二次函数专题训练三角形周长最值问题含问题详解.docx

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二次函数专题训练三角形周长最值问题含问题详解

1．如下列图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕两点，与y轴交于点C．

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕如下列图，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；

〔3〕点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，假如点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？

假如存在，直接写出点P的横坐标；假如不存在，说明理由．

2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．

〔1〕求直线AD的解析式；

〔2〕如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

〔3〕如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接MQ′，PQ′．当△PMQ′与□APQM重合局部的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴交于A，B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，点A的坐标为〔﹣1，0〕，且OC=OB，tan∠ACO=．

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕假如点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；

〔3〕在〔2〕的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？

如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

4．如图〔1〕，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A〔x1，0〕、B〔x2，0〕两点〔x1＜0＜x2〕，与y轴交于点C〔0，﹣3〕，假如抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．

〔1〕求抛物线的函数解析式；

〔2假如点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标

〔3〕如图〔2〕，假如直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E〔0，﹣〕，点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？

假如存在，求出点P的坐标与△PMN的周长的最大值；假如不存在，请说明理由．

5．：

如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为〔﹣1，0〕．

〔1〕求过A、B、C三点的抛物线的解析式．

〔2〕在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．

〔3〕在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．假如存在，求出点P的坐标；假如不存在，说明理由．

6．如图，抛物线y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m〔m＞1〕与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C〔0，3〕．

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；

〔3〕点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．

7．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．

〔1〕直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；

〔2〕点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；

〔3〕假如点P为y轴上的动点，如此在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？

假如存在，请求出点Q的坐标，假如不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，交y轴与点D，点C〔0，〕，连接AC．

〔1〕求直线AC的解析式；

〔2〕点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以与点P的坐标；

〔3〕当〔2〕题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，假如存在，直接写出点A′的坐标；假如不存在，请说明理由．

9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．

〔1〕求直线AC与直线BC的解析式；

〔2〕如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；

①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标与周长最大值；

②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，假如S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；

〔3〕如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．

参考答案与试题解析

　1．如下列图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕两点，与y轴交于点C．

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕如下列图，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；

〔3〕点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，假如点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？

假如存在，直接写出点P的横坐标；假如不存在，说明理由．

【解答】解：

〔1〕把A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，

得到，

解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

〔2〕如图1中，连接PB、PC．设P〔m，m2﹣2m﹣3〕，

∵B〔3，0〕，C〔0，﹣3〕，

∴OB=OC，

∴∠OBC=45°，

∵PF∥OB，

∴∠PFE=∠OBC=45°，

∵PE⊥BC，

∴∠PEF=90°，

∴△PEF是等腰直角三角形，

∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，

如此有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•〔﹣m2+2m+3〕+•3•m﹣=﹣〔m﹣〕2+，

∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，

此时P〔，﹣〕，

∵直线BC的解析式为y=x﹣3，

∴F〔﹣，﹣〕，

∴PF=，

∵△PEF是等腰直角三角形，

∴EF=EP=，

∴C△PEF最大值=+．

〔3〕①如图2中，

当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P〔2，﹣3〕．点P横坐标为2，

②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．

易知△PFN≌△PEM，

∴PF=PE，设P〔m，m2﹣2m﹣3〕，

∵M〔1，﹣4〕，

∴m=m2﹣2m﹣3﹣〔﹣4〕，

∴m=或〔舍弃〕，

∴P点横坐标为

所以满足条件的点P的横坐标为2或．

2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．

〔1〕求直线AD的解析式；

〔2〕如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

〔3〕如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接MQ′，PQ′．当△PMQ′与□APQM重合局部的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．

【解答】解：

〔1〕令﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴A〔﹣1，0〕，C〔0，3〕，

∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，

∴D〔2，3〕，

∴直线AD的解析式为：

y=x+1；

〔2〕设点F〔x，﹣x2+2x+3〕，

∵FH∥x轴，

∴H〔﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3〕，

∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣〔x﹣〕2+，

∴FH的最大值为，

由直线AD的解析式为：

y=x+1可知∠DAB=45°，

∵FH∥AB，

∴∠FHG=∠DAB=45°，

∴FG=GH=×=

故△FGH周长的最大值为×2+=；

〔3〕①当P点在AM下方时，如图1，

设P〔0，p〕，易知M〔1，4〕，从而Q〔2，4+p〕，

∵△PMQ′与▱APQM重合局部的面积是▱APQM面积的，

∴PQ′必过AM中点N〔0，2〕，

∴可知Q′在y轴上，

易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，

故T〔1，4〕，从而T、M重合，

∴▱APQM是矩形，

∵易得直线AM解析式为：

y=2x+2，

∵MQ⊥AM，

∴直线QQ′：

y=﹣x+，

∴4+p=﹣×2+，

解得：

p=﹣，

∴PN=，

∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；

②当P点在AM上方时，如图2，

设P〔0，p〕，易知M〔1，4〕，从而Q〔2，4+p〕，

∵△PMQ′与▱APQM重合局部的面积是▱APQM面积的，

∴PQ′必过QM中点R〔，4+〕，易得直线QQ′：

y=﹣x+p+5，

联立，解得：

x=，y=，

∴H〔，〕，∵H为QQ′中点，

故易得Q′〔，〕，

由P〔0，p〕、R〔，4+〕易得直线PR解析式为：

y=〔﹣〕x+p，

将Q′〔，〕代入到y=〔﹣〕x+p得：

=〔﹣〕×+p，

整理得：

p2﹣9p+14=0，

解得p1=7，p2=2〔与AM中点N重合，舍去〕，

∴P〔0，7〕，

∴PN=5，

∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|xM﹣xA|=2××5×2=10．

综上所述，▱APQM面积为5或10．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴交于A，B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，点A的坐标为〔﹣1，0〕，且OC=OB，tan∠ACO=．

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕假如点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；

〔3〕在〔2〕的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？

如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：

〔1〕∵点A的坐标为〔﹣1，0〕，

∴OA=1．

又∵tan∠ACO=，

∴OC=4．

∴C〔0，﹣4〕．

∵OC=OB，

∴OB=4

∴B〔4，0〕．

设抛物线的解析式为y=a〔x+1〕〔x﹣4〕．

∵将x=0，y=﹣4代入得：

﹣4a=﹣4，解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．

〔2〕∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C〔0，﹣4〕，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，

∴D〔3，﹣4〕．

设直线AD的解析式为y=kx+b．

∵将A〔﹣1，0〕、D〔3，﹣4〕代入得：

，解得k=﹣1，b=﹣1，

∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．

∵直线AD的一次项系数k=﹣1，

∴∠BAD=45°．

∵PM平行于y轴，

∴∠AEP=90°．

∴∠PMH=∠AME=45°．

∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=〔1+〕PM．

设P〔a，a2﹣3a﹣4〕，M〔﹣a﹣1〕，如此PM=﹣a﹣1﹣〔a2﹣3a﹣4〕=﹣a2+2a+3，

∵PM=﹣a2+2a+3=﹣〔a﹣1〕2+4，

∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．

∴△MPH的周长的最大值=4×〔1+〕=4+4．

〔3〕如图1所示；当∠EGN=90°．

设点G的坐标为〔a，0〕，如此N〔a，a2﹣3a﹣4〕．

∵∠EGN=∠AOC=90°，

∴时，△AOC∽△EGN．

∴=，整理得：

a2+a﹣8=0．

解得：

a=〔负值已舍去〕．

∴点G的坐标为〔，0〕．

如图2所示：

当∠EGN=90°．

设点G的坐标为〔a，0〕，如此N〔a，a2﹣3a﹣4〕．

∵∠EGN=∠AOC=90°，

∴时，△AOC∽△NGE．

∴=4，整理得：

4a2﹣11a﹣17=0．

解得：

a=〔负值已舍去〕．

∴点G的坐标为〔，0〕．

∵EN在EP的右面，

∴∠NEG＜90°．

如图3所示：

当∠ENG′=90°时，

EG′=EG××=〔﹣1〕×=．

∴点G′的横坐标=．

∵≈＞4，

∴点G′不在EG上．

故此种情况不成立．

综上所述，点G的坐标为〔，0〕或〔，0〕．

4．如图〔1〕，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A〔x1，0〕、B〔x2，0〕两点〔x1＜0＜x2〕，与y轴交于点C〔0，﹣3〕，假如抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．

〔1〕求抛物线的函数解析式；

〔2假如点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标

〔3〕如图〔2〕，假如直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E〔0，﹣〕，点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？

假如存在，求出点P的坐标与△PMN的周长的最大值；假如不存在，请说明理由．

【解答】解：

〔1〕在Rt△AOC中，tan∠AOC==3，且OC=3，

∴OA=1，如此A〔﹣1，0〕，

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

如此点A〔﹣1，0〕关于直线x=1的对称点B的坐标为〔3，0〕，

设抛物线的表达式为y=a〔x﹣3〕〔x+1〕，

将点C〔0，﹣3〕代入上式得﹣3a=﹣3，

解得：

a=1，

∴抛物线的解析式为y=〔x﹣3〕〔x+1〕=x2﹣2x﹣3；

〔2〕∵点B〔3，0〕、C〔0，﹣3〕，

如此BC=3，

∴S△BCD=×3×=3，

设D〔x，x2﹣2x﹣3〕，连接OD，

∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC

=•3•x+•3•〔﹣x2+2x+3〕﹣×3×3

==3，

解得x=1或x=2，

如此点D的坐标为〔1，﹣4〕或〔2，﹣3〕；

〔3〕设直线AE解析式为y=kx+b，

将点A〔﹣1，0〕、E〔0，﹣〕代入得：

，

解得：

，

如此直线AE解析式为y=﹣x﹣，

AE==，

设P〔t，t2﹣2t﹣3〕，如此M〔t，﹣t﹣〕，

∴PM=﹣t﹣﹣〔t2﹣2t﹣3〕=﹣t2+t+，

作PG⊥MN于G，由PM=PN得MG=NG=MN，

由△PMG∽△AEO得=，即=，

∴MG=PM=NG，

∴C△PMN=PM+PN+MN=PM=〔﹣t2+t+〕=﹣t2++6=﹣〔t﹣〕2+，

∴当t=时，C△PMN取得最大值，此时P〔，﹣〕．

5．：

如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为〔﹣1，0〕．

〔1〕求过A、B、C三点的抛物线的解析式．

〔2〕在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．

〔3〕在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．假如存在，求出点P的坐标；假如不存在，说明理由．

【解答】解：

〔1〕直线y=﹣x+2与x轴交于B〔2，0〕，与y轴交于C点〔0，2〕，

设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

把A〔﹣1，0〕、B〔2，0〕、C〔0，2〕的坐标代入，

∴a=﹣1，b=1，c=2，

∴抛物线的解析式为：

y=﹣x2+x+2，

〔2〕设D〔x，﹣x2+x+2〕，F〔x，﹣x+2〕，

∴DF=〔﹣x2+x+2〕﹣〔﹣x+2〕=﹣x2+2x，

所以x=1时，DF最大=1，

∵OB=OC，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∵DE⊥BC，DF∥y轴，

∴△DEF为等腰直角三角形，

∴△DEF周长的最大值为1+

〔3〕如图，

当△DEF周长最大时，D〔1，2〕，F〔1，1〕．延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M，

如此DB=，DH=2，OH=1

当∠DFP=∠DBC时，△DFP∽△DBF，

∴，

∴DP=，

∴=，

∴PM=，DM=，

∴P点的横坐标为OH+PM=1+=，

P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=，

∴P〔，〕．

6．如图，抛物线y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m〔m＞1〕与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C〔0，3〕．

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；

〔3〕点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．

【解答】解：

〔1〕把C〔0，3〕代入y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m得m=3，

∴抛物线的解析式为：

y=﹣x2+2x+3，

〔2〕令y=﹣x2+2x+3=0，解得：

x1=﹣1，x2=3，∴A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，C〔0，3〕，

∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，

∴D〔1，2〕，AD的解析式y=x+1，设AD与y轴交于E，

∴OA=OE=1，

∴∠EAO=45°，

∵FH∥AB，

∴∠FHA=∠EAO=45°，

∵FG⊥AH，

∴△FGH是等腰直角三角形，

设点F坐标〔m，﹣m2+2m+3〕，

∴点H坐标〔﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3〕，

∴FH=﹣m2+m+2，

∴△FGH的周长=〔﹣m2+m+2〕+2×〔﹣m2+m+2〕=﹣〔1+〕〔m﹣〕2+

∴△FGH的周长最大值为；

〔3〕∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为〔1，4〕，

∴直线AM的解析式为y=2x+2，

∵直线l垂直于直线AM，

∴设直线l的解析式为y=﹣x+b，

∵与坐标轴交于P、Q两点，

∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P〔0，b〕，与x轴的交点Q〔2b，0〕，

设R〔1，a〕，

∴PR2=〔﹣1〕2+〔a﹣b〕2，QR2=〔2b﹣1〕2+a2，PQ2=b2+〔2b〕2=5b2，

∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，

∴PR2=QR2，即〔﹣1〕2+〔a﹣b〕2=QR2=〔2b﹣1〕2+a2，

∴﹣2a=3b﹣4，①

∴PR2+QR2=PQ2，

即〔﹣1〕2+〔a﹣b〕2+〔2b﹣1〕2+a2=5b2，

∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0，②

联立①②解得：

，，

∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2．

7．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．

〔1〕直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；

〔2〕点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；

〔3〕假如点P为y轴上的动点，如此在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？

假如存在，请求出点Q的坐标，假如不存在，请说明理由．

【解答】解：

〔1〕将x=0代入得y=3，

∴C〔0，3〕．

∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，C〔0，3〕，

∴D〔2，3〕．

把y=0代入抛物线的解析式得：

0=﹣x2+2x+3，解得x=3或x=﹣1，

∴A〔﹣1，0〕．

设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：

，解得：

k=1，b=1，

∴直线AD的解析式为y=x+1．

〔2〕如图1所示：

∵直线AD的解析式为y=x+1，

∴∠DAB=45°．

∵EF∥x轴，EG∥y轴，

∴∠GEF=90°，∠GFE=∠DAB=45°

∴△EFG是等腰直角三角形．

∴△EFG的周长=EF+FG+EG=〔2+〕EG．

依题意，设E〔t，﹣t2+2t+3〕，如此G〔t，t+1〕．

∴EG=﹣t2+2t+3﹣〔t+1〕=﹣〔t﹣〕2+．

∴EG的最大值为．

∴△EFG的周长的最大值为+．

〔3〕存在．

①以AD为平行四边形的边时，PQ∥AD，PQ=AD．

∵A，D两点间的水平距离为3，

∴P，Q两点间的水平距离也为3．

∴点Q的横坐标为3或﹣3．

将x=3和x=﹣3分别代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12．

∴Q〔3，0〕或〔﹣3，﹣12〕．

②当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为M，

∵A〔﹣1，0〕，D〔2，3〕，M为AD的中点，

∴M〔，〕．

设点Q的横坐标为x，如此=，解得x=1，

∴点Q的横坐标为1．

将x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4．

∴这时点Q的坐标为〔1，4〕．

综上所述，当点Q的坐标为Q〔3，0〕或〔﹣3，﹣12〕或〔1，4〕时，以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．

8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，交y轴与点D，点C〔0，〕，连接AC．

〔1〕求直线AC的解析式；

〔2〕点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以与点P的坐标；

〔3〕当〔2〕题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，假如存在，直接写出点A′的坐标；假如不存在，请说明理由．

【解答】解：

〔1〕令y=0如此，﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或x=2，

∴A〔﹣3，0〕，B〔2，0〕．

设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：

，

解得：

k=，b=，

∴直线AC的解析式为y=x+．

〔2〕延长PE交OA与点F，如此PF⊥OA．

∵PF⊥OA，PG⊥AC，

∴∠EFA=∠PGE．

又∵∠PEG=∠FEA，

∴∠EAF=∠EPG．

∵OC=，AO=3，

∴tan∠GPE=tan∠EAF=．

∴sin∠GPE=，cos∠GPE=．

∴PG=PE，EG=EP．

∴△PEG的周长=PE+PG+EG=〔1+〕PE．

∴当PE取得最大值时，△PEC的周长最大．

设点P的坐标为〔t，﹣t2﹣t+3〕