奥数619鸡兔同笼问题题库.docx

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奥数619鸡兔同笼问题题库

1.熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.

2.利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象．

知识精讲

知识点说明：

一、鸡兔同笼

这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：

“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

这四句话的意思是：

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有个头；从下面数，有只脚．求笼中各有几只鸡和兔？

你会解答这个问题吗？

你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？

二、解鸡兔同笼的基本步骤

解答思路是这样的：

假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由只变成了只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多．因此，脚的总只数与总头数的差，就是兔子的只数，即（只）．显然，鸡的只数就是（只）了．

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．

假设法顺口溜：

鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

如果假设全是兔，那么则有：

　　鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

　　兔数=鸡兔总数-鸡数

如果假设全是鸡，那么就有：

　　兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

　　鸡数=鸡兔总数-兔数

当头数一样时，脚的关系：

兔子是鸡的2倍

当脚数一样时，头的关系：

鸡是兔子的2倍

在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法

例题精讲

板块一、两个对象的“鸡兔同笼”

【例1】鸡兔同笼，头共，足共，鸡兔各几只？

1【解析】假设只都是兔，一共应有只脚，这和已知的只脚相比多了只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把只鸡当成只兔，就要比实际多（只）脚，那么只脚是我们把只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是，兔的只数是（只）．当然，这里我们也可以假设只全是鸡！

鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法．

【巩固】点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有个头，只脚．问：

点点家养的鸡和兔各有多少只？

1【解析】方法一：

我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一

样用两只脚站着．现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是（只）．在这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从减去总头数，剩下的就是兔子头数，（只），所以有只兔子，有（只）鸡．

方法二：

假设只都是兔子，那么就有（只）脚，比只脚多了（只）．每只鸡比兔子少（只）脚，那么共有鸡（只）

方法三：

还可以假设只都是鸡，那么共有脚（只），比只脚少了（只）脚，每只鸡比兔子少（只）脚，那么共有兔子（只）．

方法一可以归结为：

总脚数总头数兔子数．能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别为和，而且是的倍．

方法二说明假设的只兔子中有只不是兔子，而是鸡．由此可以列出公式：

鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）

方法三说明假设的只鸡中有只是兔．由此可以列出公式：

兔数（总脚数鸡脚数总头数）（兔脚数鸡脚数）

【巩固】鸡兔共有只，关在同一个笼子中．每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有条腿．试计算，笼中有鸡多少只？

兔子多少只？

1【解析】⑴假设法：

若假设所有的只动物都是兔子，那么一共应该有（条）腿，比实际多算（条）腿．而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有（只）鸡被当作了兔子，所以共有只鸡，有（只）兔子．

注意：

假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的腿数”计算出的是兔子的数目．同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法．

⑵“金鸡独立”法（砍足法）：

假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只用两条腿站立的“奇观”．这样就有一个好处：

鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则会比头数多．因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子．原来有只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有（条）腿，比头数多，所以有只兔子，另外只是鸡．

【巩固】动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有只眼睛和只脚，问：

鸵鸟和大象各有多少？

2【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：

动物园里鸵鸟和大象的总数为：

，假设鸵鸟和大象一样也有只脚，则应该有只脚，多了只脚，由假设引起的差值：

，则鸵鸟数为（只），大象数为（头）．

【巩固】鸡兔同笼，上有头，下有足，求笼中鸡兔各几只？

3【解析】有兔（只），有鸡（只）．

【例2】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚只，鸵鸟比梅花鹿多只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？

2【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的只的脚数得：

　（只）．这只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数（注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同）脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：

（只），所以梅花鹿的只数是：

（只），从而鸵鸟的只数是：

（只）（本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个怎么分组时有倍数关系得到的）

【巩固】一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？

4【解析】已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有（只）脚，可知现在剩下（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有（只），鸡有（只）．

【巩固】鸡兔同笼，鸡、兔共有只，兔的脚数比鸡的脚数多只，问鸡、兔各多少只？

5【解析】这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是已知头数之和和脚数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度．我们用两种方法来解这道题．

（方法一）考虑如果补上鸡脚少的只的话，那么就要增加（只）鸡．这样一来，鸡、兔共有（只），这时鸡脚、兔脚一样多．

已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的倍，根据和倍问题有：

兔有：

（只）

鸡有：

（只）或者（只）

（方法二）不妨假设只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：

（只），而鸡的脚数为零．这样兔脚比鸡脚多只，而实际上只多只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：

（只）．现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少只，鸡脚增加只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少（只）．

鸡的只数：

（只）

兔的只数：

（只）

【巩固】鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：

鸡、兔各多少只?

1【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多（只）.现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少（只），而，因此有兔子30只，鸡（只）.

【巩固】鸡、兔共只，鸡脚比兔脚多只．问：

鸡、兔各多少只？

6【解析】假设只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚只，而兔的脚数为零．这样鸡脚比兔脚多只，而实际上只多只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多（只）．现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少只，兔脚增加只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少（只），而，因此有兔子只，鸡（只）．

【巩固】鸡、兔同笼，鸡比兔多只，足数共只，问鸡、兔各几只？

2【解析】这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只．我们假设鸡与兔只数一样多，那么现在它们的足数一共有：

（只），每一对鸡、兔共有足：

（只），鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：

（对），则鸡有（只）．

【巩固】鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？

3【解析】解一:

假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14（只）,鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍）,于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是

（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.

鸡是100-38=62（只）.

当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是

（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.

也可以用任意假设一个数的办法.

解二:

假设有50只鸡,就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是

4×50-2×50=100,比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只（千万注意,不是2）.因此要减少的兔数是（100-28）÷（4+2）=12（只）.兔只数是50-12=38（只）.

【例3】在一个停车场上，现有车辆辆，其中汽车有个轮子，摩托车有个轮子，这些车共有个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？

【分析】假设都是三轮摩托车，应有（个）轮子，少了（个）轮子．每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少（个）轮子．汽车有（辆）；从而求出三轮摩托车有（辆）．或者假设都是汽车，应有（个）轮子，多了（个）轮子；

所以摩托车有（辆）．

【巩固】体育老师买了运动服上衣和裤子共件，共用了元，其中上衣每件元、裤子每件元，问老师买上衣和裤子各多少件？

1【解析】假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：

（件），

上衣：

（件）．

【巩固】小建和小雷做仰卧起坐，小建先做了分钟，然后两人各做了分钟，一共做仰卧起坐次．已知每分钟小建比小雷平均多做次，那么小建比小雷多做了多少次？

1【解析】假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，这样两人做仰卧起坐的总次数就减少了（次），由此可知小雷每分钟做了（次），进而可以分别求出小建每分钟做的次数以及两人分别做仰卧起坐的总次数之差．

假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，

两人做仰卧起坐的总次数就减少：

（次）

小雷每分钟做：

（次）；小建每分钟做：

（次）

小建一共做：

（次）；小雷一共做：

（次）

小建比小雷多做：

（次）

【例4】（中国古代僧粥问题）一百个和尚刚好喝一百碗粥，一个大和尚喝三碗粥，三个小和尚喝一碗粥，那么大和尚有多少个，小和尚有多少个？

3【解析】我们把大碗换小碗，换小碗盛粥！

把一大碗粥分成三小碗粥，则原题变为一百个和尚喝三百碗粥，一个大和尚喝九碗粥，一个小和尚喝一碗粥．

然后仍然用假设法：

假设都是小和尚，只能喝（碗）粥，有一个大和尚被当成小和尚会少（碗）粥，一共少了（碗）粥．所以大和尚有（个）；小和尚有（个）．

【巩固】100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍．问：

大、小和尚各有多少人？

1【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得．如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解．

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多（个）．现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少（个），因为，故小和尚有80人，大和尚有（人）．

同样，也可以假设100人都是小和尚，这里不再作说明．

【巩固】个和尚个馍，大和尚人分个馍，小和尚人分个馍．问：

大、小和尚各有多少人？

7【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得．如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解．

假设人全是大和尚，那么共需馍个，比实际多（个）．现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少（个），因为，故小和尚有70人，大和尚有（人）．

同样，也可以假设人都是小和尚，同学们不妨自己试试．