精锐教育七年级数学下.docx
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精锐教育七年级数学下
七年级数学（上）知识点
七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.
第一章有理数
1.有理数：
（1）定义：
凡能写成
形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：
0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数；
有理数的分类：
注意：
有理数，1.0-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；
自然数
0和正整数；
；
；
（2）数轴
数轴的三要素：
原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
注：
任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。
反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数。
（3）相反数：
①定义：
只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数，也称这两个数互为相反数；0的相反数还是0；
②相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.
③互为相反数的两个数乘积为-1，商为-1
④互为相反数的两个数绝对值相等
⑤注意：
a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且它们到原点的距离相等。
（4）绝对值
绝对值的定义：
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
数a的绝对值记作|a|。
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。
或
绝对值的性质：
除0外，绝对值为1正数的数有两个，它们互为相反数；
互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0
①对任何有理数a，都有|a|≥0
②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然
③若|a|=b，则a=±b
④对任何有理数a,都有|a|=|-a|
⑤
⑥
是重要的非负数，即
⑦任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即
|a|≥a，|a|≥-a
⑧若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）
⑨|ab|=|a|·|b|；|
|=
（b≠0）；
⑩|a|
=|a
|=a
；
⑾|a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a-b|
（5）数轴比较大小
数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的左边。
有理数比大小：
（1）正数的绝对值越大，这个数越大；
（2）正数永远比0大，负数永远比0小；
（3）正数大于切负数；
（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小
（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.
注：
比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。
步骤如下：
①先求出两个数负数的绝对值；
②比较两个绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
（6）互为倒数
定义：
乘积为1的两个数互为倒数；注意：
0没有倒数；若a≠0，那么
的倒数是
；若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负倒数.
注意：
1的倒数是1；若
；若
等于本身的数汇总：
相反数等于本身的数：
0；倒数等于本身：
1，-1
绝对值等于本身的数：
正数，0；平方等于本身的数：
0,1；立方等于本
身的数：
0,1，-1
（7）有理数加减法法则及运算律
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
③一个数与0相加，仍得这个数.
有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：
a+b=b+a；
（2）加法的结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）.
灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：
①互为相反的两个数，可以先相加；
②符号相同的数，可以先相加；
③分母相同的数，可以先相加；
④几个数相加能得到整数，可以先相加
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.
有理数减法运算时注意两“变”：
①改变运算符号；
②改变减数的性质符号（变为相反数）
有理数减法运算时注意一个“不变”：
被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。
有理数的加减法混合运算的步骤：
①写成省略加号的代数和。
在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；
②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。
注意：
减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。
（8）有理数乘除法法则
①两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
②任何数同零相乘都得零；
③几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.
有理数乘法的运算律
（1）乘法的交换律：
ab=ba；
（2）乘法的结合律：
（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：
a（b+c）=ab+ac.
有理数乘法运算步骤：
①先确定积的符号；
②求出各因数的绝对值的积。
乘积为1的两个有理数互为倒数。
注意：
①零没有倒数
②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。
一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数
有理数除法法则：
除以一个数等于乘以这个数的倒数；
注意：
零不能做除数，
.
①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
②0除以任何非0的数都得0。
0不可作为除数，否则无意义
（9）有理数乘方
定义：
求
个相同因式
积的运算，叫做乘方；在
中，
叫做底数，
叫做指数，乘方的结果叫做幂。
注意：
①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。
③
是重要的非负数，即
；若；
乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
注意：
当n为正奇数时:
（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n
当n为正偶数时:
（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）n
③任何数的偶数次幂都是非负数；
④1的任何次幂都得1，0的任何正数次幂都得0；
⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
有理数混合运算法则：
①先算乘方,再算乘除,最后算加减。
②如果有括号,先算括号里面的。
科学记数法：
把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.
近似数的精确位：
一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
有效数字：
从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数
的有效数字.
第二章整式的加减
代数式的概念：
用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。
等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
代数式的书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如
应写作
；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4÷（a-4）应写作
注意：
分数线具有“÷”号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如
平方米
代数式的系数
代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。
如3x,4y的系数分别为3，4。
注意：
①单个字母的系数是1，如a的系数是1；
②只含字母因数的代数式的系数是1或-1，如-ab的系数是-1。
a3b的系数是1
代数式的项：
代数式
表示6x2、-2x、-7的和，6x2、-2x、-7是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项
注意：
在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。
单项式：
表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或者字母也叫单项式。
注：
在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
或虽含有除法运算，但除式中不含字
母的一类代数式叫单项式.
单项式的系数与次数：
单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.
多项式：
几个单项式的和叫多项式.
多项式的项数与次数：
多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。
比如：
这是一个多项式，不同项的系数是不同的二次项的系数
是1，一次项的系数是2，常数项（不含未知数的项）的系数是-3吗，最高项指的是在多
项式中未知数次数最高的一项（常数项的系数为0）比如3xy+x最高次项为3xy,其最高项
次数为2（未知数次数之和）x+1最高次项次数为1，二次三项式指的是一个式子有3项，
其最高次项系数为2，例如xy+x+1
同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
注意：
①判断几个代数式是否是同类项有两个条件：
所含字母相同；相同字母的指数也相同。
这两个条件缺一不可；
②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；
③几个常数项也是同类项。
合差同类项：
把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
1合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律；
②合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
注意：
①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0；
②不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；
③只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。
根据去括号法则去括号：
括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“－”号去掉，括号里各项都改变符号。
根据分配律去括号：
括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“－”号看成-1，根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。
注意：
①去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；
②去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“－”号；
③改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。
第三章一元一次方程及应用
一元一次方程应用题常见题型：
（1）行程问题：
距离=速度·时间
；
基本类型有
相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
追及问题：
快行距－慢行距＝原距
常见的还有环形跑道问题，时针问题
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
（2）工程问题：
工作量=工效·工时
；
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
（3）比率问题：
部分=全体·比率
；
（4）顺逆流问题：
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
（5）市场经济问题：
利润赢亏问题
①销售问题中常出现的量有：
进价、售价、标价、利润等
2商品利润=利润=售价-成本；商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量；商品利润率＝
×100%
③商品售价=商品标价×折扣率；售价=定价·折·
商品销售额＝商品销售价×商品销售量
④商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
（6）周长、面积、体积问题：
C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2（a+b），S长方形=ab，C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π（R2-r2）,
V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥=
πR2h.
（7）储蓄问题
顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。
利息的20%付利息税
利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率（20%）
（8）和差倍分问题（生产、做工等各类问题）
倍数关系：
通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长
率……”来体现。
多少关系：
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
（9）劳力调配问题：
这类问题要搞清人数的变化.
（10）配套问题：
抓住配套关系，设出未知数，根据配套关系列出方程，解方
程。
（11）年龄问题：
掌握了年龄变化的基本规律；和列方程解应用题的关键
（12）增长率问题：
此类问题的关键是掌握好此类问题中的等量关系的确定方
法：
（13）数字问题：
要搞清楚数的表示方法：
一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：
100a+10b+c。
数字问题中一些表示：
两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
（14）方案选择：
根据相应条件列方程，与实际相符.
（14）古典数学
1.100个和尚100个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大
和尚，多少小和尚。
2.有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只
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