运筹学讲义.docx
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运筹学讲义
第六讲排队论
X/Y/Z
X处填写表示相继到达间隔时间的分布;
Y处填写表示服务时间的分布;
Z处填写并列的服务台的数目c.c=1单服务台,c>1多服务台
表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号:
M—负指数分布
D—确定型
Ek—k阶爱尔朗分布
GI—一般相互独立的时间间隔的分布
G—一般服务时间的分布
X/Y/Z/A/B/C
A处填写系统容量限制N;N=c损失制,N=∞等待制系统,N>c混合制系统
B处填写顾客源数m(有限、无限);
C处填写服务规则(FCFS/LCFS/SIRO/PR)。
约定:
1、平均到达率(λ):
单位时间内平均到达的顾客数。
平均到达间隔(1/λ)
2、平均服务率(μ):
单位时间内平均服务的顾客数。
平均服务时间(1/μ)
3、队长(Ls):
排队系统中顾客的平均数。
4、队列长(Lq):
指系统中排队等候服务的顾客数。
Ls=Lq+正被服务的顾客数
5、逗留时间(Ws):
指一个顾客在系统中的停留时间。
6、等待时间(Wq):
指一个顾客在系统中排队等待的时间。
Ws=Wq+服务时间
7、系统的状态:
描述系统中的顾客数
8、系统的状态概率[Pn(t)]:
指t时刻、系统状态为n的概率
9、稳定状态(统计平衡状态):
limPn(t)→Pn
Pn=P{N=n}稳态系统中有n个顾客概率
P1稳态系统中有1个顾客概率
P0稳态所有服务台全部空闲概率
M/M/1模型
Pn(t)的计算(在时刻t系统中有n个顾客的概率)
Pn(t+Δt)=Pn(t)(1-λΔt)(1-μΔt)+Pn+1(t)(1-λΔt)μΔt++Pn-1(t)λΔt(1-μΔt)+Pn(t)λΔtμΔtn≥1
整理得:
Pn(t+Δt)=Pn(t)(1-λΔt-μΔt)+Pn+1(t)μΔt+Pn-1(t)λΔt+o(Δt)
[Pn(t+Δt)-Pn(t)]/Δt=λPn-1(t)+μPn+1(t)-(λ+μ)Pn(t)
令Δt→0⇒dPn(t)/dt=λPn-1(t)+μPn+1(t)–(λ+μ)Pn(t)(n≥1)
(1)
考虑P0(t)的情况:
P0(t+Δt)=P0(t)(1-λΔt)+P1(t)(1-λΔt)μΔt+P0(t)λΔtμΔt
令Δt→0⇒dP0(t)/dt=-λP0(t)+μP1(t)
(2)
令dPn(t)/dt=0,由
(1)和
(2)得到
(2)队列中等待的平均顾客数(Lq)
(3)顾客逗留时间的期望值(Ws)
李泰勒(Little)证明了在很宽的条件下,排队系统数量指标之间有以下的关系式:
Ws=Ls/λe
(4)队列中顾客等待时间(Wq)
李泰勒证明了在很宽的条件下,排队系统数量指标之间有以下的关系式
(12年,第二题,15分)某修理店只有一个修理工,来修理的顾客到达过程为泊松流,平均4人/小时;修理时间服从负指数分布,平均每人服务时间为6分钟。
请计算:
1)修理店空闲的概率;
2)店内恰有3个顾客的概率;
3)在店内的平均顾客数;
4)每位顾客在店内的平均逗留时间;
5)等待服务的平均顾客数;
6)每位顾客平均等待服务的时间;
7)必须在店内消耗10分钟以上的概率。
解:
由已知条件知
,因此
(08年,第五题,15分)顾客按泊松分布到达某单人理发店,平均间隔20分钟。
理发时间为负指数分布,平均每人15分钟。
设该系统符合M/M/1模型,求:
a)顾客不必等待的概率;
b)顾客在店内平均等待时间;
c)若顾客在店内耗时超过1.25小时,则雇人帮忙,问平均到达率达到多少以上需雇人帮忙。
解:
由已知条件知
,因此
a)顾客不必等待的概率
;
b)顾客在店内平均等待时间
小时;
c)若顾客在店内耗时超过1.25小时,即
,
因此
,平均到达率达到
以上需雇人帮忙。
M/M/1/N/∞模型(混合制系统)
假定系统最大容量为N,单服务台情形排队等待的顾客最多为N-1
N+1个状态
有效到达率λe=λ(1-PN)系统不满时顾客以λ的速度进入系统
λe=μ(1-P0)
顾客源为有限的情形(M/M/1/∞/m)
机器故障问题:
设共有m台机器,机器故障停机表示到达,待修机器形成队列,修理工是服务员。
M/M/c