A．

B．

C．

D．4

【答案】A

【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱

挖去一个三棱锥

，故所求几何体的体积为

，故选A．

4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为

，

圆锥的高

，其母线长

，则该几何体的表面积为：

，本题选择C选项．

5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，

高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，

截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥，

如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径

圆心设为

半径为

，

球心到底面距离为

，设球心为

，

由勾股定理得到

，

，故选A．

6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】还原几何体如图所示三棱锥由

（如下左图），

将此三棱锥补形为直三棱柱

（如上右图），

在直三棱柱

中取

的中点

，取

中点

，

，

，故答案为C．

7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：

∴表面积为

，∴故选B．

8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，

，

，且

，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体

的四个顶点，

即为三棱锥

，且长方体

的长、宽、高分别为2，

，

，

∴此三棱锥的外接球即为长方体

的外接球，

且球半径为

，

∴三棱锥外接球表面积为

，

∴当且仅当

，

时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为

．故选B．

9．在四棱锥

中，

底面

，底面

为正方形，

，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥

被平面

截去三棱锥

（

为

中点）后的部分，连接

交

于

，连楼

，则

，

且

，设

，则

，

，

剩余部分的体积为：

，则所求的体积比值为：

．

本题选择B选项．

10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）

A．15B．16C．

D．

【答案】C

【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥

，

底面四边形

的面积为

，

∴四棱锥的体积为

，故答案为C．

11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（）

A．

B．

C．12D．

【答案】D

【解析】几何体为如图多面体

，

∴体积为

，故选D．

12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）

A．

B．7C．

D．

【答案】B

【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，

∴该多面体的体积为

；故选B．

二、填空题

13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．

【答案】12

【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，∴

．

14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．

【答案】

，

【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，

则该几何体的表面积

，

几何体的体积：

．

15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．

【答案】1

【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，

可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，

该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，

根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式，

可得其体积

，故答案是1．

16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．

【答案】

【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面

与面

截去两个角所得，

其体积为

，故答案为

．