第一章线性系统的状态空间描述.docx
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第一章线性系统的状态空间描述
第一章线性系统的状态空间描述
1.内容
系统的状态空间描述
化输入—输出描述为状态空间描述
由状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统的坐标转换
组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵
2.基本概念
系统的状态和状态变量
状态：
完全描述系统时域行为的一个最小变量组。
状态变量：
构成系统状态的变量。
状态向量
设系统状态变量为X't）,X2（t）,…，Xn（t）写成向量形式称为状态向量，记为
"Xi（t）"l
X2（t）
x（t）=:
N（t）一
状态空间
状态空间：
以状态变量为坐标轴构成的n维空间。
状态轨迹：
状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条轨迹。
3.状态空间表达式
设系统r个输入变量：
山⑴,U2（t）,,山（t）
m个输出：
yi（t）,y2（t）厂，ym（t）
n个状态变量：
Xi（t）,X2（t）,,Xn（t）
例：
图示RLC电路，建立状态空间描述
L
AAAA
iL
TUc
电容C和电感L两个独立储能元件，有两个状态变量,
如图中所注,
方程为
LdLk^RiL（t）Uc（t）二U（t）
dt
du「t）
dt
L（t）
Xi（t）二L（t）,X2（t）二Uc（t）
状态方程
LX1（t）RX1（t）x2（t）=U（t）
Cx2（t）二Xi（t）
u1-
=1
I
+|
U（t）
.X2（t）一
1/C
0
.X2（t）_
A
Xi（t）-R/L-1/LXi（t）1
输出方程
y（t）=Uc（t）=1
]Xi（t）
殳⑴.
状态方程：
状态变量与输入变量之间的关系
dXi（t）dt=Xi（t）=fi&i（t）,X2（t）,,Xn（t）；Ui（t）,U2（t）,,Ur（t）;t丨
dX2（t）dt=X2（t）=f2l-Xi（t）,X2（t）「，Xn（t）；Ui（t）,U2（t）,,Ur（t）；t1
dXn（t）dt=Xn（t）二fn〔Xi（t）,X2（t）,九⑴；Ui（t）,U?
（t）,,U「（t）；t1
用向量表示，得到一阶的向量微分方程
x（t）二f!
-X（t）,u（t）,t1
其中
X2（t）
m
€Rn,
U（t）=
U2（t）
s
ERr,f（・）=
f2（*）
a
.Xn（t）_
Ur（t）一
11
/n（*）_
Xi（t）
Ui（t）
fi（*）
X（t）:
二
Rn
输出方程：
系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即
yi（t）=gik（t）,X2（t）,,Xn（t）；Ui（t）,U2（t）,,Ur（t）；t1
y2（t）二g2!
Xi（t）,X2（t）「，Xn（t）；Ui（t）,U2（t）,,Ur（t）；t1
ym（t）二gm-Xi（t）,X2（t）「，Xn（t）；Ui（t）,U2（t）,…，U「（t）；t1
用向量表示为
y（t）=gX（t）,U（t）,t1
4系统分类：
1）非线性时变系统
”x"（t）=flx（t）,u（t）,t]y（t）二gIx（t）,u（t）,t〕
2）非线性定常系统
x（t）=f〔x（t）,u（t）1y（t）二g〔x（t）,u（t）l
3）线性时变系统
Xi=ail（t）Xi+…+ain（t）Xn+bii（t）ui+…+bir（t）ur
-
:
X；=ani（t）Xi+…+ann（t）Xn+bni（t）ui+…十5「化川「
写成向量形式即为
「x（t）=A（t）x（t）+B（t）u（t）y（t）=C（t）x（t）+D（t）u（t）
其中：
■
aii（t）
a2i（t）
ai2（t）…
a22（t）…
A（t）=
s
*-
ain（t）1_bii（t）bi2（t）
a2n（t）b2i（t）b22（t）
:
，B（t）=:
:
ann（t）一-bni（t）bn2（t）
bir（t）
b2r（t）
a
bnr（t）一
-
Cii（t）
G2（t）…
Cin（t）
-
dii（t）
di2
（t）…
dir（t）
C（t）=
C2i（t）
9
C22（t）…
99
C2n（t）
9
，D（t）
—
d2i（t）
d22
（t）…
aa
d2r（t）
9
Cmi（t）
Cm2（t）…
Cmn（t）_
-
dmi（t）
dm2
（t）…
dmr（t）_
_ani（t）an2（t）
4）线性定常系统
'X（t）=Ax（t）+Bu（t）y（t）=Cx（t）+Du（t）
5状态空间表达式的系统结构图
状态和输出方程可以用结构图表示，形象地表明系统中信号传递关
系。
对线性系统，结构图如下:
u（t）
D（t）
x（t）
x（t）
B（t）
f
C（t）
y（t）
ACQ
线性时变系统结构图
6根据物理机理建立状态空间表达式
对不同控制系统，根据其机理，即相应的物理或化学定律，可建立系统的状态空间表达式，步骤如下：
1）确定系统输入、输出和状态变量；
2）列出方程；
3）消去中间变量；
4）整理成标准的状态和输出方程。
7化输入■输出描述为状态空间描述
设单输入—单数出线性定常连续系统的微分方程有下列一般形式
-nIS"'「n2Sn'…「iS「oNS
Ann-1n—2
sanjSan/Sa1sa0—Ds
当选取不同的状态变量时，可以得到不同的状态空间形式
1）能控规范性（P11）
y=P—z
选状态变量
（1）.
二Z,x2二z,,Xn_1
xn
z（7
X2
Xn
（n）
=z
_anXi_an_jX2
—a1Xnu
n丄Xn
：
iX2：
oXi
亠■亠SZ亠’：
：
oz=u
亠-亠，打Z「'oz
写成向量形式
x二AxBu
_Xi1
-
-0
1
0
…0
-
01
X2
0
0
1
…o
0
a
Ac=
a
:
a
:
s
+a
bc二
=
a
X2
0
0
0
…1
0
Xn一
厂ao
-ai
—a2
一anJ_
一1一
输出方程
y=7oXi■-X2.…-'■n_1Xn-
0n_2nlx=CcX
■p01
1
T
「01
1
R
|P1
l01
I0
IP2
co=10
l;
，L
I'
I1J
2）能观规范性（P10）
Xn=y
Xi=+o（iy一PiUi=1,…,n一1
000-a。
10…0-a1
Ao=01…0-a?
*=
aa+aa
卫0…1-an」
能控与能观两种规范型的系数矩阵存在下列关系
Ac=A；
Tbe=Co
T
Cc=bo
这种关系称为对偶原理。
3）对角型
当系统含相异实极点时，可化为A是对角型的状态空间方程
G（s）
=N（s）
-D（s）
n
i=1
Ci二lim（s-i）G（s）,i=1,2,,n定义
='iXiu
n
=瓦CiXi
i=1
C2
4）约当型
系统含重极点时
G（s）3
D（s）
c11+c12
k
（s-'1）（S-1）
C1k
Ci
c=lim（s-%i）G（s）,i=k1,r2,,n
s—J
S=lim—f（j_1）!
j1
1d
j~1dsj-
s—■j）rG（s）1
「嘉
■0
0
ciiI
C1k
ck*
5n
例：
已知为传递函数
G（s）—（s1）2（s2）_（s1）2
2
c11=lim（s1）G（s）二5s亠
G2=lim」（s1）2G（s）I--5s_^ds
q二lim（s2）G（s）=5
ST』
8从状态空间表达式求传递函数矩阵
已知线性定常系统状态空间模型为
‘X=Ax+Bu
]y=CxDu
sX（s）-X（0）=AX（s）BU（s）
Y（s）二CX（s）DU（s）
令X（0）=0,则
sX（s）二AX（s）BU（s）二X（s）=（si-A厂1BU（s）
二Y（s）-C（si-A）_1BDU（s）：
=G（s）U（s）
G（s）二C（sl-A「B•D系统的传递函数矩阵。
9线性系统的线性变换
1）概念介绍
或者称
状态变量的不同选取，其实是状态向量的一种线性变换，为坐标变换。
设有一个n阶控制系统，两组不同状态变量分别是
、Xi，X2厂,xj、~1，~2「,~n；
则两组变量间存在非奇异线性变换关系:
^~^~—1
X二PxX=PX,P二
一PniPnn
于是，有如下线性方程：
Xi二Pii~iPi2~2Pin~n
X2=P21~1+P22~2+…+P2n~n
:
I-
Xn=Pni~1Pn2~2…Pnn~n
即一组状态变量是另一组的线性组合，且这种组合具有唯一的对
应关系，均能完全描述同一系统的行为。
状态向量的这种变换称为状态的线性变换或等价变换。
状态的线性变换或等价变换，实质是状态空间的基底变换，也即
坐标变换。
状态变换后，状态空间表达式发生变化:
x=Ax+Bu原系统：
CxDu
线性变换：
—1
X=Px,X=PX
x=PAPx+PBu:
=Ax+Bu
y二CP~Du:
=C~Du
由此，有
-4丄——
A=PAP,B=PB,C=CP,D=D
变换前后系统矩阵相似，故具有相同的基本特性，如行列式相同、秩相同、迹相同、特征多项式相同和特征值相同等。
对于线性定常系统
x=AxBu
y=Cx
系统的特征多项式为：
k\-A=det（入I一A）=『+a#"—1+a?
九心十…+an_#+a
系统的特征方程为：
det（I-A）=0
特征方程的根，称为系统的特征值。
系统特征值的不变性：
线性变换后
det（sI-A）=det（sI-P_1AP）
=detP」（sl-A）P1
-det（P」）det（sl-A）det（P）
二det（sl-A）
2）化为对角线标准型
对线性定常系统，若系统的特征值两两互异，则必存在非奇异变
换，将状态方程化为对角线标准型。
实际上
P=P2…PnhRn^,APi=\P
二P1
「°
3）化为Jordan标准型
如果系统矩阵A有重根，且
的线性独立的特征向量数等于系
统的阶数n，则可将其化为对角线标准型。
当A有重根时，经线性变换一般可将A化为约当标准型J,矩阵
J是主对角线上均为约当块的准对角型矩阵，即
P」AP二J二diagJ-J?
,Jm,JiR
〉1*2i=n,〉i是’i的代数重数
Ji1
nijXhij
Jj
R，n皿•…"c=:
-i
Ji「
约当块具有形式
1
■i1
Jij
■i
10组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵
设有两个系统：
xi=Aixi+Biui
和＜,i=1,2
yi二CixiDiui
它们的传递函数矩阵为
Gj（s）=Cj（sl_Ai）_1BiDi
1并联
yi
12
U2
y2
并联系统
其状态空间模型和传递函数为
*11
An+B1u
_A1
Vx/I
■b/I
—
I
=I
1
+
1
u
儿一
A2x2+B2u
A2一
*一
B一
y=C1x1D1uC2x2D2u-C1C2lx（D1D2）u
」r『si-&0r^Bj
G（s）=C（sl—A）C2」+（D1+D2）
0si-A2一[b2
=0（si-A1）^B1D1C2（sl一A2）」B2D2
9（s）G2（s）
2串联
串联系统
其状态空间模型为
=
=
?
2一
/2X2+B2y「
A2x2+B2C1x^B2D1u
1-
A1x1B1u
xj|A1x1B1u
Ai0xiBi
=||+|u
B2C1A2x2B2D1
y二C2X2D2U2二C2X2D2（CiXiDiu）
=〔D26C2XD2D2u
传递函数矩阵
Y（s）二丫2（s）二G2（s）U2（s）二G2（s）Yi（s）
二G2（s）Gi（s）Ui（s）二G2（s）Gi（s）U（s）
G（s）二G2（s）Gi（s）
3反馈连接
反馈连接
假设D仁D2=0
x〔=AxB1u1
AxB〔u-B1C2x2
x2=A2x2B2u2=A2x2
B2C1x
八CiXi
写成向量形式
"A1x^B1^-B1C2x2'
_A1
-B1C21
■BJ
x=
=
x+
u
A2x2+B2C1x1
A2一
]o一
y=Cj0lx
传递函数矩阵
Y（s）=Yi（s）=Gi（s）Ui（s）=Gi（s）U（s）-Y2（s）1
=Gi（s）U（s）-Gi（s）G2（s）Y（s）
=IIG1（s）G2（s）Y（s^G1（s）U（s）
从而，有
〔IG1（s）G2（s）Y（s）=G1（s）U（s）=G（s）-〔IG1（s）G2（s）iJG1（s）G（s）=G1（s）〔lG2（s）G1（s）1_1
本章小结
现代控制理论的数学工具：
状态空间描述。
（1）状态空间表达式：
（2）状态空间表达式不唯一；
（3）状态变换不改变系统基本特征量；
（4）状态空间描述与微分方程、传递函数和方块图之间可
相互转换；
（5）线性变换化标准型
作业
1.31.51.7
1.10
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