整式教案.docx
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整式教案
第1课时：
整式
（1）
教学目标和要求：
1．理解单项式及单项式系数、次数的概念。
2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
3．初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。
4．通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流能力。
教学过程：
一、讲授新课：
1．单项式：
通过特征的描述，引导学生概括单项式的概念，从而引入课题：
单项式，并板书归纳得出的单项式的概念，即由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。
然后教师补充，单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5。
2．练习：
判断下列各代数式哪些是单项式？
（1）
；
（2）abc；（3）b2；（4）－5ab2；（5）y；（6）－xy2；（7）－5。
（加强学生对不同形式的单项式的直观认识，同时利用练习中的单项式转入单项式的系数和次数的教学）
3．单项式系数和次数：
直接引导学生进一步观察单项式结构，总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的。
以四个单项式
a2h，2πr，abc，－m为例，让学生说出它们的数字因数是什么，从而引入单项式系数的概念并板书，接着让学生说出以上几个单项式的字母因数是什么，各字母指数分别是多少，从而引入单项式次数的概念并板书。
4．例题：
例1：
判断下列各代数式是否是单项式。
如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。
x＋1；
；
πr2；
－
a2b。
答：
不是，因为原代数式中出现了加法运算；
不是，因为原代数式是1与x的商；
是，它的系数是π，次数是2；
是，它的系数是－
，次数是3。
例2：
下面各题的判断是否正确？
－7xy2的系数是7；
－x2y3与x3没有系数；
－ab3c2的次数是0＋3＋2；
－a3的系数是－1；
－32x2y3的次数是7；
πr2h的系数是
。
通过其中的反例练习及例题，强调应注意以下几点：
圆周率π是常数；
当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等；
单项式次数只与字母指数有关。
第2课时：
整式
（2）
教学目标和要求：
1．通过本节课的学习，使学生掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。
2．通过小组讨论、合作交流，让学生经历新知的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力。
由单项式与多项式归纳出整式，这样更有利于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新。
3．初步体会类比和逆向思维的数学思想。
教学过程：
讲授新课：
1．多项式：
板书由学生自己归纳得出的多项式概念。
上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。
像这样，几个单项式的和叫做多项式（polynomial）。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项（term）。
其中，不含字母的项，叫做常数项（constantterm）。
例如，多项式
有三项，它们是
，－2x，5。
其中5是常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
例如，
是一个二次三项式。
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和；
（2）多项式的每一项都包括它前面的符号。
（教师介绍多项式的项和次数、以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，渗透类比的数学思想。
）
2．例题：
例1：
判断：
①多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3、a2ｂ、ab2、b3，次数为12；
②多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1。
（这两个判断能使学生清楚的理解多项式中项和次数的概念，第
（1）题中第二、四项应为
－a2b、－b3，而往往很多同学都认为是a2b和b3，不把符号包括在项中。
另外也有同学认为该多项式的次数为12，应注意：
多项式的次数为最高次项的次数。
）
例2：
指出下列多项式的项和次数：
（1）3x－1＋3x2；
（2）4x3＋2x－2y2。
解：
略。
例3：
指出下列多项式是几次几项式。
（1）x3－x＋1；
（2）x3－2x2y2＋3y2。
解：
略。
例4：
已知代数式3xn－（m－1）x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件。
解：
略。
（让学生口答例2、例3，老师在黑板上规范书写格式。
讲述例2时应特别提醒学生注意，
多项式的项包括前面的符号，多项式的次数应为最高次项的次数。
在例3讲完后插入整式的定义：
单项式与多项式统称整式（integralexpression）。
例4分析时要紧扣多项式的定义，培养学生的逆向思维，使学生透彻理解多项式的有关概念，培养他们应用新知识解决问题的能力。
）
课堂练习：
①填空：
－
a2b－
ab＋1是次项式，其中三次项系数是，二次项为，常数项为，写出所有的项。
②已知代数式2x2－mnx2＋y2是关于字母x、y的三次三项式，求m、n的条件。
第3课时：
整式（3）
教学过程：
讲授新课：
1．升幂排列与降幂排列：
这两种排列有一个共同点，那就是x的指数是逐渐变小（或变大）的。
我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。
（板书课题：
升幂排列与降幂排列。
）
例如：
把多项式5x2＋3x－2x3－1按x的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x3＋5x2＋3x－1，这叫做这个多项式按字母x的降幂排列。
若按x的指数从小到大的顺序排列，则写成－1＋3x＋5x2－2x3，这叫做这个多项式按字母x的升幂排列。
板书由学生自己归纳得出的多项式概念。
上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。
像这样，几个单项式的和叫做多项式（polynomial）。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项（term）。
其中，不含字母的项，叫做常数项（constantterm）。
例如，多项式
有三项，它们是
，－2x，5。
其中5是常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
例如，多项式
是一个二次三项式。
注意：
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和；
（2）多项式的每一项都包括它前面的符号。
2．例题：
例1：
游戏：
规则：
五个学生上前自己选一张卡片，根据教师要求排成一列，下面同学把排列正确的式子写下来。
－35x3
－11x7y5
＋2y
－7xy3
＋3x2y2
例如：
＋2y
－7xy3
＋3x2y2
－35x3
－11x7y5
按x降幂排列：
式子：
－11x7y5－35x3＋3x2y2－7xy3＋2y
（可激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，帮助学生进一步理解新知，从活动中巩固新学知识。
）
例2：
把多项式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升幂排列。
解：
按r的升幂排列为：
。
说明：
π是数字，不是字母，题目中一次项、二次项、三次项系数分别为2π、－π2、3π。
例3：
把多项式a3－b3－3a2b＋3ab2重新排列。
（1）按a升幂排列；
（2）按a降幂排列。
解：
（1）按a的升幂排列为：
。
（2）按a的降幂排列为：
。
想一想：
观察上面两个排列，从字母b的角度看，它们又有何特点？
（由学生参照例题自己解答。
）
例4：
把多项式－1＋2πx2－x－x3y用适当的方式排列。
分析：
题中含有2个字母x和y，而各项中关于x的指数层次较全，因此，选择关于x的升（降）幂排列较为合理。
解：
按x的升幂排列为：
。
例5：
把多项式x4－y4＋3x3y－2xy2－5x2y3用适当的方式排列。
（1）按字母x的升幂排列得：
；
（2）按字母y的升幂排列得：
。
注意：
（1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；
（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列。
三、课堂小结：
对一个多项式进行排列，这样的写法除了美观之外，还会为今后的计算带来方便。
在排列时我们要注意：
①重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动，原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；
②含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升（降）幂排列。
第4课时：
整式的加减
（1）
教学过程：
讲授新课：
1．同类项的定义：
我们常常把具有相同特征的事物归为一类。
8x2y与－x2y可以归为一类，2xy2与－
可以归为一类，－mn2、7mn2与0.4mn2可以归为一类，5a与9a可以归为一类，还有
、0与
也可以归为一类。
8x2y与－x2y只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是2，y的指数都是1；同样地，2xy2与－
也只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是1，y的指数都是2。
像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项（similarterms）。
另外，所有的常数项都是同类项。
比如，前面提到的
、0与
也是同类项。
通过特征的讲述，选择所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项作为研究对象，并称它们为同类项。
（板书课题：
同类项。
）
（教师为了让学生理解同类项概念，可设问同类项必须满足什么条件，让学生归纳总结。
）
板书由学生归纳总结得出的同类项概念以及所有的常数项都是同类项。
2．例题：
例1：
判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。
（1）3x与3mx是同类项。
（）
（2）2ab与－5ab是同类项。
（）
（3）3x2y与－
yx2是同类项。
（）（4）5ab2与－2ab2c是同类项。
（）
（5）23与32是同类项。
（）
（这组判断题能使学生清楚地理解同类项的概念，其中第（3）题满足同类项的条件，只要运用乘法交换律即可；第（5）题两个都是常数项属于同类项。
一部分学生可能会单看指数不同，误认为不是同类项。
）
例3：
指出下列多项式中的同类项：
（1）3x－2y＋1＋3y－2x－5；
（2）3x2y－2xy2＋
xy2－
yx2。
解：
（1）3x与－2x是同类项，－2y与3y是同类项，1与－5是同类项。
（2）3x2y与－
yx2是同类项，－2xy2与
xy2是同类项。
例4：
k取何值时，3xky与－x2y是同类项？
解：
要使3xky与－x2y是同类项，这两项中x的次数必须相等，即k＝2。
所以当k＝2时，3xky与－x2y是同类项。
课堂练习：
请写出2ab2c3的一个同类项．你能写出多少个?
它本身是自己的同类项吗?
三、课堂小结：
①理解同类项的概念，会在多项式中找出同类项，会写出一个单项式的同类项，会判断同类项。
②这堂课运用到分类思想和整体思想等数学思想方法。
③学习同类项的用途是为了简化多项式，为下一课的合并同类项打下基础。
四、课堂作业：
若2amb2m+3n与a2n－3b8的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是______
第5课时：
整式的加减
（2）
教学过程：
一、讲授新课：
1．合并同类项的定义：
（学生讨论问题2）可根据购买的时间次序列出代数式，也可根据购买物品的种类列出代数式，再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起，将它们合并起来，化简整个多项式，所的结果都为（21x＋25y）元。
由此可得：
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
（板书：
合并同类项。
）
2．例题：
例1：
找出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5种的同类项，并合并同类项。
解原式=
根据以上合并同类项的实例，让学生讨论归纳，得出合并同类项的法则：
把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母指数保持不变。
例2：
下列各题合并同类项的结果对不对？
若不对，请改正。
（1）2x2＋3x2=5x4；
（2）3x＋2y=5xy；（3）7x2－3x2=4；（4）9a2b－9ba2=0。
（通过这一组题的训练，进一步熟悉法则。
）
例3：
合并下列多项式中的同类项：
①2a2b－3a2b＋0.5a2b；②a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3；③5（x＋y）3－2（x－y）4－2（x＋y）3＋（y－x）4。
（用不同的记号标出各同类项，会减少运算错误，当然熟练后可以不再标出。
其中第（3）题应把（x＋y）、（x－y）看作一个整体，特别注意（x－y）2n=（y－x）2n，n为正整数。
）
解：
①
。
②
。
③原式=5（x＋y）3－2（x－y）4－2（x＋y）3＋（x－y）4=3（x＋y）3－（x－y）4。
例4：
求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值，其中x=－3。
解：
，当x=－3时，原式=
。
试一试：
把x＝－3直接代入例4这个多项式，可以求出它的值吗？
与上面的解法比较一下，哪个解法更简便？
（两种方法。
通过比较两种方法，使学生认识到，在求多项式的值时，常常先合并同类项，再求值，这样比较简便。
）
6．课堂练习：
课本p66：
1，2，3。
三、课堂小结：
①要牢记法则，熟练正确的合并同类项，以防止2x2＋3x2=5x4的错误。
②从实际问题中类比概括得出合并同类项法则，并能运用法则，正确的合并同类项。
第6课时：
整式的加减（3）
教学过程
一、新授
利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？
现在我们来看本章引言中的问题（3）：
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，那么它通过非冻土地段的时间为（t－0.5）小时，于是，冻土地段的路程为100t千米，非冻土地段的路程为120（t－0.5）千米，因此，这段铁路全长为
100t+120（t－0.5）千米①
冻土地段与非冻土地段相差
100t－120（t－0.5）千米②
上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？
思路点拨：
教师引导，启发学生类比数的运算，利用分配律．学生练习、交流后，教师归纳：
利用分配律，可以去括号，合并同类项，得：
100t+120（t－0.5）=100t+120t+120×（－0.5）=220t－60
100t－120（t－0.5）=100t－120t－120×（－0.5）=－20t+60
我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号．
上面两式去括号部分变形分别为：
+120（t－0.5）=+120t－60③－120（t－0.5）=－120+60④
比较③、④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？
思路点拨：
鼓励学生通过观察，试用自己的语言叙述去括号法则，然后教师板书（或用屏幕）展示：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
特别地，+（x－3）与－（x－3）可以分别看作1与－1分别乘（x－3）．
利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得：
+（x－3）=x－3（括号没了，括号内的每一项都没有变号）
－（x－3）=－x+3（括号没了，括号内的每一项都改变了符号）
去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予考虑，做到要变都变；要不变，则谁也不变；另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项．
二、范例学习
例1．化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a－b）；
（2）（5a－3b）－3（a2－2b）．
思路点拨：
讲解时，先让学生判定是哪种类型的去括号，去括号后，要不要变号，括号内的每一项原来是什么符号？
去括号时，要同时去掉括号前的符号．为了防止错误，题
（2）中－3（a2－2b），先把3乘到括号内，然后再去括号．
解答过程按课本，可由学生口述，教师板书．
例2．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时．
（1）2小时后两船相距多远？
（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？
教师操作投影仪，展示例2，学生思考、小组交流，寻求解答思路．
思路点拨：
根据船顺水航行的速度=船在静水中的速度+水流速度，船逆水航行速度=船在静水中行驶速度－水流速度．因此，甲船速度为（50+a）千米/时，乙船速度为（50－a）千米/时，2小时后，甲船行程为2（50+a）千米，乙船行程为（50－a）千米．两船从同一洪口同时出发反向而行，所以两船相距等于甲、乙两船行程之和．
解答过程按课本．
去括号时强调：
括号内每一项都要乘以2，括号前是负因数时，去掉括号后，括号内每一项都要变号．为了防止出错，可以先用分配律将数字2与括号内的各项相乘，然后再去括号，熟练后，再省去这一步，直接去括号．
三、巩固练习
1．课本第68页练习1、2题．
2．计算：
5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]+2x2y－xy2．[5xy2]
思路点拨：
一般地，先去小括号，再去中括号．
四、课堂小结
去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项．
学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则，并能根据法则进行去括号运算。
法则顺口溜：
去括号，看符号：
是“+”号，不变号；是“―”号，全变号。
第7课时：
整式的加减（4）
教学过程：
一、复习引入：
练习：
（1）（2x―3y）+（5x+4y）；
（2）（8a―7b）―（4a―5b）；
（3）a―（2a+b）+2（a―2b）；（4）3（5x+4）―（3x―5）；
（5）（8x―3y）―（4x+3y―z）+2z；（6）―5x2+（5x―8x2）―（―12x2+4x）+
；
（7）2―（1+x）+（1+x+x2―x2）；（8）3a2+a2―（2a2―2a）+（3a―a2）；
（9）2a―3b+［4a―（3a―b）］；（10）3b―2c―［―4a+（c+3b）］+c。
二、讲授新课：
1．添括号的法则：
①观察：
分别把前面去括号的
（1）、
（2）两个等式中等号的两边对调，并观察对调后两个等式中括号和各项符号的变化，你能得出什么结论？
②通过观察与分析，可以得到添括号法则：
所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；
所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。
2．例题：
例1：
做一做：
在括号内填入适当的项：
（1）x2―x+1=x2―（__________）；
（2）2x2―3x―1=2x2+（__________）；
（3）（a－b）―（c―d）=a－（________________）。
（4）（a+b―c）（a―b+c）=［a+（）］［a―（）］
例2：
用简便方法计算：
（1）214a＋47a＋53a；
（2）214a－39a－61a．
解：
（1）214a＋47a＋53a＝214a＋（47a＋53a）＝214a＋100a＝314a。
（2）214a－39a－61a＝214a－（39a＋61a）＝214a－100a＝114a。
例3：
按要求，将多项式3a―2b+c添上括号：
（1）把它放在前面带有“+”号的括号里；
（2）把它放在前面带有“―”号的括号里
此题是添括号法则的直接应用，为了更加明确起见，在解题时，先写出3a―2b+c=+（）=―（）的形式，再让学生往里填空，特别注意，添“―”号和括号，括到括号里的各项全变号。
解：
3a―2b+c=+（3a―2b+c）=―（―3a+2b―c）
紧接着提问学生：
如何检查添括号对不对呢?
引导学生观察、分析，直至说出可有两种方法：
一是直接利用添括号法则检查，一是从结果出发，利用去括号法则检查肯定学生的回答，并进一步指出所谓用去括号法则检查添括号，正如同用加法检验减法，用乘法检验除法一样
例4：
按下列要求，将多项式x3―5x2―4x+9的后两项用（）括起来：
（1）括号前面带有“+”号；
（2）括号前面带有“―”号
解：
（1）x3―5x2―4x+9=x3―5x2+（―4x+9）；
（2）x3―5x2―4x+9=x3―5x2―（4x―9）。
说明：
①解此题时，首先要让学生确认x3―5x2―4x+9的后两项是什么——是―4x、+9，要特别注意每一项都包括前面的符号。
②再次强调添的是什么——是（）及它前面的“+”或“―”。
例5：
按要求将2x2+3x―6：
（1）写成一个单项式与一个二项式的和；
（2）写成一个单项式与一个二项式的差。
此题
（1）、
（2）小题的答案都不止一种形式，因此要让学先讨论1分钟再举手发言。
通过此题可渗透一题多解的立意。
解：
（1）2x2+3x―6=2x2+（3x―6）=3x+（2x2―6）=―6+（2x2+3x）；
（2）2x2+3x―6=2x2―（―3x+6）=3x―（―2x2+6）=―6―（―2x2―3x）。
三、课堂小结：
1、这两节课我们学习了去括号法则和添括号法则，这两个法则在整式变形中经常用到，而利用它们进行整式变形的前提是原来整式的值不变。
2、去、添括号时，一定要注意括号前的符号，这里括号里各项变不变号的依据。
法则顺口溜：
添括号，看符号：
是“+”号，不变号；是“―”号，全变号。
第8课时：
整式的加减（5）
教学过程：
一、复习引入：
1．做一做。
某学生合唱团出场时第一排站了ｎ名，从第二排起每一排都比前一排多一人，一共站了四排，则该合唱团一共有多少名学生参加？
①学生写出答案：
ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋（ｎ＋３）
②提问：
以上答案进一步化简吗？
如何化简？
我们进行了哪些运算？
2．练习：
化简：
（1）（x+y）—（2x－3y）
（2）2
提问:
以上化简实际上进行了哪些运算?
怎样进行整式的加减运算?
（从实际问题引入,让学生经历一个实际背景，体会进行整式的加减运算的必要性，在通过复习、练习，为学生概括出整式的加减的一般步骤作必要的准备）
二、讲授新课：
1．整式的加减：
教师概括（引导学生归纳总结出整式的加减的步骤）
不难发现，去括号和合并同类项是整式加减的基础。
因此，整式加减的一般步骤可以总结为：
（１）如果有括号，那么先去括号。
（２）如果有同类项，再合并同类项。
2．例题：
例1：
求整式x2―7x―2与―2x2+4x―1的差。
解：
原式=（x2―7x―2）―（―2x2+4x―1）=x2―7x―2+2x2―4x+1=3x2―11x―1。
（本例应先列式，列式时注意给两个多项式都加上括号，后进行整式的加减）
练习：
一个多项式加上―5x2―4x―3与―x2―3x，求这个多项式。
例2：
计算：
―2y3+（3xy2―x2y）―2（xy2―y3）。
解：
原式=―2y3+3xy2―x2y―2xy2+2y3）=xy2―x2y。
（本例让学生体会整式的加减实质是去括号、合并同类项这两个知识的综合，有利于将新知识转化为已有的知识，使学生的知识结构发生更新）
例3：
化简求值：
（2x3―xyz）―2（x3―y3+xyz）+（xyz―2y3），其中x=1，y=2，z=―3。
解：
原式=2x3―xyz―2x3+2y3―2xyz+xyz―2y3=―2xyz。
当x=1，y=2，z=―3时，原式=—2×1×2×（—3）=12。
（本例让学生经历求代数式的值时，应先考虑将代数式化简，在代入求值的过程，体会先化简在求值的优越性）
3．课堂练习：
课本p70：
1，2，3。
三、课堂小结：
1．整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合。
2．整式的加减的一般步骤：
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