浙江大学数学系计算机辅助几何设计与图形学科研组CAG.docx

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浙江大学数学系计算机辅助几何设计与图形学科研组CAG

前言

浙江大学数学系计算机辅助几何设计与图形学科研组（CAGD&CGGroup）开展计算机图形学和几何设计的研究已有二十余年历史．近十年来，科研组在国家自然科学基金资助和兄弟单位帮助下，针对计算机辅助曲线曲面造型的国际前沿课题和我国工业界提出的专业技术难点开展攻关研究，取得了一批理论成果．这些成果先后总结成论文，发表在ComputerAidedGeometricDesign,CVGIP:

GraphicalModelsandImageProcessing,ComputerAidedDesign,Computing,ComputerGraphics,ComputersandGraphics,ComputersinIndustry,JournalofApproximationTheory,ChineseScienceBulletin,ProgressinNaturalScience,JournalofComputerScienceandTechnology,JournalofComputationalMathematics,ComputerAidedDrafting,DesignandManufacturing等国际期刊和《中国科学》、《计算机学报》、《软件学报》、《数学年刊》、《应用数学学报》、《计算数学》、《高校应用数学学报》、《计算机辅助设计与图形学学报》等国内核心刊物上，累计逾百篇．其中有30篇被SCI（ScienceCitationIndex）摘录，有34篇被EI（EngineeringIndex）摘录，有2篇在SIGGRAPH计算机图形与交互技术国际会议上宣读，又被作为第一作者的国际学者100多人次在70多篇文章中引用150多次，在CAGD&CG这一高技术领域为我国争得了一席之地．为了与广大读者共享我们的科研成果，为祖国的四化尽绵薄之力；为了与同行们进行学术交流，起到抛砖引玉的作用，我们在国家自然科学基金研究成果专著出版基金的资助下，把这些论文进行系统的归纳整理，写成本书印刷出版．

计算机辅助几何设计（ComputerAidedGeometricDesign）主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面信息的表示、逼近、分析和综合．它肇源于飞机、船舶的外形放样（Lofting）工艺，由Coons（19121979）、Bézier（19101999）等大师于20世纪60年代奠定理论基础．典型的曲面表示，20世纪60年代是Coons技术和Bézier技术，20世纪70年代是B样条技术，20世纪80年代是有理B样条技术．现在，曲面表示和造型已经形成了以非均匀有理B样条（NURBS：

Non-UniformRationalB-Spline）参数化特征设计（ParameterizedandCharacteristicDesign）和隐式代数曲面表示（ImplicitAlgebraicSurfaceRepresentation）这两类方法为主体，以插值（Interpolation）、拟合（Fitting）、逼近（Approximation）这三种手段为骨架的几何理论体系．

随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这种趋势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、信息化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，计算机辅助几何设计在近几年来得到了长足的发展．这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新．

从研究领域来看，计算机辅助几何设计技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差；从表示方法来看，以网格细分（Subdivision）为特征的离散造型与传统的连续造型相比，大有后来居上的创新之势．而且，这种曲面造型方法在生动逼真的特征动画和雕塑曲面的设计加工中如鱼得水，得到了高度的运用．

在这本书中，大部分章节反映了当前的国际研究热点，如有理参数曲面的多项式逼近，降阶逼近和隐式逼近，网格曲面的细分逼近，曲面互化和变形，曲面重建和简化，曲面拼接和求交，曲面位差计算和曲面区间分析等．因此本书的第一个特点是题材新颖、接触前沿．

在这本书中，展示的最新理论成果涵盖了曲线曲面的计算机表示、插值、拟合、逼近、拼接、离散、转换、求交、求导、求积、变形、区间分析和等距变换等方面，这些都是计算机辅助几何设计的重要研究领域．因此本书的第二个特点是内容丰富、涉猎广泛．

在这本书中，重点介绍了浙江大学数学系CAGD&CGGroup近十年来独立创造的计算机辅助几何设计的许多新技术和新方法，例如Bézier/B-Spline/NURBS曲线的包络生成技术，离散B样条计算技术，有理圆锥曲线段Bernstein基表示技术，广义Ball曲线曲面表示和求值技术，复杂B样条曲线曲面节点插值技术，有理曲面任意阶几何连续拼接技术，参数曲线曲面求交中离散层数的先验性技术和离散最佳终判技术，有理Bézier曲线曲面的求导求积技术，曲线曲面等距性中的复分析、重新参数化和代数几何技术，曲面变形中的活动球面坐标技术等等．因此本书的第三个特点是自成体系、浙大特色．

在这本书中，各章内容充分体现了计算机辅助几何设计这一新兴边缘学科与应用逼近论、微分几何、代数几何、线性代数、数值分析、拓扑学、微分方程、分形小波等近代数学各个分支以及计算机图形学、几何造型、数据结构、程序语言、机械加工、外形检测、三维医学图象学、人体解剖学等学科的交叉和渗透；同时，部分内容是我们在完成国内前西安飞机公司、成都飞机公司、上海船舶运输科学研究所、杭州妇幼保健医院、前浙江医科大学解剖学教研室等单位的实际课题中所总结写成的；即使是理论推导的内容，我们在写作中也尽量描述其来龙去脉和应用背景，希望对我国的工业产品造型、机械设计制造、动画制作、计算机图形软件编制会有一定的帮助；全书总结的曲线曲面的所有算法都被编制了程序，在SGI图形工作站和微机上反复调试，得到实现．因此，本书的第四个特点是学科交叉、面向应用．

最后，这本书的写作采取了由叙述基本概念出发，从几何直观的角度步步深入展开的做法；推导严谨，重点突出，对原发表论文中的定理和算法以再创作的态度作了改写和简缩，以全书统一的符号加以描述，并尽量阐明其创新思路、几何意义及应用步骤．全书集中介绍我们的理论成果，为保持内容的系统性和完整性，对国际国内的重要相关理论也作扼要介绍．至于基本概念的叙述，又尽可能不落俗套，尽量采用我们自己的新观点和新思想．例如，Bézier曲线的引入，采用了空间割角多边形序列一致收敛的极限形式并给予严格证明；B样条基函数，采用了新推导的一般递推公式；NURBS曲线的引入，采用了递归的包络定义；细分曲面的引入，采用了我们提倡的切割磨光法；区间曲面的引入，采用了我们给出的中心表达形式等等．这样做的好处一是再次体现专著特色，二是使读者不必多找其他参考书籍，只要具备数学分析（微积分）、线性代数和应用微分几何知识就能读懂全书，登堂入室．因此，本书的第五个特点是论述简明、深入浅出．

正因为本书是按照由浅入深、循序渐进、严格定义、严密推理、算法详细、注重应用的原则写成的，所以它虽然是一本专著，但却可兼而用作大学的研究生教材，其中第1、2、3、7章的全部以及第5、6、9、10章的前几节也可用作大学高年级学生的选修课教材，更适合于有志从事计算机图形和计算机辅助设计研究者作为自学入门的向导．

本书可供高等院校计算机科学与工程系、应用数学系、机械工程系、航空航天、舰船、汽车、模具、机器人制造、建筑、测绘、勘探、气象、公路设计、服装鞋帽设计、工业造型、工艺美术、电子通讯、生物、医学图象处理等专业的广大师生和研究生阅读；对从事曲面造型理论研究与工程应用和从事科学计算可视化的广大科技人员，对从事计算机图形、影视动画软件开发和从事产品外形设计、制造与工艺（CAD/CAM/CAPP）方面有关软件开发的计算机工作者也有较大参考价值．

本书作者从1984年起为浙江大学应用数学系（1999年起更名为数学系）、计算机系、机械系以及后来建立的浙江大学CAD&CG国家重点实验室的研究生开设学位课程《计算几何》．十多年来，遵照教材现代化、教材与国际接轨的要求，把CAGD领域的国际研究进展和本课题组的最新研究成果一点一滴地及时充实到课程讲义之中，不断更新教学内容，以科研带教学，以教学促科研，受到了听讲学生的普遍欢迎．正是这多年的教学经验积累和科学研究收获，为本书的写作奠定了坚实的基础．

本书共有二十章．首先由王国瑾教授拟定各章内容和细目，与其余作者进行了充分的讨论和修改．汪国昭教授撰写了第11章、第20章和第1章的前四节；郑建民教授撰写了第10章、第18章和第16章的第1、2、3、7、8、9节；杨勋年副教授撰写了第6章的前二节；王国瑾教授撰写了本书其余的十三章以及第1章的后二节、第6章的后三节和第16章的第4、5、6、10节；最后由王国瑾教授负责全书的统稿、润色和校订．

这本书是在前浙江大学应用数学系主任和浙江大学CAD&CG国家重点实验室学术委员会前主任梁友栋教授的关心和支持下写成的，浙江大学数学系的董光昌教授和金通洸教授也对本书的写作给予热情的鼓励．作者衷心感谢兄弟院校的师长们，他们多年来都在学术上给作者以丰富的启迪，在工作中给作者以巨大的帮助；尤其是亲自倡导并身体力行开展中国CAGD研究事业的著名数学家苏步青院士，他对科学的执著和创造精神，他以七十多高龄下厂解决实际课题的研究作风，一直激励着作者们奋发进取．博士生刘利刚、陈国栋、陈动人、钟纲、吕勇刚、张宏鑫、满家巨、寿华好、车武军、吕晟珉、张景峤以及硕士生解本怀、金雷为本书文稿的打字和排版付出了辛勤的劳动，作者也向他们表示诚挚的感谢．

在本书面世之际，三位作者还要对养育自己的父母以及各自的妻子吴定安、林亚平、任开文表示深深的敬意．他们以自己的爱心和操劳，默默地支持着作者们长年累月的科研工作和本书的写作．如果说，本书对我国的科学研究、工业和软件业会有一点微薄贡献的话，那么这里面也有他们的一份功劳．

由于时间仓促，加之水平有限，本书中难免会有错误和不足，敬请读者不吝指正．

作者谨识于

浙江大学求是园欧阳纯美楼

目录

第一章Bézier曲线1

1.1自由曲线造型概论1

1.1.1样条函数插值的Hermite基表示1

1.1.2端点条件及追赶法2

1.1.3样条曲线3

1.2割角多边形序列的生成及收敛（Bézier曲线的几何生成法I）4

1.2.1简单割角法4

1.2.2割角多边形序列的两个性质4

1.2.3割角多边形序列的极限形式6

1.3Bézier曲线的基本几何性质及几何生成法II和III7

1.4Bézier曲线的离散构造与平面Bézier曲线的保凸性质10

1.4.1离散公式的导出10

1.4.2离散公式的应用（平面Bézier曲线的保凸性）12

1.5Bézier曲线的包络性质（几何生成法IV）12

1.6Bézier曲线的代数性质13

1.6.1Bézier曲线两种代数定义的等价性13

1.6.2Bézier曲线的幂基表示14

1.6.3Hermite插值曲线的Bézier表示15

主要文献16

参考文献16

第二章B样条曲线18

2.1B样条基函数的递推定义及其性质18

2.2B样条曲线的包络生成及几何定义20

2.3B样条曲线的基本几何性质及连续阶21

2.4B样条曲线求值和求导的deBoor算法23

2.5三次均匀B样条曲线的几何作图及设计技巧24

2.6带重节点的三次B样条曲线的基本性质25

2.7广义差商及B样条基函数的差商定义27

2.8嵌入一个节点改变B样条基函数和B样条曲线表示28

2.9连续嵌入同一个节点达k1重时的B样条曲线30

2.10离散B样条及离散B样条曲线31

2.11平面B样条曲线的保凸性和变差缩减性（V.D.）性32

主要文献33

参考文献33

第三章有理Bézier曲线35

3.1圆锥曲线的经典数学表示及其有理二次参数化35

3.2有理Bézier曲线的定义及其基本几何性质36

3.3有理Bézier曲线的离散构造及包络性39

3.4平面有理Bézier曲线的隐式化40

3.4.1隐式方程的导出40

3.4.2平面n次代数曲线有理参数化的条件41

3.5有理二次Bézier曲线的分类42

主要文献43

参考文献43

第四章有理B样条曲线44

4.1NURBS曲线的一般定义、递推求值及离散构造44

4.2平面NURBS曲线的保形性46

4.3NURBS曲线的包络生成及几何定义47

4.3.1包络的存在性47

4.3.2包络的唯一性48

4.3.3NURBS曲线的几何定义50

4.4NURBS曲线的显式矩阵表示51

4.4.1基于差商的系数矩阵显式表示51

4.4.2基于Marsden恒等式的系数矩阵显式表示53

4.4.3特殊NURBS曲线的系数矩阵显式表示54

主要文献55

参考文献56

第五章有理圆弧段与有理圆锥曲线段57

5.1圆弧曲线段的有理二次Bézier表示57

5.2圆弧曲线段的有理三次Bézier表示58

5.2.1充分条件和充要条件的导出58

5.2.2圆心角范围与顶点的几何作图59

5.3圆弧曲线段的有理四次Bézier表示60

5.3.1充要条件的导出60

5.3.2圆心角范围62

5.4圆锥曲线段的有理三次Bézier表示63

5.4.1有理三次Bézier曲线的降阶条件与有理保形参数变换下的不变量63

5.4.2有理三次圆锥曲线段向单位圆弧的转换64

5.4.3有理三次圆锥曲线段的充要条件65

5.4.4有理三次圆锥曲线段的分类条件67

5.5圆弧曲线段与整圆的有理B样条表示68

主要文献68

参考文献69

第六章几何样条插值、逼近及平面点列光顺70

6.1平面点列的双圆弧样条插值71

6.1.1最优切矢的确定71

6.1.2双圆弧插值的算法72

6.2平面点列光顺算法72

6.2.1多余拐点的去除73

6.2.2基于改进最小能量法的离散曲率光顺方法74

6.3平面曲线的圆弧样条逼近和空间曲线的圆柱螺线样条逼近76

6.3.1平面曲线的圆弧样条逼近76

6.3.2空间曲线的圆柱螺线样条逼近76

6.4空间型值点位矢和单位切矢的双圆柱螺线插值78

6.5由散乱型值点构造插值曲面78

主要文献80

参考文献80

第七章矩形域和三角域上的参数函数曲面82

7.1插值算子布尔和与张量积82

7.2矩形域上的Bézier曲面及其几何性质84

7.3三角域上的Bézier曲面及其几何性质86

7.3.1三角域上的Bézier参数曲面及其基本性质86

7.3.2三角域上Bézier函数曲面的正性和凸性90

7.4矩形域上的B样条曲面、有理Bézier曲面与有理B样条曲面94

7.5旋转曲面的有理Bézier表示95

7.5.1有理双二次Bézier表示95

7.5.2有理双三次Bézier表示96

7.6球面的有理参数表示97

主要文献97

参考文献98

第八章广义Ball曲线与广义Ball曲面99

8.1CONSURF系统中机身造型曲线的几何性质100

8.2两种广义Ball曲线102

8.3Wang-Ball基函数的性质102

8.4Said-Ball、Wang-Ball曲线与Bézier曲线的比较103

8.4.1递归求值103

8.4.2与Bézier曲线的互化105

8.4.3升阶和降阶107

8.5利用广义Ball曲线曲面对Bézier曲线曲面求值109

8.6三角Ball曲面110

8.6.1三角Wang-Ball基及三角Wang-Ball曲面110

8.6.2三角Wang-Ball曲面的升阶和递归求值111

主要文献112

参考文献112

第九章曲线曲面的插值与拟合113

9.1B样条曲线曲面的节点插值法113

9.2C2连续的三次B样条插值曲线114

9.3C1和C0连续的三次B样条插值曲线116

9.3.1选取二重节点和三重节点的准则116

9.3.2以重节点为界对插值曲线分段反求控制顶点的原理和算法117

9.4参数无重节点的双三次B样条插值曲面118

9.5参数有重节点的双三次B样条插值曲面120

9.6C2,C1和C0连续的三次Bézier样条插值曲线120

9.7C2,C1和C0连续的双三次Bézier样条插值曲面122

9.8构造插值样条曲面时型值点不一致分布的均匀性检查124

9.9带插值条件的B样条曲线光顺拟合124

9.10带插值条件的B样条曲面光顺拟合125

9.11带插值条件且与已知曲面作C1连续拼接的Bézier曲面光顺拟合126

主要文献128

参考文献128

第十章曲线曲面的几何连续性129

10.1几何连续性概念的提出129

10.2曲线的几何连续性131

10.2.1曲线几何连续性的定义131

10.2.2曲线的有理连续性134

10.2.3有理连续性条件136

10.3几何光滑拼接曲线的构造138

10.4曲面的曲率连续140

10.4.1曲率连续的一般条件140

10.4.2矩形域上有理Bézier曲面的G2条件142

10.4.3曲率连续拼接的有理Bézier曲面的构造144

10.4.4简单曲率连续拼接曲面的构造147

10.5曲面的任意阶几何连续147

10.5.1曲面Gn连续的定义147

10.5.2有理几何连续的一般条件149

10.5.3有理几何连续条件的求解149

10.5.4有理几何连续的简单形式153

10.6矩形域上有理Bézier曲面的Gn拼接154

10.6.1有理Bézier曲面几何连续拼接的判定154

10.6.2有理Bézier曲面几何连续拼接的构造155

10.7三角域和矩形域上有理Bézier曲面的拼接156

主要文献157

参考文献157

第十一章参数曲线曲面的求交技术159

11.1B样条曲线转化为Bézier曲线160

11.2B样条曲面转化为Bézier曲面161

11.3Bézier曲线曲面的高度分析162

11.4Bézier曲线曲面离散层数的先验性公式166

11.5对Riesenfeld关于曲线离散终判准则的改进167

11.5.1三次Bézier曲线的化直准则168

11.5.2n次有理Bézier曲线的化直准则168

11.5.3一个极值问题169

11.6Bézier曲线和B样条曲线的离散求交法170

11.7Bézier曲面和B样条曲面的离散求交法171

11.8Bézier曲面与平面的求交172

11.9有理Bézier曲线曲面离散终判的先验性公式172

11.10离散差分跟踪求交法175

11.10.1多项式曲面的差分表示175

11.10.2Bézier曲面的差分矩阵和差分表示176

11.10.3Bézier曲面求交中跟踪子曲面片的选定177

11.10.4离散差分跟踪求交178

11.11曲面求交的活动仿射标架跟踪法179

11.11.1球变换179

11.11.2求交算法180

11.12Bézier曲面的环检测180

主要文献181

参考文献182

第十二章有理Bézier曲线曲面的多项式逼近183

12.1有理Bézier曲线的两类多项式逼近

和

184

12.1.1有理曲线Hermite逼近与Hybrid逼近的定义184

12.1.2用传统的逼近论方法求

的收敛条件185

12.1.3

逼近与

逼近的关系186

12.2

逼近与

逼近的余项188

12.3h逼近曲线

与Hybrid曲线

189

12.4

逼近与

逼近的收敛条件192

12.5低次

逼近与

逼近的收敛准则193

12.5.1一次有理曲线多项式逼近收敛的充要条件193

12.5.2关于多项式根的几个引理193

12.5.3二次有理曲线多项式逼近的收敛准则194

12.5.4三次有理曲线多项式逼近的收敛准则195

12.5.5重新参数化技术对收敛条件的影响195

12.6

逼近与

逼近的收敛条件196

12.7

有定极限值的

逼近与

逼近的收敛条件196

12.8Hybrid曲线的移动控制顶点

的界196

12.8.1对具有对称权因子的低次有理曲线求

的界197

12.8.2利用矩阵方法对一般有理曲线求

的界198

12.8.3利用复平面上的围道积分求

的界200

12.9一般情况下

逼近和

逼近收敛的充要条件202

12.10用新的观点研究有理Bézier曲线的

逼近205

12.11有理Bézier曲面的Hybrid表示208

12.12有理Bézier曲面的两类多项式逼近

和

212

12.12.1有理曲面Hybrid逼近与Hermite逼近的定义212

12.12.2

逼近的余项213

12.12.3

逼近与

逼近的关系213

12.13Hybrid曲面

的递推计算公式216

12.13.1一般情况216

12.13.2简化情况219

12.14有理Bézier曲面

逼近的收敛条件221

12.14.1

逼近余项的界221

12.14.2

逼近收敛的一个充分条件222

12.14.3

逼近收敛的充要条件222

主要文献223

参考文献223

第十三章有理Bézier曲线曲面的求导和求积224

13.1有理Bézier倍式化速端曲线224

13.1.1Dir函数的定义和性质224

13.1.2倍式化速端曲线的导出225

13.1.3曲线导矢方向的界226

13.1.4曲线导矢大小的界226

13.2有理Bézier倍式化速端曲面227

13.2.1倍式化速端曲面的导出227

13.2.2曲面导矢方向的界228

13.2.3曲面导矢大小的界229

13.3动曲线轨迹的速端曲线230

13.3.1速端曲面的直接导出230

13.3.2曲面导矢界的估计231

13.4有理Bézier曲面的法矢232

13.4.1Nrm函数的定义和性质232

13.4.2曲面法矢的计算232

13.4.3曲面法矢方向的界233

13.5有理Bézier曲线的高阶导矢234

13.5.1高阶导矢的递推算法234

13.5.2导